專題08手拉手模型手拉手模型概述：兩個頂角相等的等腰三角形共用頂角頂點，分別連接對應的兩底角頂點，從而可以得到一個經典的全等模型。因為頂點相連的四條邊，形象可以看作兩雙手，通常稱為“手拉手模型”。文字說明：1）點A為共用頂角頂點，看作頭2）線段AB、AC為等腰?ABC的兩腰，看作兩條手臂線段AM、AN為等腰?AMN的兩腰，看作兩條手臂3）點B與點M看作左手，線段BM看作左手拉左手點C與點N看作右手，線段CN看作右手拉右手解題步驟：①找共用頂點，確定“四只手”；②連接對應端點；③SAS證明全等。常見模型：模型一：如圖，直線AB的同一側作?ABC和?AMN都為等邊三角形（A、B、N三點共線），連接BM、CN，兩者相交于點E，則1）?ABM≌?ACN2）BM=CN3）∠MEN=∠2=60°（拉手線的夾角等于頂角）4）?ANF≌?AMD5）?AFC≌?ADB6）連接DF，DF∥BN7）連接AE，AE平分∠BEN8）存在3組四點共圓9）EN=EM+EA，EB=EC+EA,EA=ED+EF10）存在多組相似三角形備注：1）-7）為基礎，8）-10）為提高證明：1）∵?ABC和?AMN都為等邊三角形∴AB=AC，AM=AN，∠1=∠2=60°∴∠1+∠CAM=∠2+∠CAM則∠BAM=∠CAN在?ABM和?ACN中AB=AC∠BAM=∠CAN∴?ABM≌?ACN∴BM=CN，∠BMA=∠CMA,∠ABM=∠ACNAM=AN3)方法一：在?EFM和?AFN中∵∠MEN+∠EMF+∠3=180°,∠2+∠FNA+∠4=180°而∠3=∠4，∠EMF=∠FNA∴∠MEF=∠2=60°方法二：∵∠MEF=∠EBN+∠BNE∠MAN=∠ABM+∠AMB而∠EBN=∠ABM,∠BNE=∠AMB，∠2=60°∴∠MEF=∠2=60°4）∵∠1+∠2+∠5=180°而∠1=∠2=60°∴∠5=60°在?AFN和?ADM中∠5=∠2=60°AM=AN∴?AFN≌?ADM∠DMA=∠ANF5）在?AFC和?ADB中∠5=∠1=60°AB=AC∴?AFC≌?ADB∴AD=AF∠ABD=∠ACF6）∵AD=AF，∠5=60°∴?ADF是等邊三角形∴∠DFA=60°∴∠DFA=∠2=60°∴DF∥BN7）過點A作AP⊥BM交BM于點P，AQ⊥CN交CN于點Q∵?ABM≌?ACN∴S?ABM=S?ACN,BM=CN則AP=AQ，∴AE平分∠BEN8）①∵∠ACN=∠ABM∴∠ACE=∠ABE則點A、B、C、E四點共圓②∵∠ANC=∠AMB∴∠ANE=∠AME則點A、N、M、E四點共圓③∵∠BAC=∠MAN=60°∴∠CAM=60°∵∠MEF=60°∴∠CED=60°則∠DEF=120°∵∠CAM+∠DEF=180°則點A、D、E、F四點共圓9)方法一：①過點M作MY交NC 于點Y，使∠EMY=60°∵∠EMY=∠AMN=∠MEN=60°∴∠EMY-∠AMY=∠AMN-∠AMY則∠EMA=∠YMN∵∠EMY+∠MEY+∠EYM=180°則∠EYM=60°∴?MEY是等邊三角形，則EM=EY=MY∵∠MYN是?MEY的外角，∴∠MYN=120°∵∠CEB=60°且AE平分∠BEN∴∠AEF=60°則∠AEM=120°在?AEM和?NYM∠EMA=∠YMNEM=MY∴?AEM≌?NYM∴NY=AE∠AEM=∠MYN=120°則EN=EY+YN=EM+AE②過點A作AZ交BM于點Z，使∠EAZ=60°,證明方法同上③過點F作FH交AE于點H，使∠EFH=60°，證明方法同上方法二:根據托勒密定理和8）中內容，得EN?AM=AE?MN+EM?AN而AM=AN=MN∴EN=AE+EM同理EB=EC+EA,EA=ED+EF*托勒密定理內容：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。10）模型一中存在的相似三角形。（嘗試簡述證明過程）模型二：如圖，?ABC和?AMN都為等邊三角形（A、B、N三點不共線），連接BM、CN，兩者相交于點O，則1）?ABM≌?ACN2）BM=CN3）∠MON=60°（拉手線的夾角等于頂角）4）連接AO，AO平分∠BON5）存在2組四點共圓6）ON=OM+OA，OB=OC+OA7）存在多組相似圖形模型三：如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，連接EB和GD，兩者交于點O，則1）?AGD≌?AEB2）GD=EB3）GD⊥EB4）AO平分∠EOD證明：1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形∴∠GAE=∠BAD=90°，AB=AD，AE=AG∴∠GAE+∠1=∠BAD+∠1∴∠GAD=∠EAB在?AGD與?AEB中AE=AG∠GAD=∠EAB∴?AGD≌?AEB∴∠AGD=∠AEB，GD=EBAB=AD3）在?GOM與?AEM中∵∠OGM+∠GMO+∠MOG=180°∠MEA+∠AME+∠MAE=180°而∠AGD=∠AEB，∠GMO=∠AME∴∠MOG=∠MAE=90°∴GD⊥EB4）過點A分別作AW⊥BE交BE于點W,AX⊥GD交GD于點X∵?AGD≌?AEB∴S?AGD=S?AEB而GD=BE則AW=AX，∴AO平分∠EOD【提高測試】1．如圖，C為線段AE上一動點（不與點，重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下結論錯誤的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP2．如圖，在中，，分別以，為邊作等邊和等邊，連結，若，，則（

）A． B． C．4 D．3．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接CE交AD于點F，連接BD交CE于點G，連接BE．下列結論中，正確的結論有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四邊形BCDE＝BD?CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，正和正中，B、C、D共線，且，連接和相交于點F，以下結論中正確的有（

）個①

②連接，則平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．15．如圖，在直線AC的同一側作兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD交于點H，AE與DB交于點G，BE與CD交于點F，下列結論：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥點H是線段DC的中點．正確的有（）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個6．如圖，，，三點在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結論中正確的是（

）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④7．如圖，點C是線段AE上一動點（不與A，E重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，有以下5個結論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結論有（

）個A．1 B．2 C．3 D．48．如圖，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點B、C、D在同一條直線上，AD與BE相交于點G，BE與AC相交于點F，AD與CE相交于點H，則下列結論①△ACD≌△BCE②∠AGB＝60°③BF＝AH④△CFH是等邊三角形⑤連CG，則∠BGC＝∠DGC．其中正確的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題9．如圖和是外兩個等腰直角三角形，，下列說法正確的是：________．①，且；②；③平分；④取的中點，連，則．10．如圖，點B、C、E在同一條直線上，與都是等邊三角形，下列結論：①AE=BD；②；③線段AE和BD所夾銳角為80°；④FG∥BE．其中正確的是______．（填序號）11．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下結論：①PQAE；②∠AOE＝120°；③CO平分∠BCD；④△CPQ是等邊三角形，⑤OC+BO＝AO恒成立的是_____．12．如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點H，連接CH，則∠CHE=_______．13．在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC．其中正確的是_________．14．如圖，、是兩個等邊三角形，連接、．若，，，則________．15．如圖，正三角形和，A，C，E在同一直線上，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的結論有______________．并寫出3對全等三角形___________________________．16．如圖，C在線段AB上，在AB的同側作等邊三角形△ACM和△BCN，連接AN，BM，若∠MBN＝38°，則∠ANB＝_____．三、解答題17．如圖，在中，，，點O是中點，，將繞點O旋轉，的兩邊分別與射線、交于點D、E．(1)當轉動至如圖一所示的位置時，連接，求證：；(2)當轉動至如圖二所示的位置時，線段、、之間有怎樣的數量關系？請說明理由．18．如圖1，B、C、D三點在一條直線上，AD與BE交于點O，△ABC和△ECD是等邊三角形．(1)求證：△ACD≌△BCE；(2)求∠BOD的度數；(3)如圖2，若B、C、D三點不在一條直線上，∠BOD的度數是否發生改變？（填“改變”或“不改變”）19．（1）如圖1，已知△CAB和△CDE均為等邊三角形，D在AC上，E在CB上，易得線段AD和BE的數量關系是．（2）將圖1中的△CDE繞點C旋轉到圖2的位置，直線AD和直線BE交于點F．①判斷線段AD和BE的數量關系，并證明你的結論；②圖2中∠AFB的度數是．（3）如圖3，若△CAB和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直線AD和直線BE交于點F，分別寫出∠AFB的度數，線段AD、BE間的數量關系．20．如圖，在中，，D、E分別是、的中點，.（1）如圖1，若，求的長度（用含a的代數式表示）；（2）如圖2，將繞點A順時針旋轉，旋轉角為，連接、，判斷與的數量關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，當的外心在三角形的外部時，請直接寫出的取值范圍．21．如圖，點C為線段上一點，都是等邊三角形，與交于點與相交于點G．（1）求證：；（2）求證：（3）若，求的面積．22．如圖，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE，CF相交于點D,（1）求證：BE＝CF；（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．23．在中，，點D是直線BC上一點（點D不與點B，C重合），以AD為一邊在AD的右側作，使，，連接CE．（1）如圖（1），若點D在線段BC上，和之間有怎樣的數量關系？（不必說明理由）（2）若，當點D在射線BC上移動時，如圖（2），和之間有怎樣的數量關系？說明理由．24．背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按背景圖位置擺放（點E，A，D在同一條直線上），發現BE=DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請給出證明．如若不能，請說明理由：（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，（如圖2）試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論BE=DG仍成立？請說明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉（如圖3），連接DE，BG．小組發現：在旋轉過程中，BG2+DE2是定值，請求出這個定值．25．兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并將它們的底角頂點分別對應連接起來得到兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請證明圖1的結論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，求∠BOC的度數；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數量關系．26．小明同學發現這樣一個規律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問題發現：如圖1，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；（2）拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數為；線段BE與AD之間的數量關系是；（3）解決問題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM、AE、BE之間的數量關系并說明理由．27．已知：△ABC與△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如圖1，如果A、B、D在一直線上，且∠ABC＝60°，求證：△BMN是等邊三角形；（2）在第（1）問的情況下，直線AE和CD的夾角是°；（3）如圖2，若A、B、D不在一直線上，但∠ABC＝60°的條件不變則直線AE和CD的夾角是°；（4）如圖3，若∠ACB＝60°，直線AE和CD的夾角是°．28．如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點F．（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．29．（1）作圖發現：如圖1，已知，小涵同學以AB、AC為邊向外作等邊和等邊．連接BE，CD、這時他發現BE與CD的數量關系是______；（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，試判斷BE與CD之間的數量關系，并說明理由；（3）解決問題：如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經測得，，米，，求BE的距離．30．在學習全等三角形知識時，數學興趣小組發現這樣一個模型：模型是由兩個頂角相等且有公共頂角頂點的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．這個數學興趣小組進行了如下操作：（1）如圖1．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°（AB＞AD），連接BD，CE，當點E落在AB邊上，且D，E，C三點共線時，則在這個“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是，∠BDC的度數為．（2）如圖2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，當點B，D，E在同一條直線上時，請判斷線段BD和CE的關系，并說明理由．（3）如圖3，已知△ABC，請畫出圖形：以AB，AC為邊分別向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于60°），連接BE，CD，交于點P，請直接寫出線段BE和CD的數量關系及∠BPD的度數．31．如圖，和都是以為直角頂點的等腰直角三角形，連接，．（1）如圖1，試判斷與的數量關系和位置關系，并說明理由．（2）如圖2，若點恰好在上，且為的中點，，求的面積．（3）如圖3，設與的交點為，若，，，求的長．32．已知在中，，過點引一條射線，是上一點．【問題解決】（1）如圖1，若，射線在內部，，求證：．小明同學展示的做法是：在上取一點使得，通過已知的條件，從而求得的度數，請你幫助小明寫出證明過程；【類比探究】（2）如圖2，已知．①當射線在內，求的度數；②當射線在下方，如圖3所示，請問的度數會變化嗎？若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數33．（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點在一