空間坐標(biāo)系下電勢(shì)為零的點(diǎn)的軌跡

電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)是電磁學(xué)的重要基本概念和學(xué)習(xí)的核心。許多報(bào)紙都對(duì)此進(jìn)行了研究。在許多教科書(shū)中，有這方面的例子和練習(xí)。例如，在真空中的兩個(gè)點(diǎn)電壓車(chē)間中，電壓為零的點(diǎn)和電壓范圍的分布。在這方面，許多教科書(shū)通常假設(shè)電壓為零的點(diǎn)只是這兩個(gè)點(diǎn)之間的連接線。事實(shí)上，電壓為零的點(diǎn)不是線性的，而是在兩個(gè)點(diǎn)電壓之間的空間中分布的。這些點(diǎn)構(gòu)成了一條直線。我們以許多教科書(shū)中的一些練習(xí)為例，分析了這兩個(gè)點(diǎn)電壓、電壓和速度分別為q和q，它們之間的距離是l。在這項(xiàng)工作中，電勢(shì)為零的點(diǎn)在兩個(gè)點(diǎn)之間的分布，然后討論平面上的情況，最后討論空間的一般分布。1理論假說(shuō)1.1點(diǎn)線l-d如圖1所示,設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零,兩點(diǎn)電荷間電勢(shì)為零的點(diǎn)距點(diǎn)電荷+4q為d,則距點(diǎn)電荷-q為l-d.由電勢(shì)為零得4q4πε0d+-q4πε0(l-d)=0(1)d=4l5(2)即在距離點(diǎn)電荷+4q為4l5處的電勢(shì)為零.該點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E=4q4πε0d2+q4πε0(l-d)2=125q16πε0l2(3)其方向沿兩個(gè)點(diǎn)電荷連線指向-q.一般教材中給出的標(biāo)準(zhǔn)答案就是這個(gè).1.2m點(diǎn)的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)如圖2所示,以?xún)蓚€(gè)點(diǎn)電荷(分別用A、B兩點(diǎn)代表)的連線為x軸,不妨假設(shè)AB方向?yàn)閤軸正方向.A、B中點(diǎn)為原點(diǎn)O,A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為-l2?0、l2?0).設(shè)電勢(shì)為零的點(diǎn)為xOy平面上的任一點(diǎn)M(x,y),其距A點(diǎn)為d1,距B點(diǎn)為d2,顯然有d1+d2≥l,由M點(diǎn)的電勢(shì)為零得到4q4πε0d1+-q4πε0d2=0所以4d2=d1(4)由平面幾何知識(shí),我們知道:d1=√(x+l2)2+y2?d2=√(x-l2)2+y2代入式(4),有x-17l302+y2=4l15)2(5)即平面直角坐標(biāo)系中電勢(shì)為零點(diǎn)的軌跡為以C17l30?0為圓心,半徑為4l15的圓,如圖2所示.A、B兩點(diǎn)的電荷在M(x,y)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為:EA=4q4πε0[(x+l2)2+y2]=15q32πε0lx(6)EB=q4πε0[(x-l2)2+y2]=15q8πε0lx(7)其方向如圖3所示.根據(jù)幾何關(guān)系和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理,可以得到合場(chǎng)強(qiáng)的大小為E合=√(15q64πε0)230lx3=15q64πε0√30l√1x3(8)即M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小與其在AB線上投影距AB連線中點(diǎn)距離的32次方成反比.M點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)的方向與x軸夾角為:α=arccos178-15x4l).1.3m點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)建立空間直角坐標(biāo)系如圖4,設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)的電勢(shì)為零,則有√(x+l2)2+y2+z2=4√(x-l2)2+y2+z2或x-17l302+y2+z2=4l15)2(9)則空間直角坐標(biāo)系中電勢(shì)為零點(diǎn)的軌跡是以17l30?0?0為球心,以4l15為半徑的球面,如圖4所示.A、B兩點(diǎn)的電荷在M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為:EA=4q4πε0R2A=qπε0[(x+l2)2+y2+z2]=15q32πε0lx(10)EB=q4πε0R2B=q4πε0[(x-l2)2+y2+z2]=15q8πε0lx(11)由幾何關(guān)系和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理,求得總場(chǎng)強(qiáng)為E合=15q64πε0√30l√1x3(12)即M點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小與其在AB線上投影距AB連線中點(diǎn)距離的32次方成反比.下面我們來(lái)求合場(chǎng)強(qiáng)的方向.如圖5,D、F分別為AM、AC的中點(diǎn),CP⊥AB,MH平行于AB,KG平行于CP,DG平行于E合所在的直線,AΟ=BΟ=l2?ΟΡ=x?CΡ=y?ΜC=z.則可以求出合場(chǎng)強(qiáng)與x軸的夾角α為arccos178-15x4l,類(lèi)似地,可以求出合場(chǎng)強(qiáng)與y軸和z軸的夾角β、γ分別為arccos15y4l和arccos15z4l.2解析式構(gòu)圖我們運(yùn)用MATLAB數(shù)值模擬進(jìn)行繪圖,途徑有二:一是根據(jù)所求得的解析式繪圖;二是從初始條件出發(fā),在一定的區(qū)間上進(jìn)行逐點(diǎn)搜尋.結(jié)果表明,兩種途徑得到的結(jié)果是一樣的.這表明上面的計(jì)算是正確的.下面我們以空間的三維情況為例,給出具體的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)示意圖.2.1真空介電常設(shè)空間從初始條件方程式(1):4q4πε0d1+-q4πε0d2=0出發(fā),這里取q=1.60218×10-19C,π=3.1415926,真空介電常量ε0=8.85419×10-12C2/(J·m),l=0.1m.用MATLAB進(jìn)行逐點(diǎn)搜尋(取點(diǎn)范圍x:[-0.1m:0.001m:0.1m],y:[-0.1m:0.001m:0.1m],z:[-0.1m:0.001m:0.1m]),所繪圖形如圖6所示.我們直接從電勢(shì)為零點(diǎn)的軌跡方程式(5):x-17l302+y2+z2=4l152作圖,兩者完全一致.2.2接地強(qiáng)度1大小通過(guò)數(shù)值逐點(diǎn)掃描和由解析式E合=15q64πε030l1x3分別作圖,結(jié)果一樣.圖7為電場(chǎng)強(qiáng)度大小隨x的變化.2方向場(chǎng)強(qiáng)E與x軸方向、y軸方向及z軸方向的夾角a、β、γ隨x,y,z的變化,分別如圖8,9,10所示.3為一定的32方位成相應(yīng)的關(guān)系比較在平面直角坐標(biāo)系中與在空間直角坐標(biāo)系中的電場(chǎng)強(qiáng)度大小的結(jié)果可知兩個(gè)點(diǎn)電荷間電勢(shì)為零的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的大小與該點(diǎn)在AB連線上的投影距AB連線中點(diǎn)的距離的32次方成一定的關(guān)系;其場(chǎng)強(qiáng)的方向也具有一定的規(guī)律.實(shí)際上,平面直角坐標(biāo)系中對(duì)場(chǎng)強(qiáng)的求解可以看作是空間直角坐標(biāo)系中的一個(gè)特例,即z=0的平面上場(chǎng)強(qiáng)的大小及方向.而當(dāng)y=0,z=0時(shí),就得到了在兩點(diǎn)