第七章小波變換與多分辨分析

背景知識子帶編碼多分辨展開小波變換小波包1小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導解析理論”論文1910年Haar提出最簡單的小波1980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨率分析理論（MRA），統(tǒng)一了語音識別中的鏡向濾波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個不相關的領域。

2問題1.為什么要研究小波變換？優(yōu)點？2.圖像如何進行多分辨處理與小波表示？3正弦波和小波（a）正弦波曲線；(b)小波曲線45與傅里葉變換相比，小波變換的優(yōu)點：小波變換同時提供了信號的時間-頻率信息，而DFT只是提供了頻率信息。小波分析是利用多種“小波基函數(shù)”對“原始信號”進行分解，而傅里葉變換的基函數(shù)為三角函數(shù)。小波變換為原始信號提供了多分辨表達能力，在某一個分辨度檢測不到的現(xiàn)象，在另一個分辨度卻很容易觀察處理。6圖像變換每一種變換都有自己的正交函數(shù)集，引入不同的變換傅里葉變換余弦變換正弦變換圖像變換哈達瑪變換沃爾什變換K-L變換

小波變換77.1背景知識7.1.1圖像金字塔

金字塔算法

一幅圖像的金字塔是一系列以金字塔形狀排列的分辨率逐步降低的圖像集合

一個金字塔圖像結構

金字塔的底部是待處理圖像的高分辨率表示，而頂部是低分辨率近似。當向金字塔的上層移動時，尺寸和分辨率就降低。8建立金字塔的方框圖9高斯和拉普拉斯金字塔編碼

首先對圖像用高斯脈沖響應作低通濾波，濾波后的結果從原圖像中減去，圖像中的高頻細節(jié)則保留在差值圖像里；然后，對低通濾波后的圖像進行間隔采樣，細節(jié)并不會因此而丟失。10

雙通道子帶編碼和重建

7.1.2子帶編碼子帶：一幅圖像被分解成一系列帶限分量的集合，稱為子帶，它們可以重組在一起無失真地重建原始圖像。11子帶圖像編碼的二維4頻段濾波器組

二維子帶編碼和解碼12哈爾基函數(shù)是最古老也是最簡單的正交小波。哈爾變換本身是可分離的，也是對稱的，可以用下述矩陣形式表達：

T=HFHT其中，F(xiàn)是一個N×N圖像矩陣，H是N×N變換矩陣，T是N×N變換的結果

7.1.3哈爾(Haar)變換134x4Haar變換矩陣148×8的Haar變換矩陣為：15哈爾變換哈爾基函數(shù)對圖像的多分辨率分解

167.2多分辨率展開

函數(shù)的伸縮和平移

給定一個基本函數(shù),則的伸縮和平移公式可記為：17函數(shù)的伸縮和平移18

序列展開

信號或函數(shù)常常可以被很好地分解為一系列展開函數(shù)的線性組合。其中，k是有限或無限和的整數(shù)下標，ak是具有實數(shù)值的展開系數(shù)，是具有實數(shù)值的展開函數(shù)

19尺度函數(shù)20

小波函數(shù)

給定尺度函數(shù)，則小波函數(shù)所在的空間跨越了相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異。定義小波集合，21令相鄰兩尺度子空間Vj和Vj+1的差異子空間為Wj，則下圖表明了Wj與Vj和Vj+1間的關系。尺度及小波函數(shù)空間的關系

22第一講核心知識點[1]小波變換與DFT變換相比優(yōu)點是什么？為什么引入圖象變換？[2]金字塔分解與子帶編碼的關系如何？[3]多分辨展開為什么引入尺度函數(shù)，尺度函數(shù)存在什么特點？小波函數(shù)與尺度函數(shù)的關系是什么？237.3一維小波變換一維離散小波變換（DWT）