函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（三）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．已知直線與曲線相切，則的最大值為A． B． C． D．3．在上可導(dǎo)的函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（）．A． B．C． D．4．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B．1 C．3 D．6．設(shè)函數(shù)，是方程的根，且，當(dāng)時(shí)，關(guān)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的說(shuō)法中，正確的是A．至少有一個(gè)零點(diǎn) B．至多有一個(gè)零點(diǎn)C．可能存在2個(gè)零點(diǎn) D．可能存在3個(gè)零點(diǎn)7．已知集合，，則（

）A． B．C．（0，1） D．8．若直線與曲線相切，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知，下列選項(xiàng)中正確的為（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)m的值可能為（

）A． B． C． D．11．已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，等，定義，則下列結(jié)論正確的有（

）A．，B．不等式的解集為C．的值域?yàn)镈．是周期函數(shù)12．設(shè)函數(shù)，，給定下列命題，其中正確的是（

）A．若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）B．若方程恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則C．若，總有恒成立，則D．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)三、填空題13．已知，則a，b，c的大小關(guān)系是___________.14．已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則__________．15．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.16．一組數(shù)據(jù)為，10，11，9，這組數(shù)據(jù)平均數(shù)為10，則方差的最小值為_(kāi)_______.四、解答題17．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).(1)求出此函數(shù)的解析式；(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并給予證明.18．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，若，求證：.19．已知函數(shù).(1)請(qǐng)研究函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.20．已知在區(qū)間上是增函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A；(2)設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)非零實(shí)根為．試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式對(duì)任意及恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求證：；（2）若不等式在上恒成立，求正數(shù)a的取值范圍22．已知函數(shù)，函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)求函數(shù)的極值.(2)若.（i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）求證：時(shí)，不等式恒成立.參考答案：1．A【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則結(jié)合定義域即可得到結(jié)果.【詳解】是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)求單調(diào)遞減區(qū)間同增異減，為單調(diào)遞增函數(shù)，故求的遞減區(qū)間即可，所求遞減區(qū)間為，又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)定義域，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，注意定義域問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】根據(jù)切點(diǎn)處切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值、切點(diǎn)處直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)值等于曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，得到關(guān)于等式，由此將表示成關(guān)于的函數(shù)形式，構(gòu)造新函數(shù)分析的最大值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則由得，又由，得，則，有，令，則，故當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)取得極大值也即最大值.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及構(gòu)造函數(shù)求解最值，難度較難.(1)分析導(dǎo)數(shù)的切線問(wèn)題，注意兩個(gè)點(diǎn)：切線的斜率等于切點(diǎn)處曲線的導(dǎo)數(shù)值、切線對(duì)應(yīng)的值等于曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；(2)構(gòu)造函數(shù)求解最值時(shí)，注意分析新函數(shù)的單調(diào)性以及定義域，然后分析最值即可.3．A【分析】利用函數(shù)的圖象判斷的正負(fù)，從而求出不等式的解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足，此時(shí)不等式解得；當(dāng)時(shí)，，若，解得，當(dāng)時(shí)，，若，此時(shí)不等式無(wú)解.綜上可得不等式的解集為.故選：A4．B【分析】先由換底公式將對(duì)數(shù)進(jìn)行處理，根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可得出；再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由已知得，，由于，故，而，故.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查比較指數(shù)與對(duì)數(shù)的大小，熟記指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.5．C【分析】直接由分段函數(shù)解析式求函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：C.6．B【詳解】試題分析：因?yàn)槭欠匠痰母沂侵馗瑒t，即得．由，則．又由，則，，則，令＋＋，則．當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，而＝；當(dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，故選B．考點(diǎn)：1、函數(shù)零點(diǎn)；2、方程的根；3、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．7．B【分析】分別化簡(jiǎn)集合，根據(jù)并集的定義求解.【詳解】不等式的解集是集合又因?yàn)橛郑詽M足函數(shù)中的范圍就是集合所以所以故選：B8．C【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則，即可求出，從而求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線方程計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，所以，解得，所以，即切點(diǎn)為，又切點(diǎn)在直線，所以，解得故選：C9．BC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),不等式性質(zhì)判斷．【詳解】A錯(cuò)，例如滿足，便；B正確，，，又，所以，而，所以；C正確，設(shè)，，，則，，所以，即．D錯(cuò)誤，，，，所以，不一定成立．故選：BC．10．CD【分析】將給定不等式作等價(jià)變形，利用同構(gòu)的思想構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)即可求解作答.【詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪ⅲ@然，，，因此，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因此要使原不等式成立，則有，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，符合題意，所以m的取值范圍為，選項(xiàng)AB不滿足，選項(xiàng)CD滿足.故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：原不等式可轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11．CD【分析】利用特殊值法可判斷A選項(xiàng)的正誤；解不等式可判斷B選項(xiàng)的正誤；取可判斷C選項(xiàng)的正誤；驗(yàn)證可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得，故的取值集合為，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，對(duì)于函數(shù)，若且，則，則，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，對(duì)任意的，存在使得，則，，故，所以，，故函數(shù)為周期函數(shù)，D選項(xiàng)正確.故選：CD.12．ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，且將題意轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即可判斷A選項(xiàng)；易知不是該方程的根，當(dāng)時(shí)，將條件等價(jià)于和只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可推出結(jié)果，即可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，將條件等價(jià)于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出的范圍，即可判斷C選項(xiàng)；有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)列出不等式并求解，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，的定義域，，令，有，即，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以極小值等于最小值，，且當(dāng)時(shí)，又，從而要使得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，易知不是該方程的根，當(dāng)時(shí)，，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于和只有一個(gè)交點(diǎn)，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為,由大致圖像可知或，故B錯(cuò)誤；。對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是，1故C正確；對(duì)于D，有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)不同的正根，即方程有兩個(gè)不同的正根，由C可知，，則D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題和恒成立問(wèn)題從而求參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵在于將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題時(shí)注意利用數(shù)形結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．13．/【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，然后設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，并求最值，從而可得答案【詳解】因?yàn)椋裕裕O(shè).∵，∴.又.在上單調(diào)遞增，得.∵，∴，∴，所以所以.故答案為：14．【詳解】分析：由可知，函數(shù)的周期為2，利用周期性與奇偶性把所給的兩個(gè)自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間上，代入求值即可.詳解：由可知，函數(shù)的周期為2，又為偶函數(shù)∴故答案為點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了奇偶性與周期性的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題.15．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】因?yàn)椋裕裕郧芯€方程為，即.故答案為：.16．【分析】先由平均數(shù)可得，將方差用表示后，利用配方法求其最小值即可.【詳解】,所以,，所以時(shí)，有最小值,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本平均數(shù)與方差，屬于中檔題.樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均公式樣本方差公式，標(biāo)準(zhǔn)差.17．(1)；(2)奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，所以有，因此；（2）函數(shù)是奇函數(shù)，理由如下：因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù).18．（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線的斜率，寫(xiě)出切線的點(diǎn)斜式方程，最后化成一般式即可；（2）求出的表達(dá)式，根據(jù)零點(diǎn)定義，得到一個(gè)指數(shù)方程，然后取對(duì)數(shù)，變成對(duì)數(shù)方程，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知的不等式進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，且，曲線在處的切線的斜率.曲線在處的切線方程為，即；（2）由題意得.是的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，，即，，即.又，則.令，顯然，所以因此在上是增函數(shù)，且.，因此..【點(diǎn)睛】本題考查了過(guò)曲線上一點(diǎn)求曲線切線方程問(wèn)題，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19．(1)4，證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）函數(shù)是奇函數(shù)，所以只要考慮上的零點(diǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，用縮放法可以證明不等式.（1）為奇函數(shù)，所以只需要研究函數(shù)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)遞減的，，，所以當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，，是單調(diào)遞增的，，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減的，當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)遞增的，又，所以，，所以存在使得，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，，兩邊取自然對(duì)數(shù)得：構(gòu)造函數(shù)，即，即，即，則，于是，，所以.【點(diǎn)睛】一般來(lái)說(shuō)當(dāng)三角函數(shù)和其他基本初等函數(shù)同時(shí)出現(xiàn)在同一解析式時(shí)，由于三角函數(shù)是周期函數(shù)，而其他函數(shù)往往沒(méi)有周期性，所以需要一個(gè)區(qū)間一個(gè)區(qū)間取討論，不論是單調(diào)性還是零點(diǎn)，最好在討論之前先畫(huà)一個(gè)草圖；對(duì)于第二問(wèn)難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)是非線性函數(shù)，直接計(jì)算難度很大，因此考慮縮放的方法，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，將原對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)比較容易計(jì)算的函數(shù)，像，等比較多見(jiàn).20．(1)(2)存在，m的取值范圍為【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)恒成立，結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算；（2）先根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理可得，整理得對(duì)任意恒成立，結(jié)合一次函數(shù)分析處理.【詳解】（1）∵，則，由題意可得：當(dāng)時(shí)恒成立，則當(dāng)時(shí)恒成立，∴，解得，故實(shí)數(shù)a的值組成的集合.（2）存在實(shí)數(shù)m符合題意.∵，即，則，由，則為的兩根，∴，則，又∵，則，由題意可得：，則對(duì)任意恒成立，∴，解得或，故m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】對(duì)于雙變量常見(jiàn)的恒能問(wèn)題：；；；.21．(1)見(jiàn)證明；(2)【分析】（1）要證ex≥x+1，只需證f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，求導(dǎo)得f′（x）＝ex﹣1，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明ex≥x+1．（2）不等式f（x）＞ax﹣1在x∈[，2]上恒成立，即a在x∈[]上恒成立，令g（x），x∈[]，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求g（x）在x∈[]上的最小值，由此能求出正數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）由題意知，要證，只需證，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴f（x）在是增函數(shù)，在時(shí)是減函數(shù)，即在時(shí)取最小值，∴，即，∴．（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，亦即在x∈[，2]上恒成立，令g（x）=，，以下求在上的最小值，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)]時(shí)，，∴當(dāng)]時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)]時(shí)，單調(diào)遞增，∴在處取得最小值為，∴正數(shù)a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，考查正數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．22．(1)極小值為，極大值為(2)（i）增區(qū)間是，減區(qū)間是；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的極值.（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間；（ii