洛必達法則思路引導思路引導“洛必達法則”是高等數(shù)學中的一個重要定理，用分離參數(shù)法（避免分類討論）解決成立、或恒成立命題時，經常需要求在區(qū)間端點處的函數(shù)（最）值，若出現(xiàn)型或型可以考慮使用洛必達法則。法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)eq\o(lim,\s\do6(x→a))f(x)＝0及eq\o(lim,\s\do6(x→a))g(x)＝0；(2)在點a的某去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)eq\o(lim,\s\do6(x→a))f(x)＝∞及eq\o(lim,\s\do6(x→a))g(x)＝∞；(2)在點a的某去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)類型一：用洛必達法則處理型函數(shù)【例1】已知函數(shù)，當時，，求的取值范圍.【解析】當時，，即.①當時，；②當時，等價于，也即.記，，則.記，，則，因此在上單調遞增，且，所以；從而在上單調遞增，所以.由洛必達法則有：，即當時，，所以，即有.綜上所述，當，時，成立.【方法總結】用洛必達法則處理型函數(shù)的步驟：1.可以分離變量；2.出現(xiàn)“”型式子；3.運用洛必達法則求值【針對訓練】若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】當時，恒成立；當時，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進而（或，，得在是減函數(shù)，進而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當時，沒有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達法得到答案，，故答案為．類型二：用洛必達法則處理型函數(shù)【例2】已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，若當x∈(1，＋∞)時，f(x)>0，求a的取值范圍．【解析】當x∈(1，＋∞)時，f(x)>0?a<eq\f((x＋1)lnx,x－1)．令H(x)＝eq\f((x＋1)lnx,x－1)，則H′(x)＝＝eq\f(x－\f(1,x)－2lnx,(x－1)2)，令K(x)＝x－eq\f(1,x)－2lnx，則K′(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x2)>0，于是K(x)在(1，＋∞)上單調遞增，所以K(x)>K(1)＝0，于是H′(x)>0，從而H(x)在(1，＋∞)上單調遞增．由洛必達法則，可得eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f((x＋1)lnx,x－1)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f(((x＋1)lnx)′,(x－1)′)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f(1＋\f(1,x)＋lnx,1)＝2，于是a≤2，所以a的取值范圍是(－∞，2]．【方法總結】用洛必達法則處理型函數(shù)的步驟：1.可以分離變量；2.出現(xiàn)“”型式子；3.運用洛必達法則求值【針對訓練】設函數(shù)，若當時，求的取值范圍【解析】當時，，對任意實數(shù)a,均在；當時，等價于令,則，令，則，，知在上為增函數(shù)，；知在上為增函數(shù)，；，g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達法則知，，故綜上，知a的取值范圍為。模擬訓練模擬訓練1.已知函數(shù)在處取得極值，且曲線在點處的切線與直線垂直.(1)求實數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1),；函數(shù)在處取得極值，；又曲線在點處的切線與直線垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當時，恒成立；當時，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進而（或，，得在是減函數(shù)，進而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當時，沒有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達法得到答案，，故答案為．2.已知函數(shù).（1）若在時有極值，求函數(shù)的解析式；（2）當時，，求的取值范圍.【解析】（1）因為，所以由在處取極值，得，求得，所以.（2）當時，，即.①當時，；②當時，等價于，也即.記，，則.記，，則，因此在上單調遞增，且，所以；從而在上單調遞增，所以.由洛必達法則有：，即當時，，所以，即有.綜上所述，當，時，成立.3.已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。（1）求、的值；（2）如果當，且時，，求的取值范圍。【解析】（1）略（2）由題設可得，當時，k<恒成立。令g(x)=(),則，再令()，則，，易知在上為增函數(shù)，且；故當時，，當x（1，+）時，；在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；故>=0，在上為增函數(shù)，=0，當時，，當x（1，+）時，，當時，，當x（1，+）時，，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由洛必達法則知，，即k的取值范圍為（-，0]4.已知函數(shù)，當時，若，都有恒成立，求的取值范圍.【解析】當時，恒成立，等價于恒成立令則，再令，由得，當時，<0,在單調遞減，，即，在單調遞增，，即，，，在單調遞增，由洛必達法則可得==1，，1，要使恒成立，只需，的取值范圍是5.若不等式對于恒成立，求的取值范圍.【解析】當時，原不等式等價于.記，則.記，則.因為，，所以在上單調遞減，且，所以在上單調遞減，且.因此在上單調遞減，且，故，因此在上單調遞減.由洛必達法則有，即當時，，即有.故時，不等式對于恒成立.6.設函數(shù).設當時，，求的取值范圍.【解析】由題設，此時.①當時，若，則，不成立；②當時，當時，，即；若，則；若，則等價于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調遞增，且，所以，即在上單調遞增，且，所以.因此，所以在上單調遞增.由洛必達法則有，即當時，，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.7.設函數(shù)，若當時，求的取值范圍.【解析】當時，，對任意實數(shù)a,均在；當時，等價于令,則，令，則，，知在上為增函數(shù)，；知在上為增函數(shù)，；，g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達法則知，，故綜上，知a的取值范圍為。8.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)是上的單調遞增函數(shù)，求實數(shù)的最小值；（2）若，且對任意，都有不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)∵函數(shù)在R上單調遞增，∴恒成立，∴，即，∴.(2)∵，∴函數(shù)，由對任意都成立，得恒成立.即恒成立.