第14章梁的縱橫彎曲與彈性基礎梁簡介.第14章梁的縱橫彎曲與彈性基礎梁簡介.在實際工程中，經常會遇到同時承受縱向載荷與橫向載荷的桿件，如果桿件的抗彎剛度很大，或者縱向力很小，那么在小變形情況下，可以忽略縱向力在桿件橫截面內產生的彎矩的影響，而按照拉壓和彎曲組合變形問題進行分析。如果桿件的抗彎剛度不是很大，而縱向力又不是太小，則縱向力產生的附加彎矩的影響一般是不能忽略的，而且梁的變形、彎矩與縱向力的關系也不再是線性的，這類問題稱為縱橫彎曲。§14.1梁的縱橫彎曲.在實際工程中，經常會遇到同時承受縱向載荷與橫向載荷的桿件，如受軸向壓力與橫向載荷聯合作用的直桿有時也稱為梁柱。1.軸向壓力與橫向載荷聯合作用的梁QxClABavPPyx.受軸向壓力與橫向載荷聯合作用的直桿有時也稱為梁柱。1.軸向

記通解分別為.記通解分別為.由兩端撓度為零的邊界條件，可以求出由C截面的連續條件.由兩端撓度為零的邊界條件，可以求出由C截面的連續條件...對于集中力Q作用在跨度中點的特殊情況，記

放大系數.對于集中力Q作用在跨度中點的特殊情況，記放大系數.Q1xlABa1vPPyxQml-amQnan…….Q1xlABa1vPPyxQml-amQnan…….例14-1

試分析受軸向壓力與均勻載荷共同作用的簡支梁的變形，并計算最大彎矩。解：xlABvPPyxq.例14-1試分析受軸向壓力與均勻載荷共同作用的簡支梁的變形通解為由兩端撓度為零的邊界條件，可求出.通解為由兩端撓度為零的邊界條件，可求出.

同前，記，則. 同前，記，則.xlABvPPyxMB例14-2

圖示簡支梁受軸向壓力并在一端有集中力偶作用，試分析其變形。解：通解為利用兩端撓度為零的邊界條件求得.xlABvPPyxMB例14-2圖示簡支梁受軸向壓力并在一于是.于是.

放大系數. 放大系數.利用疊加原理不僅可以解決軸向壓力和多個橫向載荷共同作用的靜定梁問題，還可以求解相應的靜不定梁問題。

lABPPqxABPPyxqMoMo利用上兩例結果，有.利用疊加原理不僅可以解決軸向壓力和多個橫向載荷lABPPqx由，得.由，得.QxClABavPPyx2.軸向拉力與橫向載荷聯合作用的梁受軸向拉力與橫向載荷聯合作用的直桿稱為系桿或系梁

。

與受軸向壓力的情況解法類似，可得.QxClABavPPyx2.軸向拉力與橫向載荷聯合作用的梁..在梁柱問題中以-P代替P，以ki代替k，以ui代替u，并利用下列關系：就可以得到相應的系桿問題的微分方程或者解。.在梁柱問題中以-P代替P，以ki代替k，以ui代替u，并利xlABvPPyxq例14-3

試求圖示均布橫向載荷作用的系桿的最大撓度和兩端轉角。解：利用例14-1的結果，得

.xlABvPPyxq例14-3試求圖示均布橫向載荷作用的§14.2彈性基礎上的無限長梁具有密集或連續彈性支撐特點的梁，如鐵路鋼軌、船舶底板梁、房屋地基梁等。彈性基礎梁

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假設：梁上某一點的基礎反力的集度與梁在該點的撓度成正比。（德國科學家E.Wenkler于1867年提出。）xv(x)xyq(x).§14.2彈性基礎上的無限長梁1.微分方程及其通解xv(x)xyq(x)基礎支反力

彈性基礎系數，量剛為[力]/[長度]2

撓度.1.微分方程及其通解xv(x)xyq(x)基礎支反力彈xv(x)xyq(x).xv(x)xyq(x).引進記號對于沒有分布載荷作用的一段梁，上式為齊次方程.引進記號對于沒有分布載荷作用的一段梁，上式為齊次方程.其通解為A、B、C、D為積分常數，由邊界條件確定。(14-31).其通解為A、B、C、D為積分常數，由邊界條件確定。(14-3xyPvθMQ2.無限長梁（1）受集中載荷作用的無限長梁依對稱性，僅研究原點右側的一半即可。.xyPvθMQ2.無限長梁（1）受集中載荷作用的無限長梁..(14-35).(14-35).為使梁得變形和內力表示簡便，引進如下函數

(14-37)(14-36).為使梁得變形和內力表示簡便，引進如下函數(14-37)

..xyMoy（2）受集中力偶作用的無限長梁依撓度的反對稱性，僅研究原點右側的一半即可。.xyMoy（2）受集中力偶作用的無限長梁依撓度的反對稱性，對于復雜載荷作用的情況，可以利用以上受集中力或集中力偶作用的兩種結果，應用疊加原理求解。.對于復雜載荷作用的情況，可以利用以上受集中力或集中力偶.xyxlqA例14-4

如圖示，集度為q、分布長度為l的均布載荷作用在無限長的彈性基礎梁上。試求梁的任意一點的撓度。解：.xyxlqA例14-4如圖示，集度為q、分布長度為l的均xyxlqA.xyxlqA.xy2mAPPPP2m2mBCD例14-5

彈性基礎上的無限長梁受四個等值且等間距的集中力作用，如圖示。梁為20b工字鋼，已知E=40MPa，I=2500cm4，W=250cm3，基礎系數k=30MPa。若集中力P=100kN，試求B截面的變形、內力及最大應力。解：.xy2mAPPPP2m2mBCD例14-5彈性基礎上的無限以B點為原點，根據圖中各集力到B點的距離求得函數值如下表載荷作用點ABCDβx2.202.24.4η10.024410.0244-0.1546η20.089600.0896-0.01168η3-0.15481-0.15480.00791η4-0.06521-0.0652-0.00377根據(14-37)式和疊加原理，并考慮到C、D處載荷在B截面右側，其產生的轉角與剪力應改變符號，于是得.以B點為原點，根據圖中各集力到B點的距離求得函數值如下表載荷載荷作用點ABCDβx2.202.24.4η10.024410.0244-0.1546η20.089600.0896-0.01168η3-0.15481-0.15480.00791η4-0.06521-0.0652-0.00377.載荷作用點ABCDβx2.202.24.4η10.02441載荷作用點ABCDβx2.202.24.4η10.024410.0244-0.1546η20.089600.0896-0.01168η3-0.15481-0.15480.00791η4-0.06521-0.0652-0.00377.載荷作用點ABCDβx2.202.24.4η10.02441載荷作用點ABCDβx2.202.24.4η10.024410.0244-0.1546η20.089600.0896-0.01168η3-0.15481-0.15480.00791η4-0.06521-0.0652-0.00377.載荷作用點ABCDβx2.202.24.4η10.02441B截面的最大彎曲正應力為從B截面的變形和內力的計算過程可以看出，只有B點的集中力影響最大，其他三個集中力的影響都比較小。.B截面的最大彎曲正應力為從B截面的變形和內力的計算過程可以看xyPMo3.半無限長梁仍然利用通解(14-31)式積分常數A和B可由梁左端的靜力邊界條件求出，即.xyPMo3.半無限長梁仍然利用通解(14-31)式積分常..采用(14-36)式的函數表達式，上式還可寫成(14-44)利用(14-44)式并應用疊加原理，就可以解決半無限長梁的較復雜的問題。.采用(14-36)式的函數表達式，上式還可寫成(14-44RMoxyqq/k例14-6

在彈性基礎上有一受均勻載荷作用的半無限長梁，梁的左端固定，如圖所示。試求固定端反力和任意一點的撓度

。解：根據(14-44)式之第一式并應用疊加原理，由邊界條件.RMoxyqq/k例14-6在彈性基礎上有一受均勻載荷作用..MaxyPaQaxxyPaxyM'aQ'a例14-7

半無限長梁上作用一集中力P，P距左端的長度為a，如圖示。試求梁的撓度表示式

。解：+=(14-37).MaxyPaQaxxyPaxyM'aQ'a例14-7半無限MaxyPaQax(14-37)(14-44)xyM'aQ'a.MaxyPaQax(14-37)(14-44)xyM'a§14.3彈性基礎上的有限長梁1.克雷洛夫函數.§14.3彈性基礎上的有限長梁1.克雷洛夫函數.克雷洛夫函數(14-49).克雷洛夫函數(14-49).2.用初參數表示的齊次微分方程的通解初參數(14-53).2.用初參數表示的齊次微分方程的通解初參數(14-5M0xyPdQ0l3.用初參數法解有限長梁(1)受集中力作用的有限長梁———集中力P產生的附加撓度(14-54).M0xyPdQ0l3.用初參數法解有限長梁(1)受集中力也應滿足相同的齊次微分方程，故.也應滿足相同的齊次微分方程，故.(14-57).(14-57).M0xycQ0lMc(2)受集中力偶作用的有限長梁.M0xycQ0lMc(2)受集中力偶作用的有限長梁.(14-60).(14-60).xyblaq(x)(3)受分布載荷作用的有限長梁撓度表達式為(14-53)式；：：.xyblaq(x)(3)受分布載荷作用的有限長梁撓度表達式M0xyQ0q(x)bla：.M0xyQ0q(x)bla：.M0xyQ0q(x)bla可將三段撓度統一表示成(14-63).M0xyQ0q(x)bla可將三段撓度統一表示成(14-6M0xybQ0aq(x)cPMcdl(14-65).M0xybQ0aq(x)cPMcdl(14-65).xyPl例14-8

彈性基礎上的有限長梁左端受集中力作用，試求梁的彎矩方程和剪力方程。解：，代入式（14-53），有.xyPl例14-8彈性基礎上的有限長梁左端受集中力作用，試再由右端邊界條件將(14-67)式代回(14-66)式即得梁的彎矩方程和剪力方程。(14-67)(14-66).再由右端邊界條件將(14-67)式代回(14-66)式即得例14-9

例14-8中，設梁長l=2m，抗彎剛度EI=30MPa，彈性地基系數k=8MPa，P=30kN。試求解梁的剪力和彎矩。解：βlY1(βl)Y2(βl)Y3(βl)Y4(βl)2.0-1.56560.95581.64901.2325代入(14-67)式，求得.例14-9例14-8中，設梁長l=2m，抗彎剛度EI=3代入(14-66)式，求得.代入(14-66)式，求得.xyP=30kN0.5m0.5m0.5m0.5mM/kN?m6.558.107.842.35Q/kN0.65m7.337.964.1330.xyP=30kN0.5