山東省實驗中學高一數學組必修一集體備課材料第二章函數

第三章基本初等函數參與編輯：山東省實驗中學本校高一數學組潘洪艷、劉建宇、林寶磊、郭紅星、張永花、吳建廣

徐萍、盛喜鑫、周明君、宋中華、王虎、胡志明

第二章函數第一課時映射一、基礎知識1、 構成映射的基礎條件：A不余且象唯一。2、 映射的要素：■'原象集念?原原集(定義城)=出發集A對象衛7象集(值域,)匚到達集B對應法則：表格、關系式、圖示等3、映射的分類和關系滿射：B中不余，可多對一I交集：一一映射*〈單射：一對一，B中可余[(B中不余，一對一)、一般映射：B中可余，多對一4、構成映射的個數：A中有m個元素，B中有n個元素，則f:AtB的映射個數是^血個課堂例題與練習：例1：下列對應是從A到B的映射的是；是從A到B的一■一映射的是；是從A到B的函數的是.A= N,B=N,f:%— y=1% 一 3 I；(2)A=N,B={-1,1,-2},f: xty=(-1)xA= Z,B=Q,f:x一y =—； (4)A=B=R,f:x一y=-—x xA=N,B=R,f:xt y,y2 = x (6)A=B=R,f:xty=x2A = {xIx>2},B={yIy=x2 - 4x +3},f:xty=x-3A={圓},B={矩形},f:做圓的內接矩形 ；(9)A={矩形),B={圓),f:做矩形的外接圓例2：求映射的象和原象1、已知映射f:ATB中，A=B={(x,y)IxeR,yeR},f:AtB (x,y)T(3x+y-1,x-2y+1)是否存在這樣的元素(Q,b)，使它的象還是它本身？若存在求出這個元素，若不存在說明理由。(2)求A中元素(2,3)在B中的象；(3)求B中元素(4,5)在A中的原象2、若f:y=px+q是從集合A={1,2,3,m}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一個 映射，1的象是4，7的原象是2，求自然數p.q.m.a的值及集合A,B。例3.求映射的個數已知A={a,b,c}，B={-1,0,1}，問可構成多少個f:ATB的映射？可構成多少個f:ATB的 映射？映射f:AtB滿足f(a)+f(b)=f(c)，可構成多少個滿足條件的映射？第二課時 函數的概念函數的定義(1)兩要素(2)如何判斷給定兩個變量之間的關系是否為函數關系(3)判斷兩個函數是否為同一個函數函數的表示方法：函數是非空數集與非空數集之間的映射。'定義域：自變量*的取值拉困。使函數有意義的x的取值拉圍(值域：函數值v的取值熱囤o定義域下函數值的拉囤對應法則：表格.解析式，圖示等例1、下列幾組表示同一函數的是⑴f(x)=1,g(x)=X0；(2)f(x)=*,g(x)=*1；(3)；f(x)=IxI,g(x)=\x2X X一1f(x)=\;-2x3,g(x)=x"-2x;(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-21-1;f(x)=x,g(x)=(\x)2分段函數：函數的特點是在不同的區間上有著不同的解析式在求函數的定義域、值域時，求各個區間上的定義域、值域的并集。,r,、、， f1 X=1 ,、例2、已知定義在R上的函數y=，f()3f( 1) 1，求f(3)=。x+2x<—3例3.已知函數為y=<x2一3<x<3，求下歹U的值。(1)f(4)=;(2)f[f(4)]=;2x x>3(3)f(a)=3，求a的值；(4)若f(a)>a，求a的取值范圍；(5)函數的值域為。例4課本44,例3復合函數：如果u是x的函數，記作u=g(x)；y是u的函數，記作y=f(u)；那么y是x的函數，記作y=f(g(x))。注：(1)要掌握兩個原則：①復合函數的自變量是x:②復合函數的對應法則f施加的對象性質相同；(2)在求單調性的時候，要做到“同增異減”，分別求兩部分的單調性和單調區間；在求奇偶姓的時候，要做到“有偶則偶”，但前提是定義域關于原點對稱。例5 f(x)=w'x+1(x>—1,xeR),g(x)=2x,h(x)=—,求f[g(x)]f\h(x)]第三課時 函數的定義域基礎知識：函數的定義域：使得函數成立的自變量的取值范圍。整式函數的定義域是全體實數；分式函數的分母不為零；偶次根式或者是冪指數的指數為分母是偶數時，底數不小于零；奇次根式或者是冪指數的指數為分母是奇數時，定義域是全體實數；對數中底數大于零且不等于1，指數大于零；零指數函數底數不為零；分段函數各部分的定義域取并集；幾個簡單函數通過加減乘除運算的各部分定義域取交集；例1求下列函數的定義域(1)f(X)=X2+1;(2)f(x)=&+1； (3)f(x)=-^;(4)f(x)=(?^1^x+1 勾；X-XMx2-4 f(x)=］ 1 (6)f(x)=Jx-1.5-x〔寸1-2x2實際問題中的定義域用長為，的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓的框架，若矩形的底邊長為2x，求此框架圍成的面積,與x的函數關系式，并指出其定義域。例2 (1)已知函數y=f(x)的定義域為(0,1)，則y=f(x2)的定義域；已知函數y=f(2x+1)的定義域為(0,1)，則y=f(x)的定義域；已知函數y=f(x+1)的定義域為［—2,3］，則y=f(2x2-2)的定義域；例3若函數f(x)=\mx2-6mx+m+8的定義域為R，求實數m的取值范圍。作業：(3)y='vx2(3)y='vx2-2x-31+1x(1)函數f(x+1)的定義域為［-2,3］，求下列函數的定義域f(x)；f(上)；f(x2-1)x(2)已知函數y=f(x)的定義域為［a,b］，其中a<0<b且Ial>b，求函數g(x)=f(x)+f(-x)的定義域3.(1)已知函數f(x)=, 33a-1=的定義域為R，求實數m的取值范圍是;*ax2一4ax+a+33ax—1(2)已知函數f(x)= 的定義域為R，求實數m的取值范圍。ax2一4ax+a+3 2—x(3)設函數f(x)=. =的定義域為(-2,3)，求實數a,b的值。V-x2-ax-b第四課時 函數的值域一、基礎知識（1） 單調性求值域：首先求函數的單調性，則只需求解函數兩個端點的值就行了；（2） 反函數求值域：要求函數的值域，只需要求反函數的定義域就是了；要求函數的定義域，只需要求反函數的值域就是了；（3） 換元法求函數的值域，將函數轉換成為復合函數來求；（4） 分式函數：分離系數法、判別式法、直接觀察法等。（5） 復合函數：分解成兩個函數，分別求值域，注意第一個函數的值域是第二個函數的定義域（6） 圖像：通過圖像觀察各部分函數的特點。例1、求下列函數的值域（1）y=X+1 （2）y=— （3）y=-x2-2x+3x例2、求下列函數的值域（1） y= ■ （2）y=V-x2一2x+3-x2一2x+3例3、求下列函數的值域（1）y=-x2一2x+3（-5<x<0） （2）y=-x4-2x2+3 （3）y=x-氣：1-2x例4、求下列函數的值域（1）y=^1 （2）y=^1（x>0）x+1 x+1, 、 x2—x—2 x2+x+2例5、求下列函數的值域（1）y=x——x— （2）y=x——x一x2—2x—3 x2—2x+31x2-2x+1例6、分段函數：y=〈[2x一3例7、求函數y=x2-a+1（a為常數），xg[-1,1]的最小值（或值域）。例8、求函數y=x2-2x-3在xg[t,t+1]（t為常數）的最小值（或值域）。例9.已知f（x）=Jx-1）2+1的定義域和值域都是[1,b]（b>1），求實數b的值。2例10.函數f(x)=-x2+4x在[m,n]上的值域是[-5,4]，則m+n的取值組成的集合是()A.[0,6]B.[-1,1]C.[1,5]D.[1,7]第五課時函數的圖像例1畫出下列函數的圖像(X+1)。f(X)=(-1)X,XG{o,1,2,3) (2)y=X—|1一』 (3)y= 2—X—X根據定義域，畫出函數f(x)=x2—2x+2的圖像XGR; ②XG(-1,2] ③XG(-1,21XGZ例2、畫出函數y=--的圖象.1一X例3、分別畫出下列函數的圖象①y=x2-2IxI—1②y=Ix2-2x-1Iy=IX2—2X—1I思考：已知函數y=f(x-1)的圖象，通過怎樣的圖象變換可得到y=f(2-x)的圖象。平移變換y=f(x) Ty= f(x+a) 向平移個單位；以代換y=f(x) Ty= f(x)+b 向平移個單位；以代換y=f(ax)Ty=f(ax+b)向平移個單位對稱變換y=f(x)Ty=f(一x)關于 對稱；y=f(x)Ty=-f(x)關于對稱；y=f(x)Ty=-f(-x)關于對稱翻折問題y=f(x)Ty=f(IxI):y=f(x)Ty=If(x)I:y=f(x)Ty=If(IxI)I:第六課時 圖像的對稱性函數的對稱性知識點:問題1.已知函數y=f(x);若f(-x)=f(x);則f(x)的圖象關于y軸對稱.問題1.證明：設y=f(x)的圖象上的任意一點為p(x,y)，而p(x,y)關于，y軸的對稱點p(-x,y),而P2(-x,f(-x))是y=f(x)上的一點若y=f(-x)即f(x)=f(-x)這時p1與p2重合y=f(x)圖象上的任意一點p(x,y)關于y軸的對稱p(-x,y)也在y=f(x)圖象上f(x)圖象關于y軸對稱反思升華1：如果函數y=f(x)滿足f(1+x)=f(1-x測函數y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱證明：設y=f(x)的圖象上的任意一點為p(x,y)而p(x,y)關于x=1的對稱點p(2-x,y)而p(2-x,f(2-x))是y=f(x)上的一點.若f(1+x)=f(1-x)nf(x)=f(2-x)即y=f(2-x)/.p1與p2重合???y=f(x)圖象上的任意一點p(x,y)關于直線x=1對稱點p(2-x,y)也在y=f(x)圖象上/.f(x)圖象關于直線x=1對稱反思升華2：如果函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱反思升華3：如果函數y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x)則函數y=f(x)的圖象關于直線x=*A對稱2問題2.已知函數y=f(x)若f(-x)=-f(x),則f(x)的圖象關于原點對稱問題2證明：設y=f(x)的圖象上的任意一點為p(x,y),而p(x,y)關于原點的對稱點為p(-x,-y),而，2(-x,f(-x))是y=f(x)圖象上的點.若f(-x)=-f(工臾叩(x)=-y這時p1與p2重合?-1y=f(x)圖象上的任意一點p(x,y)關于原點的對稱點p1(-x,-y)也在y='f(x)圖象上???f(x)圖象關于原點對稱反思升華4：如果函數y=f(x)滿足f(1+x)+f(1-x)=0則函數y=f(x)的圖象關于點(1,0)對稱.證明：設y=f(x)的圖象上的任意一點為p(x,y)關于點(1,0)的對稱點p〔(2-x,y)，而p2(2-x,f(2-x))是y=f(x)圖象上的點，若f(1+x)+f(1-x)=0nf(x)+f(2-1x)=0n-f(x)=f(2-x)即-y=f(2-x) p1與p2重合y=f(x)圖象上的任意一點p(x,y)關于點(1,0)的對稱點p1(2-x,-y)也在y=f(x)圖象上f(x)圖象關于點(1,0)對稱反思升華5：如果函數y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=0則函數y=f(x)的圖象關于點(a,o)對稱反思升華6：如果函數y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b，則函數y=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱問題3.設函數y=f(x)定義在實數集上，則函數y=f(x-1)與函數y=f(1-x)的圖象關于直線x=1對稱證明：設函數y=f(x-1)圖象上的任意一點為p(x,y),p(x,y),關于直線x=1對稱點為1 1 1 1 1 1p(x,y測x=2—x，y=y1x1=2—x,七=y,而七=f(x1-1)即y=f[(2-x)-1]=f(1一x)函數y=f(x-1)圖象關于直線x=1對稱的圖象的函數為y=f(1-x)即函數y=f(x-1)與y=f(1-x)圖象關于直線x=1對稱反思升華7：設函數y=f(x)定義在實數集上，則函數y=f(x-a)與函數y=f(a-x)的圖象關于直線x=a對稱反思升華8：設函數y=f(x)定義在實數集上，則兩個函數y=f(x+a)與y=f(b-x)的圖象關于直線x=b-a對稱2例題與練習設二次函數滿足/(A"2)=/(A+2),圖象與'軸交點為(0,2)，與'軸兩交點間的距離為2,求的解析式。二次函數八' 滿足八，八'，求八'的頂點的坐標。已知川E"+或心)，且Sf+礦(1)寫出心的關系式(2)指出加的單調區間。若函數f(x)在其定義域內滿足f(x)=f(2-x)，方程f(x)=0有五個實數根，則其和為。奇函數f(x)滿足f(3+x)=f(3-x),xeR，當0<x<3時，f(x)=2x；則當-6<x〈-3時，f(x)=對于任意的函數f ，在同一坐標系中y=fG+3)和y=f(1—x)的圖象關于 對稱。第七課時 函數的解析式一、基礎知識直接代入法 (2)換元法(3)配湊法(4)消去法(5)待定系數法(6)賦值法利用奇偶性求解析式例1已知f(x)=X2-1,g(X)=< ( )；求f[g(x)]g[f(x)]的解析式2一x(x<0)||— J例2已知f(*x+1)=x+2^x，求f(x)的解析式例3 如果函數f(x)是一次函數，且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)例4 已知函數f(x)滿足f(x)+2f(-)=3x，求f(x)x例5設f(x)是R上的函數，且滿足f(0)=1，并且對任意的實數x,y，有f(x一y)=f(x)一y(2x一y+1)，求f(x)的解析式.例6課本44頁例2；46頁例4例5；例7 將周長為Z的鐵絲彎成一個下半部分為矩形，上半部分為半圓形的框架，圓的半徑為x，求此框架的面積y與x的函數關系。作業：已知f(x)滿足af(x)+f(一x)=ax,a圣土1,，求f(x)已知口f(x-3)=x2+2x+1，則f(x)=設二次函數f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)=0的兩個實根平方和為10，圖象過(0,3)求f(x)的解析式。f「+￡|=土-1,求f(x)x設函數f(x)= (a,b為常數，且ab尹0)，滿足f(2)=1，方程f(x)=x有唯一解，求f(x)ax+b的解析式，并求出f[f(-3)]的值。第八課時 函數的單調，性1、單調性的概念：⑴建立感性認識：觀察分析二次函數、1、單調性的概念：⑴建立感性認識：觀察分析二次函數、⑵進行數學定義：P48 P49增函數、減函數、反比例函數的圖象，總結圖象的“升、降”單調區間、單調性注意：⑴、單調性是相對于定義域內區間而言的。單調區間有時是整個定義域。⑵、關于區間端點。⑶、對同一函數，可能在某些區間上是增，另一些區間上為減。⑷、同一函數在定義域某些區間上為增(減)，并不說明在這些區間的并集上為增(減)。2、單調性的證明2、步驟：設量一一作差一一變形一一定號一一結論3、3、單調性的判斷、單調區間的求法(利用定義、圖象)典型例題：教材例1、證明函數f(X)=2X+1在(-8,+8)上是增函數教材例2、證明函數f(X)=—在(-8,0)和(0,+8)上是減函數X求證f(x)=fX在定義域上為減函數。f(x)、g(x)在(-8，+8)上是增函數，求證f(g(x))在(-8,+8)上是增函數。1 2x求y=—匹的單調區間1+X求y=x2-4x+5的單調區間求y=\：x2-4x+5的單調區間函數f(x)=-x2-2(a-1)x+2在區間(-8,4)上是增函數，求a的范圍y=x2+2ax+1在'-1,2〕上最大值為4，求a的值。求y=x2—2x+3(2—X—3)的最值。一■<(0.25)3與一&0?1)3；-J——與一一^；-^―與一-^3.25 \3.5 0.25 0.75

第九課時 函數的奇偶性1、 奇偶函數的概念：P50注：定義域內的任意x均f(—x)=—f(x)之一成立2、 奇偶性的判定與證明。步驟：⑴、考慮定義域是否對稱。(2)驗證f(—x)=士f(x)是否成立例題:(1)①y=2x②y=2x+1①y=9-x(1)①y=2x②y=2x+1⑴求證f⑴=0,f(xy)=f(x)+f(y)；⑵若八2)=】，求解不等式/(x)-/(二)<2。(6)y=Vx2一1+t1-x2y=— (4(6)y=Vx2一1+t1-x2x x 1一x(7)x(7)x2+x(x<0)y=*一x2+x(x>0)(8)f(x)=v'1一x22.設f(x)是定義在A上的奇函數，g(x)是定義在B上的奇函數，那么在AcB上，f(x)+g(x)是奇函數，f(x)*g(x)是偶函數，類似的結論還有：奇士奇=奇，奇*奇=偶，偶士偶=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇3、性質及應用。性質圖像(充要條件) (指出判定方法)典型例題：例1、求做f(x)=2x2_6lxl+5的圖象例2、正確的命題：①偶函數的圖象與y軸相交②奇函數的圖象過原點③偶函數的圖象關于y軸對稱既是奇函數又是偶函數的函數一定是f(x)=0⑤一個函數不是奇函數就是偶函數例3、f(x)=x5+ax3+bx—8若f(-2)=10，求f(2)例4.y=f(x)的圖象與x軸有四個交點，則f(x)=0的實根之和為0是y=f(x)為偶函數的條件。例5、已知函數f(x)中，對于任意的x,y，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，x,yeR，f(0)/0，貝0f(x)是 函數。例6、已知函數f(x)與g(x)定義在R上，f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，且有 1工f(x)+g(x)= ，求f(x),g(x)x一1例7、若函數f(x)是定義在R上的偶函數，在(-8,0］上是減函數，且f(2)=0，則f(x)<0的解集是 ，xf(x)<0的解集是 。x例8、設函數f(x)為定義在R上的偶函數且x豐0，在(0,+8)上是增函數，f()=f(x)-f(y).y第十課時單調，性奇偶性綜合一、 復習兩種性質的知識。二、 綜合應用已知函數y=f(x)在R上是奇函數而且在(0,+3)上是增函數，證明y=f(x)在(-3,0)上也是增函數f(x)為奇函數，當x>0時，f(x)=x(1-x)則x<0時，f(x)=f(x)的定義域為R，且為奇函數，當xG(0,+3)時，f(x)=x(1+買)求f(x)的解析式f(x)=x5+px3+qx-8滿足f(-2)=10，求f(2)f(x)定義域為b|x尹0｝滿足2f(x)+f(_)=x，判定f(x)的奇偶性x函數f(x)在(-3 ,+3)上滿足(1) f(x+y)= f(x)+ f(y) (2) f(x)在定義域上單調遞減(3)f(1-a)+f(1-a2)<0求：(1)f(x)為奇函數(2)a的取值范圍f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數，試比較f(-1),f(-、：2),f(7‘3)的大小已知f(x)是定義在(-1，1)上的偶函數，且在(0，1)上為增函數，若f(a-2)-f(4-a2)<0，試確定a的取值范圍設函數y=f(x)(xGR,x尹0)對任意非零實數x1,x2均滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，求證:f(x)是偶函數設f(x)是R上的奇函數，f(x+2)=-f(x)，當0Vx<1時，f(x)=x，求f(7.5)11、 已知奇函數f(x)在R上的減函數，對任意的實數x，恒有f(kx)+f(-x2+x-2)>0成立，求k的取值范圍。12、 設f(x)在R上的偶函數，在(-3,0)上遞增，且有f(2a2+a+1)<f(-3a2+2a-1)，則實數a的取值范圍13、函數f(x)=竺切是定義在(-1,1)上的奇函數，且f(號=-1+x2 2 5(1)確定f(x)的解析式；(2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數；(3)解不等式f(t-1)+f(t)<014、設a是實數，函數f(x)=x2+|x一aI+1,xgR(1)討論f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值。

第十一課時函數的零點課堂引入例：研究y=—3X函數f(x)=x2—ax—b的兩個零點是2和3，則函數f(x)=函數f(x)=x2—ax—b的兩個零點是2和3，則函數f(x)=bx2—ax—1的零點是。一、 定義：一般地，如果函數y=f(X)在實數a處的值等于零，即f(a)=0，則a叫做函數的零點。說明：函數的零點指的是一個實數，自變量取這個實數時，其函數值為零；TOC\o"1-5"\h\z函數的零點即是函數圖像與橫軸焦點的橫坐標； 吁我們只討論函數的實零點。 /\練習：右圖的函數零點是多少？ \ \二、函數零點的性質 通過觀察圖像得到。 A/'f'相鄰兩個零點之間的所有函數值同號； V函數y=f(x)在一個區間［a,b］不間斷，且端點處異號即f(a)-f(b)<0，則函數在此區間上至少有一個零點；函數y=f(x)在一個單調區間上之多有一個零點；函數圖像通過零點時，如果是二重零點，函數值不變化；如果不是二重零點，函數值變號。三、 求函數零點的方法(1)分解因式(2)公式法(3)圖像法(4)二分法四、 判斷函數零點的個數圖像法例：函數y=—x2+5零點的個數是X參考例題：1、求解函數零點(1)函數(1)函數f(X)=XG[0,+3)，XG(—3,0)又g(X)=f(X)—1，則函數g(X)的零點是第十二課時首先研究一元二次方程根的存在條件:第十二課時首先研究一元二次方程根的存在條件:一元二次方程根的分布例：求m為何值時，函數f(x)=2(m+1)x 2 一2a>()、af(0)=ac>0做題的思路：1、畫圖像草圖；2、解前面出的題目 2 一2a>()、af(0)=ac>0做題的思路：1、畫圖像草圖；2、解前面出的題目參考例題：那么大家思考：上述函數什么時候(1)有兩個正根(2)有兩個負根(3)有兩個異號根(4)兩個根在(0,1)中。a壬0A=b2a壬0A=b2—4ac20.

b，

x+x=— >0c_

x-x= >02aIa/0x>0,x<0o〈A=b2—4ac>01 2 [Px2=C>0作圖的思路：1、判斷兩根之和與兩根之積的情況；2、列相應的不等式組；；3、求解結果解前面出的題目方法二、一a二A三圖像a/0一_?A=b2—4ac>0；x>0,x>0o\ba，0x>0,x<0o\A=b2-4ac>0[af(0)=ac<0列相應的不等式組；3、求解結果1、已知函數f(x)=mx2—(4m+1)x+4m-1的圖像與橫軸沒有交點，求實數m的取值范圍。2、已知函數f(x)=x2+(m-2)x+(5-m)的兩根都大于2,求實數m的取值范圍。3、 方程2mx2—x—1=0在［-2,2］內恰有一個根適合方程，求實數m的取值范圍。4、 已知函數f(x)=mx2+(m-3)x+1的圖像與橫軸的交點至少有一個在原點右側，則實數m的取值范圍是 (-3,1］5、 二次函數y=ax2-2x+1(a>0)的兩個零點滿足關系：一個小于1,另一個在(1,3)上，求實數a的取值范圍。參考作業：對于函數f(x)=(k+3)x2-4kx+(2k-1)，在函數零點滿足下列關系時，求實數m的取值范圍。(1)有兩個正根(2)有兩個負根 (3)有兩個異號根都比1大 (5)兩個實根，一個大于2，—個小于2(6)兩個實根，一個在(-1,1)上，一個大于2 (7)恰好有一個根在(0,1)中(8)至少有一個正根第十三課時 求函數近似解的一種方法——二分法一、數學史引入(簡單介紹)數學源于生活。由于解決實際問題的需要，人們經常需要尋求函數y=f(x)的零點，即方程f(x)=0的根。設一元n次方程axn+axn-1+axn-2++ax+a=0(a豐0)，人們總是希望能用各項的系數來表示它的所有派。9世紀，中亞西亞學者穆罕默德。阿里。花拉子模發現了二次方程ax2+bx+c=0(a尹0)的解為。1545年意大利的卡爾達諾在他的《大法》一書中給出了一元三次方程的求根公式；之后，卡爾達諾的學生費拉里給出了一元四次方程的求根公式。但是當n>5時，人們卻找不到方程的公式解。年輕的挪威數學家阿貝爾和法國數學家伽羅瓦證明了：一般五次和五次以上代數方程的解不能用公式給出。下面我們探討一下求函數零點的其他方法。二、 創設情境：(簡單分析)在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發生了故障。這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？三、 二分法的定義：對于在區間［a,b］上連續不斷，且f(a).f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。四、 一般步驟：已知函數y=f(x)定義在區間D上，求它在D上的一個變號零點x^的近似值x，使TOC\o"1-5"\h\z/J I 0它與零點的誤差不超過正數￡，即使得|x-x0<￡.下面我們分步寫出，用二分法求函數零點的一般步驟：第一步：在D內取一個閉區間［a,b］，驗證f(a).f(b)<0。令a=a,b=b.第二步：取區間“，b］的中點，則此中點對應的橫坐標為x=a+fb-a)=L+b)計算f(x0)和f(a0)00 0 0 20 0 2 0 0 0判斷：(1)如果f(x)=0，則寸x就是f(x)的零點，計算終止；如果f(a0)?f(x)<0，則零點位于區間［a。,x。］中，令a廣a*】=xq；如果f(a°)?f(x0)>0，則零點位于區間［x°,b0］中，令a=x,b=b°；0 0 1 0 1第三步取區間［a:b］的申點，則此中點對應的橫坐標為1 1x=a+~(b-a)=~(a+b)計算f(x)和f(a)1 12 1 1 2 1 1 1 1判斷：(1)如果f(x.)=0，則x.就是f(x)的零點，計算終止；如果f(a).f(x)<0，則零點位于區間［a,x］中，令a=a,b=x；2 12 1如果f(a).f(x)>0，則零點位于區間［x,b］中，令a=x,b=b；1 1 11 2 12 1實施上述步驟，函數的零點總位于區間［a,b］上。判斷是否達到精度，當|a-b\<2￡時，函數y=f(x)的近似零點與真正零點的誤差不超過￡，此時區間［a,b］的中點x=1(a+b)就是函數的近似零點。nn n2nn參考例題例1 求函數f(x)=x3+x2-2x-2的一個為正數的零點。(1)精確到0.1 (2)精確到0.01解:由于f⑴=-2<0,f⑵=6>0,可以取區間［1，2］作為計算的初始區間。用二分法逐步計算，列 次數端點(中點)坐標計算中點函數值取區間區間長度0[1,2]111.50.625[1,1.5]0.521.25-0.984[1.25,1.5]0.25

31.375-0.260[1.375,1.5]0.12541.43750.165[1.375,1.4375]0.062551.40625-0.05405[1.40625,1.4375]0.0312561.4218750.0526237[1.40625,1.421875]0.01562571.4140625-0.0010313[1.4140625,1.421875]0.0078125由上表可知，第3次取中點后，區間長度為0.125<0.2,所以1.375和1.5的中點1.4375滿足精度要求，精確到0.1后為1.4（4次取中點）;第6次取中點后，區間長度為0.015625<0.02,所以1.40625和1.421875的中點1.4140625滿足精度要求，精確到0.01后為1.41（7次取中點）。例2 用二分法求萩2的近似值（結果保留三位有效數字）解:不妨構造函數f（x）=x3-2,那么%=*2為函數f（x）=x3-2的一個零點。由于f⑴=-1<0,f⑵=6>0,可以取區間［1，2］作為計算的初始區間。用二分法逐步計算，列表如下：次數端點（中點）坐標計算中點函數值取區間區間長度0[1，2]111.51.375[1，1.5]0.521.25-0.047[1.25，1.5]0.2531.3750.6[1.25，1.375]0.12541.31250.261[1.25，1.3125]0.062551.281250.103[1.25，1.28125]0.0312561.2656250.027[1.25，1.265625]0.01562571.2578125由上表可知，結果保留三位有效數字，即精度為0.01。第6次取中點后，區間長度為0.015625<0.02,所以1.25和1.265625的中點1.2578125滿足精度要求，精確到0.01后為1.26（7次取中點）；參考作業：教材P80-練習A2，練習B2章節測試函數的概念與性質測試題D、（0,-1,章節測試函數的概念與性質測試題D、（0,-1,-2}則下列四個圖中能表示從集合M到集合N的函數關一、選擇題(在題目所給的四個選項中，每題只有一個選項是正確的，每小題5分，共40分)1、 設集合A和B都是實數集R，且映射f:A-B把集合A中的元素x映射到B中的元素x3-x+1，則在映射f下，象1的原象組成的集合是()A、(1}B、(0} C、