北航中法工程師學院

éCOLECENTRALEDEPéKIN

éLECTROTECHNIQUEéLéMENTAIRE

DESCRIPTIONMéSOSCOPIQUEDESCHARGESETDESCOURANTSINTERACTIONDELORENTZEQUATIONSDEMAXWELL

TDChapitre1

EXERCICEn°1 NOTIOND’ECRASEMENT:PASSAGED’UNEDENSITEVOLUNIQUEDECHARGEAUNEDENSITESURFACIQUEDECHARGE.

Onconsidèreunvolumeparallélépipédiqued’épaisseure,chargéuniformémentavecunedensité

volumique

r0(figure1).

dS

dS

x

Figure1

Figure2

Calculerlachargeélectriqueélémentairedqcontenuedanslecylindredehauteures’appuyantsurlasurfaceélémentairedS.

dq=r0dV=r0edS

On?écrase?leparallélépipède,c'est-à-direonfaittendreevers0(figure2).Quedevientleparallélépipède?Quedevientlecylindre?

Leparallélépipèdeetlecylindredeviennentdessurfaces.

Quelleestlachargeélémentairedqcontenuedansl’élémentdesurfacedS?

Lamêmequedanslecylindre,c'est-à-diredq.Elleasimplementété?écrasée?.

Lanotiondedensitévolumiquedechargea-t-elleencoreunesignification?Justifier.

dqconstantavecdVquitendvers0,r0tenddoncversl’infinicequin’apasvraimentdesens.C’estladensitésurfaciquedecharges0quiprendunsens.

dq=r0dV=r0edS=s0dS s0=r0e

Danscecas,onvautiliserlanotiondedensitésurfaciquedecharges0.Endéduirelarelationentres0etr0.

z2

Mêmesquestionssiladensitévolumiquedechargeestdelaformer(z)=r0e2.

dq=sdS=redS

12

s

=r0e

12

Mêmeraisonnementqueprécédemment.Danslecylindredelafigure1,lachargedqestégaleà:

dq=dS

e/2

-e/2

z2

r0e2

dz=

r0e

12

dS.Onendéduit:

EXERCICEn°2 NOTIOND’ECRASEMENT:PASSAGED’UNEDENSITEVOLUNIQUEDECOURANTAUNEDENSITESURFACIQUEDECOURANT.

Onconsidèreunvolumeparallélépipédiquedehauteuraselonl’axe,delargeurbetdelongueur

infinieselonl’axe(Oy)parcouruparunedensitévolumiquedecourantuniformej(vt)=

(figure1).

jv(t)ey

dl

dS

n

x

Figure1 Figure2

CalculerledébitélémentairedechargedI(P,t)traversantàladatetl’élémentdesurfacedS(P)

(

a

dI(P,t)=j(t).P).dS(P)=j(t). dx=j(t)adx

centréautourdupointP,orientéselon

ey(figure1).

On?écrase?levolumeselon(Oz),c'est-à-direonfaittendreavers0(figure2).Quedevientleparallélépipède?Quedevientl’élémentdesurfacedS(P)?

LeparallélépipèdedevientunesurfaceetdSundevientunélémentdelongueurdl(P)centréautourdeP.

Quelleestlagrandeurquiseconservelorsquel’onpassed’unereprésentationàl’autre?C’estledébitélémentairedI(P,t)quiseconserve.

Lanotiondedensitévolumiquedecouranta-t-elleencoreunesignification?Justifier.

dIconstantavecdSquitendvers0,jv(t)tenddoncversl’infinicequin’apasvraimentdesens.C’estladensitésurfaciquedecourantj(t)=

s js(t)eyquiprendunsens.

Danscecas,onvautiliserlanotiondedensitésurfaciquedecourantjs(t).Endéduirelarelationentrejs(t)etjv(t).

Onconsidèreuncylindrecreuxdehauteurinfinieselonl’axe(Oz),derayonintérieurr1etde

v

rayonextérieurr2,parcouruparunedensitévolumiquedecourantuniformej(t)=

z

jv(t)ez(figure1).

Figure1 Figure2

CalculerledébitélémentairedechargedI(P,t)traversantàladatetunélémentdesurface

transversedS(P)orientéselon

ez.Ontravailleraencoordonnéescylindro-polaires(figure1).

dI(P,t)=j(t).(P).dS(P)=j(t).dr.rdq=j(t)rdrdq

EndéduireledébitdechargeI(t)traversantàladatetunesectionperpendiculaireàl’axe(Oz)

ducylindrecreux.

I(t)=

q?0,2p

j(t)rdrdq=j(t)p(r-r)

On?écrase?l’épaisseurducylindrecreux,c'est-à-direonfaittendrer1versr2(figure2).Quedevientlecylindrecreux?Quedevientlasectionducylindrecreuxétudiéeprécédemment?Lecylindrecreuxdevientuntuyauetlasectiondevientunecourbefermée,iciuncerclederayonr2.

Exprimerladensitésurfaciquedecourantjs(t)dutuyauenfonctiondejv(t)etdesdifférentsrayons.

LedébitdechargeI(t)àtraversunplantransverseperpendiculaireàl’axe(Oz)seconservesoit

I(t)=j(t)p(r2-r)=

q?[0,2p]s

j(t).erdq=j(t)2pr

r

2 1

2-r2

v

z2

s

2

j(t)=j(t)

s

v

2r

2

Sie=r2-r1trèspetitonpeuteffectuerledéveloppementlimité

js(t)=jv(t)2

r2-(r2-2re)

2 2

2r2

r2=(r-e)2=r2(1-e)2?r2-2red’où

r

1 2 2 2 2

2

Onconsidèreunconducteurdeformecylindriquedelongueurinfinieselonl’axe(Oz)etde

1-er/a

rayonaparcouruparunedensitévolumiquedecourantjv(t)=jv0(t)1-eez(figure1).

CalculerledébitélémentairedechargedI(P,t)traversantàl’instanttunélémentdesurface

dI(P,t)=jv(t).n(P).dS(P)=jv(t).ezdr.rdq=jv0(t)

1-er/a

1-e

rdrdq

transversedS(P)orientéselonez.Ontravailleraencoordonnéescylindro-polaires(figure1).

EndéduireledébitdechargeI(t)traversantàladatetunesectionperpendiculaireàl’axe(Oz)

ducylindrecreux.

1-er/a j(t) r/a

I(t)=

j(t)

rdrdq=v0

dq

(1-e )rdr

I(t)=

v0

1-e

j(t)

2p-

a2 j(t)pa2

2

=v0

e-1

r?[0,a],q?[0,2p]v0

1-e

1-e

q?[0,2p]

r?[0,a]

Onconsidèreunfilconducteurencuivrederayona=0,1mm,parcouruparuncourantd’intensitéconstanteégaleà1A.Déterminerlavitessede?dérive?desélectronsdansceconducteursachantqu’onestimequ’ilyaenmoyenne1électrondeconductionparatomedecuivre.Ondonne:

A

Massevolumiqueducuivre:m=8870kg/m3Massemolaireducuivre:M=63,5g/molConstanted’Avogadro:N=6,021023mol-1Chargedel’électron:e=