2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文初中數(shù)學(xué)定長最值問題的初步探究戚家馬（淮南市壽縣壽縣第三中學(xué)，17988726@）摘要：隨著初中數(shù)學(xué)對學(xué)生能力考查的不斷深入，定點最值問題越發(fā)增多。但是隨著解決辦法。于是通過建立數(shù)學(xué)模型，解決關(guān)于此類問題的一般方法，平行四邊形方法。關(guān)鍵詞:定長最值，平行四邊形方法，模型思想引言：通過對近幾年初中數(shù)學(xué)考查內(nèi)容的梳理分析，我們了解到初中數(shù)學(xué)關(guān)于動點最值問題業(yè)已成為中考數(shù)學(xué)的熱點問題，但是隨著考查內(nèi)容和呈現(xiàn)方式的不斷推陳出新，以將軍飲馬問題為代表的定點最值問題如果說是1.0版本的話，那么定長最值問題可以說是最值問題的2.0版本。一、定長最值問題的提出1、定長線段在一條直線上運動型（1）．問題的提出【題目】(2020·合肥瑤海區(qū)二模)如圖，菱形ABCD的邊長為2

3在對角線BD上運動，且EF=2,連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是（ ）4 B. 4+3

C. 2+236在這個問題中我們發(fā)現(xiàn)EF的長度在運動過程中保持不變，始終等于2，我們把這個長度稱為定長，由此產(chǎn)生的最值問題，我們稱為定長最值問題。（2）．問題的分析決問題的辦法，也因此浪費了很多時間。我們知道平行四邊形的性質(zhì)中有一條是平行四12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文形方法。我們知道EF的長度在BD上的運動過程中始終保持不變等于2，所以要求△AEF周長的最小值只要求出AE+AF的最小值即可，此時恰好符合我們定長最值問題的構(gòu)成要件，因此我們以定長EF為一邊構(gòu)建一個平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)（對邊相等AE=FH），再利用菱形的對稱性（AF=CF）解決問題（見下圖）。（3）．問題的解決如圖作EF為一邊就構(gòu)建了一個平行四邊形AEFH（一組對邊平行且相等的四邊的對稱性可知AE+AF的最小值，此時只需要求出FH+FC的最小值就行了。而此時C、H兩點是定點，固定不動。線段EF在線段BD上運動，當(dāng)且僅當(dāng)點F運動到和線段CH短），也就是說此時AE+AF的值最小，即△AEF的周長最小．AH⊥AC，△AHC是直角三角形，而由題設(shè)可知△ABC是等邊三角形，所以AC=2

3,而AH=EF=2，在Rt△AHC中，兩條直角邊AC=2

3,AH=2,由勾股定理可知CH=4，即FH+FC的最小值等于4，所以AE+AF的最小值是4，所以△AEF的周長的最小值是4+2=6。選擇D。2、定長線段在兩條平行線間運動型（1）．問題的提出【題目】(2021·合肥四十五中四模)如圖所示，已知直線m∥n，m、n之間的距離為1，E、F點分別在直線m、n上，A、B分別為直線n、直線m上的動點，使AB＝ ，且AB⊥EF，則22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文（1）EF的值為；（2）AB在運動的過程中，AE+BF的最小值為．（2）．問題的分析

5AB求解。（3）．問題的解決先看第一個問題，當(dāng)然此問題不在我們討論之列，易求EF=5。2再看第二個問題，此時我們連接AB在運動的過程中，AE+BF的最小值，如前所述這仍然符合定長最值問題的構(gòu)成要件，我們?nèi)匀煌ㄟ^構(gòu)造平行四邊形模型加以解決。過E點作定長AB的平行線EG=AB=5,連接AB為一邊構(gòu)造了一個平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），同樣由平行四邊形性質(zhì)我們知道AE+BF的最小值，只需求出BG+BF的最小值即可。此時的△EFG是直角三角形，兩條直角邊EF=5，EG=AB=2

5,當(dāng)且僅當(dāng)點B運動到直線FG上時，BG+BF取得最小值，由勾股定理可知FG=5BG+BF的2最小值是5，所以AE+BF的值最小即為FG的長5。2 2二、定長最值問題的解決辦法值的升華。且多以選擇題，填空題壓軸試題形式呈現(xiàn)，著重考查學(xué)生的建立模型能力，模型，找到問題的最根本的，最一般的規(guī)律，然后運用模型解決實際問題。32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文問題，解決問題。法，往往對于學(xué)生來說一知半解，更不能把知識系統(tǒng)化，達到舉一反三的目的。而我們通過建立數(shù)學(xué)模型，找到了解決定長最值的一般方法——平行四邊形方法，數(shù)學(xué)思想的初步建立。四邊形的性質(zhì)及對稱性轉(zhuǎn)化成定點最值解決問題。三、定長最值問題的應(yīng)用分析的舉的兩個例子，以供參考。應(yīng)用1(2021·江蘇連云港市中考)如圖，正方形ABCD內(nèi)接于

⊙O，線段MN在對角線BD上運動，若

⊙O的面積為2π，MN=1，則△AMN周長的最小值是()A.3B.4C.5D.6分在這個問題中同樣是定長MN=1長度不變在線段DB上運動現(xiàn)在要N周長的最小值實際上就是求N之和的最小值我們?nèi)匀灰远ㄩLN為一邊構(gòu)建平行四邊形。過A點作AE∥MN，使AE=MN=1,此時四邊形AEMN就是平行四邊形，并且AM+AN之和的最小值就是求ME+MCM點運動到線段CE取得最小值。此時我們知道正方形的AEC條直角邊AC=2

2CE=3,即ME+MC42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文的最小值是3，所以AM+AN的最小是3，所以△AMN周長的最小值即為B。應(yīng)用2(2022·合肥三十八中一模)如圖，AC是菱形ABCD的對角線，∠ABC＝120°，點是AC上的動點，且EF1ACDE+BF4的最小值為()A.15B.17C.2D.192 2 2分析:這里同樣是定長EF在線段AC上運動，從而產(chǎn)生的DE+BF最值問題。適用于BD交AC于為鄰邊作平行四邊形BFEG，此時DE+BFGE+DED,G為定E點運動到線段DG所給條件可求32Rt△BDG中