2.5.1邊緣分布函數與邊緣分布密度2.5.2隨機變量的獨立性2.5.3條件分布§2.5邊緣分布

設(X,Y)的聯合分布函數F(x,y)則X和Y的邊緣分布函數FX(x),FY(y)分別為:2.5.1邊緣分布函數與邊緣分布密度1

p.1

p.2…p.j

…P{Y=yj}

p1.

p2.

pi.

p11p12…p1j…

p21

p22…

p2j…

pi1

pi2…pij………

x1

x2

xi

P{X=xi}

y1

y2

…yj

…XY

(i=1,2,…)(j=1,2,…)

例如1.離散型二維隨機向量的邊緣分布(i=1,2,…)(j=1,2,…)

設(X,Y)的聯合分布列為pij

=P{X=xi,Y=yj},則(X,Y)的邊緣分布列為FY(y)=F(+∞,y)=

FX(x)=F(x,+∞)=(X,Y)的邊緣分布函數為：即P1.

p2.···pi.···

pi.x1

x2···xi···

Xp.1

p.2···p.j···

p.jy1

y2···yj···

Y1.離散型二維隨機向量的邊緣分布

你只要把每列的概率相加放在該列的最下面，把每行的概率相加放在該行的最右面，就大功告成了。把第一行和最后一行拿出來就是X的分布；把第一列和最后一列拿出來就是Y的分布。

例1

已知隨機向量（X，Y）的聯合分布如下表，求關于X

和Y的邊緣分布。

邊緣分布pi.和p.j分別是聯合分布表中第i行和第j列各聯合概率之和．

YX-10200.10.2010.30.050.120.1500.1

YX-102pi.0120.10.30.150.20.05000.10.10.30.450.25p.j0.550.250.2設連續型隨機變量（X，Y）的聯合概率密度函數為f(x,y)由于所以

例2

設隨機變量（X，Y）的密度函數為試求參數k的值及X和Y的邊緣密度。通常分別稱上式為二維隨機變量關于X和Y的邊緣密度函數或邊緣密度。2.二維連續型隨機變量邊緣概率密度函數解

根據聯合密度函數的性質，有所以

X的邊緣密度函數

當0≤x≤1時，當0>x或x>1時,故同理可得

解令可見X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22).

例3

設(X，Y)服從N(μ1，σ12；μ2，σ22；ρ)，求邊緣密度。

定義設兩個隨機變量X,Y,若對任意的實數x,y有F(x，y)=FX(x)FY(y)P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}則稱隨機變量X與Y是相互獨立的。1.(X,Y)是離散型

若(X,Y)的所有可能取值為(xi,yj)(i,j=1,2,…),則X與Y相互獨立的充分必要條件是對一切i,j=1,2,…,有P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}·P{Y=yi}

即2.5.2隨機變量的獨立性

定理1

若(X,Y)的f(x,y)處處連續，則X和Y相互獨立的充分必要條件是

f(x,y)=fX(x)·fY(y)2.(X,Y)是連續型證明

充分性：若f(x,y)=fX(x)·fY(y)，則

必要性：若X、Y互相獨立，則F(x,y)=FX(x)·FY(y)，故f(x,y)=fX(x)·fY(y)即例4

如果二維隨機變量的概率分布用下列表格給出

那么當

,

取什么值時，X與Y才能相互獨立？

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)PYX123pi.11/61/91/181/321/3

1/3+

+

p.j1/21/9+

1/18+

解先寫出聯合分布的表格形式，并計算邊緣分布．聯立以上兩式求得

若與相互獨立，則對于所有的i,j，都有

pij=pi.p.j

因此

例5

設隨機變量X與Y相互獨立，且分別服從參數x=2和y=1的指數分布，求

解據題意，X的密度函數為

Y的密度函數為

因為X與Y相互獨立，所以X與Y的聯合密度為：于是

今向一個半徑為r的圓內隨機投點，則點落在圓內面積相等的不同區域內的概率相等，即落點坐標(X,Y)服從D：x2+y2≤r2區域上的均勻分布.

（1）判斷X與Y是否相互獨立；（2）計算落點（X，Y）到原點的距離不超過a的概率(0<a<r).

例6(二維均勻分布)

設D為平面上面積為A的有界區域,若(X,Y)所對應的點落在D內面積相等的不同區域中的概率相等，則（X，Y）稱在區域D上服從均勻分布.類似于一維隨機變量均勻分布的密度函數，二維均勻分布的密度函數為

解把坐標原點置于圓心建立直角坐標系,該圓域的面積為

r2，則的聯合密度函數為（1）判斷X與Y是否獨立，即判斷對于一切的，等式

是否成立.先求邊緣分布密度fX(x)和fY(y),當

x≤r時當

x＞r時fX(x)=0,

即（2）落點(X,Y)與原點的距離為

求落點(X,Y)到原點的距離不超過a的概率，即同理，可求得Y的邊緣密度函數

很顯然fX(x)fY(y)≠f(x,y)

，所以X與Y不獨立.

(X,Y)的分布(X,Y)的邊緣分布

一般F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}FX(x)=P{X≤x,Y≤+∞}FY(y)=P{X≤+∞,Y≤y}

離散型

F(x,y)=P{X=xi,Y=yj}=pijpi.=P{X=xi}=p.j=P{Y=yj}=

連續型條件概率公式：P(B|A)=P(AB)/P(A)，P(A)＞0

稱為在Y=yi的條件下，X的條件分布。

一、離散型隨機向量(X,Y)的條件分布1.定義

設離散型隨機向量(X,Y)的聯合分布列為

在已知Y=yj的條件下(P{Y=yj}＞0)，X的條件概率pij=p{X=xi,Y=yj}(i,j=1,2,…)2.2.3條件分布

類似地，當P{X=xi}＞0時,在X=xi的條件下，Y的條件分布為2.條件分布的性質（1）P{X=xi|Y=yj}≥0（2）3.2.3條件分布條件概率公式：P(B|A)=P(AB)/P(A)，P(A)＞0

一、離散型隨機向量(X,Y)的條件分布1.條件分布函數

設對于任意小的Δx>0，有P{x<X<x+Δx}>0若存在,則稱此極限為X=x的條件下Y的條件分布函數。且有P{Y≤y|X=x}或FY|X(y|x)記作

二、連續型隨機向量(X,Y)的條件分布

事實上，若f(x,y)在點(x,y)處連續，fx(x)連續，且fx(x)>0,則有

對y求導，得到在條件X=x下Y的條件概率密度

類似地，在條件Y=y下，X的條件分布函數及條件概率密度為

例7