理解平面向量基本定理及其意義，在平面內，當一組基選定后，會用這組基來表示其他向量.課標要求素養要求通過力的分解引出平面向量基本定理，體會平面向量基本定理的應用，重點提升數學抽象及直觀想象素養.課前預習課堂互動分層訓練內容索引課前預習知識探究1平面向量基本定理設e1，e2是平面上的兩個不共線的向量，則(1)平面上每個向量v都可以分解為e1，e2的實數倍之和，即v＝___________，其中x，y是實數.(2)實數x，y由v＝xe1＋ye2__________.(3)不共線的向量e1，e2組成平面的一組基{e1，e2}.分解式v＝xe1＋ye2中的系數x，y組成的有序數組(x，y)，稱為v在這組基下的______.xe1＋ye2唯一決定坐標1.思考辨析，判斷正誤×(1)平面向量基本定理中基的選取是唯一的.(

)提示基的選取不是唯一的，不共線的兩個向量都可以作為基.(2)零向量可以作為基.(

)提示由于0和任意的向量共線，故不能作為基.(3)若a，b不共線，則a＋b與a－b可以作為基.()提示由于a＋b和a－b不共線，故可作基.×√2.設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，則以下各組向量中不能作為基的是(

) A.e1，e2 B.e1＋e2，3e1＋3e2 C.e1，5e2 D.e1，e1＋e2

解析∵3e1＋3e2＝3(e1＋e2)， ∴兩向量共線不可作為基.BBA.BD＝2CD B.BD＝CDC.BD＝3CD D.CD＝2BD課堂互動題型剖析2題型一平面向量基本定理的理解【例1】

若e1，e2是平面α內所有向量的一組基，λ，μ是實數，判斷下列說法是否正確，并說明理由. (1)若λ，μ滿足λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0； (2)對于平面α內任意一個向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的實數λ，μ有無數對； (3)線性組合λe1＋μe2可以表示平面α內的所有向量； (4)當λ，μ取不同的值時，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.(2)不正確.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一確定.(3)正確.平面α內的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.(4)不正確.結合向量加法的平行四邊形法則易知，當λe1和μe2確定后，其和向量λe1＋μe2便唯一確定.

(1)對于平面內任一向量都可以用兩個不共線的向量來表示；反之，平面內的任一向量也可以分解成兩個不共線的向量的和的形式.(2)向量的基是指平面內不共線的兩個向量，事實上，若e1，e2是基，則必有e1≠0，e2≠0，且e1與e2不共線，如0與e1，e1與2e1，e1＋e2與2(e1＋e2)等均不能構成基.思維升華【訓練1】

設e1，e2是平面內所有向量的一組基，則下列四組向量中不能作為基的是(

) A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2 C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2

解析選項B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴6e1－8e2與3e1－4e2共線， ∴不能作為基，選項A，C，D中兩向量均不共線，可以作為基.故選B.B題型二用基表示向量用基表示向量的方法將兩個不共線的向量作為基表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉化，直至用基表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式求解.思維升華【例3】

如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM與BP∶PN的值.題型三平面向量基本定理的綜合應用由平面向量基本定理，∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.【遷移2】

(變條件)若本例中的點N為AC的中點，其他條件不變，求AP∶PM與BP∶PN的值.∵A，P，M和B，P，N分別共線，由平面向量基本定理∴AP∶PM＝2∶1，BP∶PN＝2∶1.若直接利用基表示向量比較困難，可設出目標向量并建立其與基之間滿足的關系式，然后利用已知條件及相關結論，從不同方向和角度表示出目標向量(一般需建立兩個不同的向量表達式)，再根據待定系數法確定系數.思維升華1.通過學習平面向量基本定理及其意義，提升數學抽象素養.通過運用平面向量基本定理解決問題，培養直觀想象素養.2.對基的理解(1)基具備兩個主要特征：①基是兩個不共線向量；②基的選擇是不唯一的.平面內兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內所有向量的一組基的條件.(2)零向量與任意向量共線，故不能作為基.課堂小結3.準確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實質是向量的分解，即平面內任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的.(2)用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當的基將問題中涉及的向量向基化歸，使問題得以解決.分層訓練素養提升3

一、選擇題1.設e1，e2是同一個平面內的兩個向量，則有(

) A.e1，e2平行 B.e1，e2的模相等 C.同一個平面內的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) D.若e1，e2不共線，則對于同一個平面內的任一向量a，有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)

解析由平面向量基本定理知D正確.DDADB二、填空題6.設向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用m，n表示p，則p＝________________.解析設p＝xm＋yn，則3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，7.已知向量e