1/1高考專題概率與統(tǒng)計(jì)概率與統(tǒng)計(jì)

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘．

第Ⅰ卷

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1．(2023·安徽高考)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，則(?RA)∩B＝()

A．{－2，－1}B．{－2}

C．{－1,0,1}D．{0,1}

【解析】∵A＝(－1，＋∞)，B＝{－2，－1,0,1}，

∴?

RA＝(－∞，－1]，故(?

R

A)∩B＝{－2，－1}．

【答案】A

2．為了解某地區(qū)的中學(xué)校生視力狀況，擬從該地區(qū)的中學(xué)校生中抽取部分同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)學(xué)校、學(xué)校、高中三個(gè)學(xué)段同學(xué)的視力狀況有較大差異，而男女視力狀況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()

A．簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣B．按性別分層抽樣

C．按學(xué)段分層抽樣

D．系統(tǒng)抽樣

【解析】不同的學(xué)段在視力狀況上有所差異，所以應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)段分層抽樣．【答案】C

3．使?

?

???3x＋1xxn(n∈N＋)的綻開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A．4B．5C．6D．7

【解析】Tr＋1＝Cr

n

(3x)

n－r

???

??1xxr＝Crn3

n－rxn－52r，當(dāng)Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)時(shí)，n－52r＝0，當(dāng)r＝2，n＝5時(shí)成立．

【答案】B

4．如圖1所示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中成果的莖葉圖，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成果超過(guò)乙的平均成果的概率為()

圖1

A.2

5B.710C.45

D.910

【解析】設(shè)被污損的數(shù)字為a(0≤a≤9且a∈N)，則由甲的平均成果超過(guò)乙的平均成果得88＋89＋90＋91＋92＞83＋83＋87＋99＋90＋a，解得8＞a，即

得0≤a≤7且a∈N，∴甲的平均成果超過(guò)乙的平均成果的概率為P＝

8

10

＝

4

5

，故

應(yīng)選C.

【答案】C

5．(2023·山東高考)執(zhí)行兩次如圖2所示的程序框圖，若第一次輸入的a的值為－1.2，其次次輸入的a的值為1.2，則第一次，其次次輸出的a的值分別為()

圖2

A．0.2,0.2B．0.2,0.8

C．0.8,0.2D．0.8,0.8

【解析】第一次a＝－1.2時(shí)，輸出a＝0.8.

其次次a＝1.2時(shí)，輸出a＝0.2.

【答案】C

6．某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購(gòu)物經(jīng)受的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖3所示．以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]時(shí)，所作的頻率分布直方圖是()

圖3

【解析】由于頻率分布直方圖的組距為5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)兩組各一人，去掉B，應(yīng)選A.

【答案】A

7．體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)章是：每位同學(xué)最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球勝利，則停止發(fā)球，否則始終發(fā)到3次為止．設(shè)某同學(xué)一次發(fā)球勝利的概率為

p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)＞1.75，則p的取值范圍是()

A.??

???0，712

B.?????

712，1C.?

????0，12D.???

??12，1【解析】X的可能取值為1,2,3，

∵P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，∴E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，

由E(X)＞1.75，即p2

－3p＋3＞1.75，得p＜12或p＞5

2

(舍)，

∴0＜p＜1

2.

【答案】C

8．(2023·安徽高考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2

＋bx＋c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若f(x1)＝x1＜x2，則關(guān)于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為()

A．3B．4C．5D．6

【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b；

由已知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的不同兩根，

當(dāng)f(x1)＝x1＜x2時(shí)，

作y＝x1，y＝x2與f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三個(gè)不同交點(diǎn)．

即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三個(gè)不同實(shí)根．

【答案】A

第Ⅱ卷

二、填空題(本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在題中橫線上)

9．(2023·廣東高考改編)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x＋yi的模是________．

【解析】由題意知x＋yi＝3＋4i

i

＝4－3i.

∴|x＋yi|＝|4－3i|＝5.

【答案】5

10．6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個(gè)也不在最終一個(gè)演講，則不同的演講次序共有________種．

【解析】第一步先排甲，共有A1

4

種不同的排法；其次步再排其他人，共有

A55種不同的排法，因此不同的演講次序共有A1

4

·A5

5

＝480(種)．

【答案】480

11．(2023·東北四市聯(lián)考)已知x，y取值如下表：

從所得的散點(diǎn)圖分析可知：y與x線性相關(guān)，且y＝0.95x＋a，則a＝________.

【解析】∵x＝4，y＝5.25，因線性回歸方程通過(guò)樣本點(diǎn)中心(x，y)，故有5.25＝0.95×4＋a，∴a＝1.45.

【答案】1.45

12．(2023·湖北高考)從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)覺其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖4所示．

圖4

(1)直方圖中x的值為________；

(2)在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100,250)內(nèi)的戶數(shù)為________．

【解析】(1)依據(jù)頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積之和等于1，可求出x的值；(2)求出月用電量落在[100,250)內(nèi)的頻率，即可求得月用電量在[100,250)內(nèi)的戶數(shù)．

(1)由于(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)×50＝1，解得x＝0.0044.

(2)數(shù)據(jù)落在[100,250)內(nèi)的頻率是(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，

所以月用電量在[100,250)內(nèi)的戶數(shù)為100×0.7＝70.【答案】(1)0.0044(2)70

13．二項(xiàng)式(x＋y)5的綻開式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答)

【解析】(x＋y)5綻開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝Cr5x5－ryr

，令r＝3得T4＝C35x2y3＝10x2y3，

∴二項(xiàng)式(x＋y)5綻開式中含x2y3項(xiàng)的系數(shù)是10.【答案】10

14．(2023·東城模擬)已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x隨機(jī)選自集合{－1,1,3}，y隨機(jī)選自集合{1,3}，那么a⊥b的概率是________．

【解析】依題意，全部(x，y)的結(jié)果為C13C12＝6種．

若a⊥b，則a·b＝0，即3x－y＝0，而滿意a⊥b的結(jié)果只有(1,3)．由古典概型概率計(jì)算公式得P＝16

.

【答案】

16

15．由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標(biāo)準(zhǔn)差等于1，則這組數(shù)據(jù)為________．(從小到大排列)

【解析】假設(shè)這組數(shù)據(jù)按從小到大的挨次排列為x1，x2，x3，x4，

則?????

x1

＋x2

＋x3

＋x4

4＝2，x2

＋x3

2＝2，

∴??

?

x1＋x4＝4，

x2＋x3＝4.

又s＝14

[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2]＝1

2

(x1－2)2＋(x2－2)2＋(4－x2－2)2＋(4－x1－2)2＝

1

2

2[(x1－2)2＋(x2－2)2]＝1，

∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2.

同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.

由x1，x2，x3，x4均為正整數(shù)，且(x1，x2)，(x3，x4)均為圓(x－2)2＋(y－2)2＝2上的點(diǎn)，分析知x1，x2，x3，x4應(yīng)為1,1,3,3.

【答案】1,1,3,3

三、解答題(本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

16．(本小題滿分12分)為調(diào)查某社區(qū)居民的業(yè)余生活狀況，討論這一社區(qū)居民在20：00－22：00時(shí)間段的休閑方式與性別的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)80人，得到下面的數(shù)據(jù)表：

(1)將此樣本的頻率估量為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性，設(shè)調(diào)查的3人在這一時(shí)間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，我們能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為“在20：00－22：00時(shí)間段居民的休閑方式與性別有關(guān)系”？

參考公式：K2＝

n(ad－bc)2

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

，其中n＝a＋b＋c＋d.

參考數(shù)據(jù)：

【解】

段以看書為休閑方式的概率為P＝56.

依據(jù)題意可得X～B(3，5

6)，

∴P(X＝k)＝Ck3(1

6

)3－k(

5

6

)k，k＝0,1,2,3.

∴E(X)＝np＝3×5

6

＝

5

2

.

(2)提出假設(shè)H0：休閑方式與性別無(wú)關(guān)系．依據(jù)樣本供應(yīng)的2×2列聯(lián)表得

K2＝

n(ad－bc)2

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

＝

80×(10×10－10×50)2

60×20×20×60

＝80

9

≈8.889>6.635.

由于當(dāng)H0成立時(shí)，K2≥6.635的概率約為0.01，所以我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，可以認(rèn)為“在20：00－22：00時(shí)間段性別與休閑方式有關(guān)”．17．(本小題滿分12分)(2023·北京高考)如圖5是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．

(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率；

(2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；

(3)由圖推斷從哪天開頭連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)

圖5

【解】(1)在3月1日至3月13日這13天中，1日、2日、3日、7日、12

日、13日共6天的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，所以此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為

613.

(2)依據(jù)題意，大事“此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染”等價(jià)于“此人到達(dá)該市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在該市停留期間只有1

天空氣重度污染的概率為

413.

(3)從3月5日開頭連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．

18．(本小題滿分12分)為備戰(zhàn)2023年奧運(yùn)會(huì)，甲、乙兩位射擊選手進(jìn)行了強(qiáng)化訓(xùn)練．現(xiàn)分別從他們的強(qiáng)化訓(xùn)練期間的若干次平均成果中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：

甲：8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3

乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5

(1)畫出甲、乙兩位選手成果的莖葉圖；

(2)現(xiàn)要從中選派一人參與奧運(yùn)會(huì)封閉集訓(xùn)，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度，你認(rèn)為派哪位選手參與合理？簡(jiǎn)潔說(shuō)明理由；

(3)若將頻率視為概率，對(duì)選手乙在今后的三次競(jìng)賽成果進(jìn)行猜測(cè)，記這三次成果中不低于8.5分的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．

【解】(1)甲、乙兩位選手成果的莖葉圖如圖：

(2)由于x甲＝x乙＝8.5，又s2甲＝0.27，s2乙＝0.405，

得s2甲＜s2乙，相對(duì)來(lái)講，甲的成果更加穩(wěn)定，所以選派甲合適．

(3)依題意得，乙不低于8.5分的頻率為1

2

，ξ的可能取值為0,1,2,3，則ξ～

B(3，1

2)．

所以P(ξ＝k)＝Ck3(1

2

)3－k(1－

1

2

)k＝Ck

3

(

1

2

)3，

k＝0,1,2,3.

所以ξ的分布列為

∴E(ξ)＝0×1

8

＋1×

8

＋2×

8

＋3×

8

＝

2

.

圖6

19．(本小題滿分13分)如圖6所示，已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，對(duì)稱軸為

坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e＝1

2

，斜率為2的直線l過(guò)點(diǎn)A(2,3)．

(1)求橢圓E的方程；

(2)在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說(shuō)明理由．

【解】(1)設(shè)橢圓E的方程為x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a＞b＞0)，

由題意e＝c

a

＝

1

2

，

4

a2

＋

9

b2

＝1，

又∵c2＝a2－b2，

解得：c＝2，a＝4，b＝23，

∴橢圓E的方程為x2

16

＋

y2

12

＝1.

(2)假設(shè)橢圓E上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P、Q，令P(x1，y1)、Q(x2，y

2

)，且PQ的中點(diǎn)為R(x0，y0)．

∵PQ⊥l，

∴kPQ＝y(tǒng)

2

－y1

x

2

－x1

＝－

1

2

，

又∵???

??

x2116＋y21

12＝1，x2

2

16＋y22

12＝1，

①②

兩式相減得：x22－x2116＋

y22－y2

1

12

＝0.

∴

x2＋x1y2＋y1＝－16(y2－y1)12(x2－x1)＝－1612×(－12)＝23

，即x0y0＝2

3

，③又∵R(x0，y0)在直線l上，∴y0＝2x0－1，④

由③④解得：x0＝2，y0＝3，

所以點(diǎn)R與點(diǎn)A是同一點(diǎn)，這與假設(shè)沖突，故橢圓E上不存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)．

20．(本小題滿分13分)(2023·福州調(diào)研)受轎車在保修期內(nèi)修理費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次消失故障的時(shí)間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

將頻率視為概率，解答下列問(wèn)題：

(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次消失故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；

(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為X2，分別求X1，X2的分布列；

(3)該廠估計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說(shuō)明理由．

【解】(1)設(shè)“甲品牌轎車首次消失故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為大事A，則P(A)

＝2＋3

50

＝

1

10

.

(2)依題意得，X1的分布列為

X

2

的分布列為

(3)由(2)得E(X1)＝1×

1

25

＋2×

50

＋3×

10

＝

50

＝2.86(萬(wàn)元)，

E(X

2

)＝1.8×

1

10

＋2.9×

9

10

＝2.79(萬(wàn)元)．

由于E(X1)>E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車．

21．(本小題滿分13分)(2023·四川高考)某算法的程序框圖如圖7所示，其

中輸入的變量x在1,2,3，…，24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生．

圖7

(1)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率Pi(i＝1,2,3)；

(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運(yùn)行n次后，統(tǒng)計(jì)記錄了輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)．

甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表(部分)

當(dāng)n＝2100時(shí)，依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示)，并推斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大；

(3)將按程序框圖正確編寫的程序運(yùn)行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

【解】(1)變量x是在1,2,3，…，24這24個(gè)整數(shù)中隨機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)數(shù)，共有24種可能．

當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個(gè)數(shù)中產(chǎn)生時(shí)，輸出y的值為1，故P1＝12

；