1/1高中數學基本不等式證明不等式證明基本方法

例1：求證：221ababab++≥+-

分析：比較法證明不等式是不等式證明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此題用作差法較為簡便。證明：221ababab++-+-2221[(1)(1)]02

abab=-+-+-≥評注：1．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——推斷與0的關系——結論

2．作差后的變形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，應留意結合式子的形式，適當選用。

例2：設cba>>，求證：baaccbabcabc2

22222++>，則,0,0,0->-accbba

∴0))((>時，0,nnabba->時，0,ab-=，則0nnabba--=

ⅲ）當0ba>>時，0,nnabba-，則0nn

abba--分析一：作差后可以判定符號，可用作差法。

證法一：(1)abbaabbaababababa

b=-[1

]abbaaabb-=-ⅰ）當ab>時，1,0,abab>-，∴abbaabab>

分析二：不等式兩邊次數不同，也可以先降次，再作差。

證法二：∵

0,0ab>>

∴

lglglglgaabbabba=+--

(lglg)abab=--

ⅰ）當0ab>>時，ab-與lglgab-同為正

ⅱ）當0ba>>時，ab-與lglgab-同為負

∴即abbaabab>

評注：有時可將原不等式變形后再作差比較（如平方后作差等），可使變形更便利。

分析三：不等式兩邊均為正數，也可用作商法。證法三：abababababab

-=ⅰ）當0ab>>時，

1,0,1abaaabbb

->->∴>ⅱ）當0ba>>時，01,0,1abaaabbb-∴abbaabab>

評注：1．比較法之二（作商法）步驟：作商——變形——推斷與1的關系——結論

2．作差法是通法，運用較廣。作商法要留意條件，不等式兩邊必需為正數。常用于證冪、指數形

式的不等式。

例5：設cba,,都正數，求證：cbac

abbcaabc++≥++分析：不等式左邊可以兩兩運用均值不等式，得到不等式右邊。

證明：,,,+∈Rcba,,,+∈∴Rc

abbcaabc∴2,2,2bccacaababbccababbcca

+≥+≥+≥∴2(bca+)(2cbac

abbca++≥+，∴cbacabbcaabc++≥++評注：1.利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法2．綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件動身，利用已知的數學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法例6:設a,b,c均為正實數，求證：

a21+

b21+

c21≥cb+1+ac+1+b

a+1.分析一：不等式左邊兩兩結合，可以連續使用均值不等式。

證法一：∵a,b,c均為正實數，∴21（a21＋b21）≥ab21≥ba+1，當a=b時等號成立；21（b21＋c21）≥bc21≥cb+1，當b=c時等號成立；21（c21＋a21）≥ca

21≥ac+1．當a=c時等號成立；三個不等式相加即得

a21+

b21+

c21≥cb+1+ac+1+b

a+1，當且僅當a=

b=

c時等號成立.分析二：從一些常用不等式動身，可以削減思維回路，降低解題難度，提高效率。證法二：∵0,0>>ba.4)11)((≥++baba∴

.411b

aba+≥+同理：.411bcbc+≥+.411c

aca+≥+∴.444)111(2cac

bba

cba+++++≥++∴a21+b21+c21≥cb+1+ac+1+b

a+1評注：運用綜合法證明不等式，必需發覺式子的結構特征，結合重要不等式和常用不等式，找到解題的方法。

例7:已知a,b,c∈R+

，且a+b+c=1.求證：

（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.

分析：在條件“a+b+c=1”的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶來困難，若將“a+b+c”換成“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實質，解決問題.

證明：∵a,b,c∈R+且a+b+c=1，

∴要證原不等式成立，

即證［（a+b+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］.

也就是證［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）①

∵（a+b）+（b+c）≥2））（（cbba++＞0，

（b+c）+（c+a）≥2））（（accb++＞0，

（c+a）+（a+b）≥2））（（baac++＞0，

三式相乘得①式成立.

故原不等式得證.

評注：1.證明不等式時，有時可以從求證的不等式動身，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，假如能夠確定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法分析法的思維特點是：執果索因2.分析法的書寫格式：要證明命題B為真，只需要證明命題1B為真，從而有……這只需要證明命題2B為真，從而又有……這只需要證明命題A為真,而已知A為真，故命題B必為真

例8:設0>>ba，求證：.8)(28)(2

2b

baabbaaba->ba上式成立∴原不等式在0>>ba時成立.

證法二：∵0>>ba∴b

aa

b++2．已知a,b,x,y∈R+且a1＞b1，x＞y.求證：a

xx+＞byy+3.已知ba,均為正數，且1=+ba，求證：222)(byaxbyax+≥+.

4．設a,b,c∈R，求證：)(2222222cbaaccbba++≥+++++

5.已知cba,,是正實數，求證：.2

22cbaa

ccbba++≥++6.已知cba,,為不相等的正數，且1=abc，求證：.111cbacba++0,2c>a+b,求證:(1)c2>ab（2）c-abc-28.已知cba,,均為正數，且1=++cabcab，

求證：①3≥

++cba；②).(3cbaab

cacbbca++≥++

解答：1.證明：)(2)(2

222acbcabcbacba-+=+--++cba,,成等比數列，acb=∴2

cba,,都是正數，cacaacb++∴0)(2)(2)(22>-+=-+=-+∴bcabbbcabacbcab

.)(2

222cbacba+->++∴

2.證法一：（作差比較法）∵axx+－byy+=））（（byaxaybx++-，又

a1＞b

1且a,b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴））（（byaxaybx++-＞0，即axx+＞byy+.證法二：（分析法）

∵x,y,a,b∈R+，∴要證a

xx+＞byy+，只需證明x（y+b）＞y（x+a），即證xb＞ya.

而由

a1＞b

1＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，知xb＞ya明顯成立.故原不等式成立.

3.證明：∵1=+ba∴2

222222222)(ybabxyxabyaxbyaxbyax+=+-+22)1(2)1(ybbabxyxaa-+--=

.)2(222yxabyxyxab-=+-=

∵0)(,0,02≥->>yxba∴.)(2

22byaxbyax+≥+4.證明：∵0)2(2222≥+≥+baba∴2

|2|222bababa+≥+≥+∴)(2

222baba+≥+同理：)(222

2cbcb+≥+，)(2222acac+≥+三式相加：)(2222222cbaaccbba++≥+++++

5.證明：∵0,0>>ba∴abba22≥+同理：caac22≥+；bcc

b22

≥+∴.2

22cbaa

ccbba++≥++6.證明：∵cba,,是不相等的正數，且.1=abc

∴.111211*********c

babaa

ccbabacbccba++=+++++0,只要證a+b<2c(已知)故原不等式成立8.①要證3≥

++cba，cba,,均為正數，只要證.3)(2≥++cba只要證3)(2222≥+++++cabcabcba；只要證.1222cabcabcba++=≥++

而cabcabaccbbacba++≥+++++