專題09二元一次方程組一、解二元一次方程組【高頻考點精講】1．用“代入法”解二元一次方程組的一般步驟（1）從方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來；（2）將變形后的關系式代入另一個方程，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；（3）解這個一元一次方程，求出x（或y）的值；（4）將求得未知數的值代入變形后的關系式，求出另一個未知數的值；（5）把求得的x、y的值寫在一起，用的形式表示，就是方程組的解。2．用“加減法”解二元一次方程組的一般步驟（1）方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數既不相等又不互為相反數，就用適當的數去乘方程的兩邊，使某一個未知數的系數相等或互為相反數；（2）把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；（3）解這個一元一次方程，求得x（或y）的值；（4）將求得未知數的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數的值；（5）把求得的x、y的值寫在一起，用的形式表示，就是方程組的解?！緹狳c題型精練】1．（2022?株洲中考）對于二元一次方程組，將①式代入②式，消去y可以得到（）A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7解：，將①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，∴x+2x﹣2＝7，答案：B．2．（2022?貴陽模擬）小明在解關于x，y的二元一次方程組時，得到了正確結果，后來發現△和□處被墨水污損了，則△，□處的值分別是（）A．Δ＝2，□＝2 B．Δ＝1，□＝2 C．Δ＝2，□＝1 D．Δ＝1，□＝1解：，①+②得4x＝4，解得x＝1，把x＝1，y＝1代入①得1+Δ＝3，所以Δ＝2，即Δ＝2，□＝1．答案：C．3．（2022?沈陽模擬）若實數a，b滿足|a+b﹣2|+＝0，則a+3b的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵|a+b﹣2|+＝0，∴，①+②得：2a＝2，解得：a＝1，①﹣②得：2b＝2，解得：b＝1，則a+3b＝1+3＝4．答案：D．4．（2022?無錫中考）二元一次方程組的解為．解：，由②得：y＝2x﹣1③，將③代入①得：3x+2（2x﹣1）＝12，解得：x＝2，將x＝2代入③得：y＝3，∴原方程組的解為．答案：．5．（2022?安順中考）若a+2b＝8，3a+4b＝18，則a+b的值為5．解：∵a+2b＝8，3a+4b＝18，則a＝8﹣2b，代入3a+4b＝18，解得：b＝3，則a＝2，故a+b＝5．答案：5．6．（2022?隨州中考）已知二元一次方程組，則x﹣y的值為1．解：∵，由②﹣①可得：x﹣y＝1，答案：1．7．（2022?淄博中考）解方程組：．解：整理方程組得，①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，y＝1，把y＝1代入①得x﹣2＝3，解得x＝5，∴方程組的解為．8．（2022?南寧模擬）閱讀下列材料，并回答問題：【情境1】：小紅在研究學習無理數時發現：①任意一個有理數與無理數的和為無理數；②任意一個不為零的有理數與一個無理數的積為無理數；③零與無理數的積為零．【情境2】：小剛在小紅研究的基礎上，繼續探究，又發現：若ax+b＝0，其中a，b為有理數，x為無理數，則a＝0且b＝0．例如：若，其中a，b為有理數，則a＝0，b＝0．【情境3】：后來，小陳也加入到小紅和小剛的研究學習當中，并成功解決了之前困擾他的一道題：，其中a，b為有理數．分析：通過變形，得：．又a，b為有理數，∴解得：．運用上述知識解決下列問題：（1）已知，其中a，b為有理數，則a＝2，b＝﹣1；（2）已知，其中a，b為有理數，求ab+2的值．解：（1）∵（a﹣2）?+b+1＝0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，解得：a＝2，b＝﹣1；答案：2，﹣1；（2）已知等式整理得：（a+b）+2a﹣b﹣9＝0，∴a+b＝0，2a﹣b＝9，解得：a＝3，b＝﹣3，則原式＝3﹣3+2＝3﹣1＝．二、由實際問題抽象出二元一次方程組【高頻考點精講】1．由實際問題列方程組是把“未知”轉化為“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的相等關系；2．一般來說，有幾個未知量就列出幾個方程，所列方程必須滿足：（1）方程兩邊表示的是同類量；（2）同類量的單位要統一；（3）方程兩邊的數值要相符。3．找等量關系是列方程組的關鍵和難點，有以下規律和方法：（1）如果題目中國給出的條件由“；”分割成兩部分，可以在“；”前、后找出對應的等量關系。（2）如果題目中借助表格提供信息，可以將信息進行橫向或縱向對比，找出對應的等量關系；（3）如果題目中給出圖形，可以分析圖形的長、寬，找出對應的等量關系?！緹狳c題型精練】9．（2022?深圳中考）張三經營了一家草場，草場里面種植有上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數減去11根，就等于七捆下等草的根數；賣七捆上等草的根數減去25根，就等于五捆下等草的根數．設上等草一捆為x根，下等草一捆為y根，則下列方程正確的是（）A． B． C． D．解：設上等草一捆為x根，下等草一捆為y根，根據題意可列方程組為：．答案：C．10．（2022?日照中考）《孫子算經》是中國傳統數學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是（）A． B． C． D．解：設木頭長為x尺，繩子長為y尺，由題意可得．答案：D．11．（2022?寧夏中考）《九章算術》中記載：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？”題目大意是：今有人合伙購物，每人出八錢，余三錢；每人出七錢，差四錢．問：人數、物價各多少？設有x人，物價為y錢，則可列方程組為．解：∵每人出八錢，余三錢，∴8x﹣y＝3；∵每人出七錢，差四錢，∴y﹣7x＝4．∴可列方程組為．答案：．12．（2022?無錫模擬）某商店購進A、B兩種商品共50件，已知這兩種商品的進貨單價與銷售單價如表所示，且將這兩種商品銷售完畢共可獲利660元．設商店購進A種商品x件，購進B種商品y件，則根據題意可列方程組．商品類別進貨單價（元/件）銷售單價（元/件）A3040B4055解：設商店購進A種商品x件，購進B種商品y件，則根據題意可列方程組．答案：．三、列二元一次方程組解決實際問題【高頻考點精講】1．審題：找出已知條件和未知量以及它們之間的關系；2．設元：找出題目中兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來，直接設元與間接設元；3．列方程組：找出題目中的兩個等量關系，列出方程組；4．求解；5．檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答?！緹狳c題型精練】13．（2022?宜昌中考）五一小長假，小華和家人到公園游玩．湖邊有大小兩種游船．小華發現1艘大船與2艘小船一次共可以滿載游客32人，2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人．則1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客的人數為（）A．30 B．26 C．24 D．22解：設1艘大船可載x人，1艘小船可載y人，依題意得：，①+②得：3x+3y＝78，∴x+y＝26，即1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客的人數為26，答案：B．14．（2022?武漢中考）幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個數填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等，例如圖（1）就是一個幻方．圖（2）是一個未完成的幻方，則x與y的和是（）A．9 B．10 C．11 D．12解：∵每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等，∴最左下角的數為：6+20﹣22＝4，∴最中間的數為：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，最右下角的數為：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6，∴，解得：，∴x+y＝12，答案：D．15．（2022?保定模擬）可以借助圖1、圖2的方式測量桌子的高度，將兩塊完全一樣的長方體木塊先按圖1方式放置，再按圖2方式放置，測量的數據如圖所示，則桌子的高度是（）A．（a﹣b）cm B．cm C．（+b）cm D．m解：設圖中長方體木塊的長邊減短邊的長為xcm，桌子的高度是hcm，依題意得：，解得：h＝，答：cm．答案：B．16．（2022?湖北中考）有大小兩種貨車，3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運貨22噸，5輛大貨車與2輛小貨車一次可以運貨25噸，則4輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨23.5噸．解：設1輛大貨車一次可以運貨x噸，1輛小貨車一次可以運貨y噸，根據題意得：，得：4x+3y＝23.5；答案：23.5．17．（2022?棗莊中考）《九章算術》是人類科學史上應用數學的“算經之首”，其書中卷八方程[七]中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．牛、羊各直金幾何？”題目大意是：“5頭牛、2只羊共值金10兩．2頭牛、5只羊共值金8兩，每頭牛、每只羊各值金多少兩？”根據題意，可求得1頭牛和1只羊共值金兩．解：設每頭牛x兩，每只羊y兩，根據題意，可得，∴7x+7y＝18，∴x+y＝，∴1頭牛和1只羊共值金兩，答案：．18．（2022?重慶中考）為進一步改善生態環境，村委會決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓．初步預算，這三座山各需兩種樹木數量和之比為5：6：7，需香樟數量之比為4：3：9，并且甲、乙兩山需紅楓數量之比為2：3．在實際購買時，香樟的價格比預算低20%，紅楓的價格比預算高25%，香樟購買數量減少了6.25%，結果發現所花費用恰好與預算費用相等，則實際購買香樟的總費用與實際購買紅楓的總費用之比為．解：根據題意，如表格所設：香樟數量紅楓數量總量甲4x5y﹣4x5y乙3x6y﹣3x6y丙9x7y﹣9x7y∵甲、乙兩山需紅楓數量之比為2：3，∴，∴y＝2x，故數量可如下表：香樟數量紅楓數量總量甲4x6x10x乙3x9x12x丙9x5x14x所以香樟的總量是16x，紅楓的總量是20x，設香樟的預算單價為a，紅楓的預算單價為b，由題意得，[16x?（1﹣6.25%）]?[a?（1﹣20%）]+20x?[b?（1+25%）]＝16x?a+20x?b，∴12a+25b＝16a+20b，∴4a＝5b，設a＝5k，b＝4k，∴＝，答案：．19．（2022?泰安中考）泰安某茶葉店經銷泰山女兒茶，第一次購進了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費6000元；第二次購進時，兩種茶每盒的價格都提高了20%，該店又購進了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費5100元．求第一次購進的A、B兩種茶每盒的價格．解：設第一次購進A種茶的價格為x元/盒，B種茶的價格為y元/盒，依題意得：，解得：．答：第一次購進A種茶的價格為100元/盒，B種茶的價格為150元/盒．20．（2022?安徽中考）某地區2020年進出口總額為520億元，2021年進出口總額比2020年有所增加，其中進口額增加了25%，出口額增加了30%．注：進出口總額＝進口額+出口額．（1）設2020年進口額為x億元，出口額為y億元，請用含x，y的代數式填表：年份進口額/億元出口額/億元進出口總額/億元2020xy52020211.25x1.3y1.25x+1.3y（2）已知2021年進出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進口額和出口額分別是多少億元？解：（1）由表格可得，2021年進出口總額為：1.25x+1.3y，答案：1.25x+1.3y；（2）由題意可得，，解得，∴1.25x＝400，1.3y＝260，答：2021年進口額是400億元，出口額是260億元．四、三元一次方程組的應用【高頻考點精講】在解決實際問題時，若未知量較多，要考慮設三個未知數，但同時應注意，設幾個未知數，就要找到幾個等量關系列幾個方程。1．把求等式中常數的問題可轉化為解三元一次方程組，為以后待定系數法求二次函數解析式奠定基礎；2．通過設二元與三元的對比，體驗三元一次方程組在解決多個未知數問題中的優越性?！緹狳c題型精練】21．（2022?哈爾濱模擬）小明媽媽到文具店購買三種學習用品（每種至少買一件），其單價分別為2元、4元、6元，購買這些學習用品需要56元，經過協商最后以每種單價均下調0.5元成交，結果只用了50元就買下了這些學習用品，則小明媽媽有幾種不同的購買方法．（）A．6 B．5 C．4 D．3解：設分別購買學習用品x、y、z，則有：2x+4y+6z=56①1.5x+3.5y+5.5z=50②①﹣②得：x+y+z＝12③，又x+2y+3z＝28④，∴④﹣③得：y+2z＝16，方案一：y＝2，z＝7，x＝3．方案二：y＝4，z＝6，x＝2方案三：y＝6，z＝5，x＝1答案：D．22．（2021?重慶中考）盲盒為消費市場注入了活力，既能夠營造消費者購物過程中的趣味體驗，也為商家實現銷售額提升拓展了途徑．某商家將藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱共22個，搭配為A，B，C三種盲盒各一個，其中A盒中有2個藍牙耳機，3個多接口優盤，1個迷你音箱；B盒中藍牙耳機與迷你音箱的數量之和等于多接口優盤的數量，藍牙耳機與迷你音箱的數量之比為3：2；C盒中有1個藍牙耳機，3個多接口優盤，2個迷你音箱．經核算，A盒的成本為145元，B盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為155元．解：∵藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱共22個，A盒中有2個藍牙耳機，3個多接口優盤，1個迷你音箱；C盒中有1個藍牙耳機，3個多接口優盤，2個迷你音箱；∴B盒中藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（個），∵B盒中藍牙耳機與迷你音箱的數量之和等于多接口優盤的數量，藍牙耳機與迷你音箱的數量之比為3：2，∴B盒中有多接口優盤10×12=設藍牙耳機、多接口優盤、迷你音箱的成本價分別為a元，b元，c元，由題知：2a+3b+c=145①3a+5b+2c=245②∵①×2﹣②得：a+b＝45，②×2﹣①×3得：b+c＝55，∴C盒的成本為：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），答案：155．23．（2022?南寧模擬）【閱讀感悟】有些關于方