第一章行列式【課題】第1講排列及其逆序數(shù)、階行列式的定義【學時數(shù)】2【教學目的】1.理解排列及其逆序數(shù)的概念；2.熟練掌握二、三階行列式的計算【教學重點】二、三階行列式的計算【教學難點】三階行列式的展開式【教學過程】§1.1排列及其逆序數(shù)一、排列與逆序的概念1、排列問：現(xiàn)在給，四個數(shù)字，能夠組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？個，4231就是一個，且是一個排列，稱為標準排列．下面一般的給出定義定義1.1.1由這個數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個階排列，記為，其中排列稱為標準排列.的階排列共有個.2、逆序數(shù)定義1.1.逆序在一個階排列中，當某二個數(shù)，較大的排在較小的前面，則稱這兩個數(shù)有一個逆序，逆序數(shù)這個階排列中所有逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)記為偶排列當逆序數(shù)為偶數(shù)時，稱這個排列為偶排列，奇排列當逆序數(shù)為奇數(shù)時，稱這個排列為奇排列.若的前面有個比它大的數(shù)，就說的逆序數(shù)是.則排列的逆序數(shù)為：.例1，是奇排列；，是偶排列；問：，是偶排列.是偶排列.標準排列的逆序數(shù)為0.二、對換及性質(zhì)對換在排列中,對調(diào)任意兩個元素,其余元素位置不變,而得到新排列的做法叫做對換，相鄰兩個元素的對換,叫做相鄰對換.現(xiàn)看為偶排列為奇排列性質(zhì)1一個排列中，任意對換兩數(shù)，則排列改變奇偶性.證（見書略）性質(zhì)2偶排列變成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)，奇排列變成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù).例如321541235412345證（可略）因為標準排列的逆序數(shù)為，是偶數(shù)，再由定理1.1.1§1.2階行列式的定義一、二階與三階行列式1、二階行列式用消元法解二元一次方程組（1）為消去未知數(shù),以第一個方程乘以減去第二個方程乘以,得，類似地可消去,得，當時,求得(2)為了便于記憶,引入下面定義.定義1.2.1由四個數(shù),排成二行二列(橫排為行,豎排為列)的數(shù)表所確定的表達式稱為二階行列式,記為.(3)其中數(shù)稱為行列式(3)的元素,第一個下標稱為行標,第二個下標稱為列標,數(shù)表示是位于行列式的第,第列的元素.如圖1.1中至的實聯(lián)線稱為主對角線,至虛聯(lián)線稱為副對角線,于是二階行列式的值等于主對角線上兩個元素的乘積減去副對角線上二個元素的乘積,這種計算方法稱為二階行列式的對角線法則.圖1.1.(6)稱此式為上述行列的數(shù)表所確定的階行列式.其中為的一個排列，表示對一切階排列求和；(6)式右邊的和式稱為階行列式的展開式；顯然的展開式中共有項，其中每一項都是取自的不同行、不同列的個元素的乘積，而且每個乘積項前面所帶符號的規(guī)律為：當逆序數(shù)為偶數(shù)時取正號，而當逆序數(shù)為奇數(shù)時取負號.行列式有時簡記為,表示行列式中第行第列的元素.特別的,當時，稱為一階行列式，注意不要與絕對值記號相混淆.主對角線以下(上)的元素都為的行列式叫做上(下)三角行列式.例4證明下三角行列式.證由行列式定義，其展開式的一般項為,在中，第一行只有可能不為0，則?。坏诙兄校挥锌赡懿粸?，而已經(jīng)取了，所以不能取(與同列)，故只能取，即；這樣繼續(xù)下去，中可能不為0的項只有一項.又由于為偶數(shù)，符號取正，所以得.例如 D=同理有上三角行列式.類似可推得主對角線以上和以下的元素都為的行列式叫做對角行列式.由上(下)三角行列式計算方法,可直接得；.從階行列式定義知，其任一項由個元素相乘構(gòu)成，而乘積有交換律.如果把該項的列標的排列經(jīng)過次對換變成標準排列.這時其相應的行標排列也經(jīng)過次的對換后變成，即有=.又由定理1.1.2知與有著相同的奇偶性，則有.這樣，可以給出階行列式的另一個定義.定義1.2.3′階行列式定義為.小結(jié)：本次課我們學習了排列及其逆序數(shù)的概念及的定義，重點要掌握二階和三階行列式的計算。作業(yè)：P24～25習題一1、3、5(1)～(5)

【課題】第2講行列式的性質(zhì)【學時數(shù)】2【教學目的】1.理解掌握行列式的性質(zhì)；2.熟練應用行列式的性質(zhì)計算行列式【教學重點】應用行列式的性質(zhì)計算行列式【教學難點】行列式的性質(zhì)的靈活運用【教學過程】§1.3行列式的性質(zhì)當階行列式的較大時，用行列式的定義計算其值是很麻煩的，計算量大.本節(jié)介紹用行列式的性質(zhì)，可以把復雜的行列式化為簡單的行列式進行計算。現(xiàn)看什么是轉(zhuǎn)置行列式設階行列式，將的行變成相應的列后得到的行列式記為.則稱為的轉(zhuǎn)置行列式.例如，則＝21+120—84＝57性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即.證（略）這個性質(zhì)表明了，在行列式中行和列所處的地位是相同的，因而凡是對行成立的性質(zhì)，對列也同樣成立；反之亦然.性質(zhì)2交換行列式的兩行（列），行列式的值變號.，交換D的1.2兩行得,推論如果行列式中有兩行（列）的對應元素相同，則這行列式的值為零.證現(xiàn)將行列式中元素相同的兩行互換，則仍為；但由性質(zhì)2這時其值為，即=，所以.性質(zhì)3用數(shù)乘以行列式的某一行（列）的所有元素，等于以數(shù)乘以此行列式.即.證.推論1如果行列式的某行（列）的所有元素有公因子，則公因子可以提到行列式符號外面.推論2若行列式有兩行（列）的對應元素成比例，則行列式的值等于零.這是因為由推論1，先把行列式的成比例的兩行的比例系數(shù)提到行列式符號外面后，則行列式的這兩行的對應元素相同，再由性質(zhì)2的推論可知這個行列式的值等于零.性質(zhì)4如果行列式中的某一行（列）的每一個元素都由二個數(shù)之和組成，則可成為兩個行列式之和，即若,，，則.證.例計算性質(zhì)5行列式的某一行（列）的所有元素加上另一行（列）的對應元素的倍，則行列式的值不變.即.證由行列式性質(zhì)4以及性質(zhì)3的推論2可得到.為了表達行列式運算過程中要用到的三種運算，現(xiàn)用下列符號來表示：1、用表示行列式的互換第行與第行；2、表示行列式的第行的每個元素乘以數(shù)，稱為用數(shù)乘以第行；3、表示行列式第行的各元素加上第行對應元素的倍，稱為第行加上第行的倍；同理；；分別表示行列式互換第列與第列；數(shù)乘以第列；第列的各元素加上第列對應元素的倍.例1計算（練習）計算.計算練習計算例4計算階行列式（行列式的空白處為零）.解小結(jié)：本次課我們學習了行列式的性質(zhì)，重點要掌握如何靈活應用行列式的性質(zhì)來計算行列式。作業(yè)：P24～25習題一5(6)～(9)、6(1)～(3)

【課題】第3講行列式按行（列）展開【學時數(shù)】2【教學目的】1.理解行列式的余子式和代數(shù)余子式的概念；2.熟練掌握按某行(列)展開行列式來計算行列式；3.熟練掌握按行(列)展開行列式來計算行列式【教學重點】按某行(列)展開行列式來計算行列式【教學難點】按某行(列)展開行列式來計算行列式【教學過程】§1.4行列式按行（列）展開上一節(jié)，用行列式的性質(zhì)，把行列式化為三角（或下三角）行列式的方法計算行列式的值，下面要介紹的內(nèi)容就是如何把高階行列式化為低階行列式來計算的方法.現(xiàn)看三階行列式一、行列式的余子式和代數(shù)余子式定義1.4.1在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，由剩下的元素按原有的次序構(gòu)成的階行列式稱為的余子式，記為.令，稱為元素的代數(shù)余子式.例如中是的余子式，其代數(shù)余子式為類似的代數(shù)余子式為的代數(shù)余子式為所以二、行列式按某行（列）展開定理1.4.1階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積的和，即或定理1.4.2階行列式的某一行（列）的元素與另一行（列）對應元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零，即，或.證作一個行列式，使的第行與第行的對應元素相同，即,由行列式性質(zhì)2推論知，再將1按第行展開，就有，同理可證，綜合上面兩個定理的結(jié)論，得到代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：對行而言對列而言例1計算4階行列式.例2計算4階行列式.解.例3證明范德蒙德（Vandermonde）行列式這里.證用數(shù)學歸納法：（1）當=2時，.所以,命題成立.（2）假設對于階范德蒙德行列式結(jié)論成立，即.現(xiàn)證明對于階行列式也成立.對從第行起，各行減去前一行的倍，得到成立.例4計算階行列式.三、行列式按行（列）展開定義1.4.2在階行列式中，任意選定行及列，位于這些行及列交叉處的2個元素，按原來順序構(gòu)成一個階行列式，稱為的一個階子式.劃去這行,列后，余下的元素按原來的順序構(gòu)成一個階行列式，叫做階子式的余子式；假定所在的行的序數(shù)是，所在的列的序數(shù)是，那么.叫做階子式的代數(shù)余子式.定理1.4.3（拉普拉斯定理）若在階行列式中，取定某行，則這行的元素組成的所有階子式分別與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于.（證明略）利用拉普拉斯定理計算四階行列式.解取定第一、二行，且不為零的二階子式只有個，即，，.其對應的代數(shù)余子式分別為，，,因而有.例5設,其中,.證明：.證將按前行展開,因為前行的階子式除外全為零,而的代數(shù)余子式是,所以,由拉普拉斯定理得.例6求小結(jié)：本次課我們學習了按某行(列)展開行列式和按行(列)展開行列式來計算行列式。作業(yè)：P24～25習題一7(1)～(4)【課題】第4講克萊姆法則【學時數(shù)】1【教學目的】1.熟練掌握用克萊姆法則解線性方程組；2.熟練掌握用克萊姆法則解齊次線性方程組【教學重點】用克萊姆法則解線性方程組【教學難點】用克萊姆法則解線性方程組【教學過程】§1.5克現(xiàn)在，我們應用階行列式來解含有個未知量的個線性方程的方程組.一、克萊姆（Cramer）法則定理1.5.1（克萊姆法則（1）的系數(shù)行列式.則方程組有且僅有唯一解.這里是把的第列元素換成方程組（1）的常數(shù)項得到的行列式.證.可類似推得,當≠0時，有.（2）這就證明了：線性方程組（1）當≠0時，如果有解，那么就只是（2）式.現(xiàn)在驗證（2）式是方程組（1）的解，也就是要證明，即.考慮有兩行相同的階行列式,按第一行展開.由于第一行第列的元素的代數(shù)余子式為,把的第1列依次與第2列、第3列、…、第列互換，有,所以有.這就表明了（2）式就是方程組（1）的解.學生總結(jié)用克萊姆法則解線性方程組的步驟：例1解線性方程組解計算系數(shù)行列式，所以有唯一解推論若已知方程組（1）無解，或解并非唯一，則其系數(shù)行列式.二、克萊姆法則的推論如果方程組（1）的常數(shù)項，即（3）稱為齊次線性方程組.顯然，是方程組（3）的解，