第六章平面向量及其應用知識框架知識框架學考要求學考要求(1)理解向量相等的含義，理解向量的幾何表示和基本要素、平面向量運算規則，理解其幾何意義。(2)掌握平面向量的數乘運算，理解其幾何意義，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積。了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。(3)理解平面向量基本定理及其意義，會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算，能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個平面向量的夾角，并能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件。掌握正弦定理、余弦定理及其變形.借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理，并能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.知識點明晰知識點明晰一、向量的有關概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長度等于1個單位的向量．（4）兩個向量之間的關系①按照向量的方向 平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規定：與任一向量平行．②按照向量的長度相等向量：長度相等且方向相同的向量．相反向量：長度相等且方向相反的向量．如二、向量的線性運算（1）向量的線性運算運算注意法則（或幾何意義）運算律加法三角形法則：首尾相連三角形法則平行四邊形法則①交換律②結合律減法三角形法則：共起點，連終點，指向被減向量三角形法則數乘實數的正負決定方向的同，反。（1）（2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相反；當時，注：①學生手寫向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．②兩個向量共線要區別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系．三、向量共線定理、平面向量基本定理（1）共線向量定理（一維）如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數，使．平面向量基本定理（二維）如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于平面內的一個向量，有且只有一對實數使，若不共線，稱叫做表示該平面內的所有向量的一個基底。二、常用結論二、常用結論1、向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量．即．2、中線向量定理如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．雞爪定理（俗稱）三、平面向量的坐標表示（1）平面向量的坐標表示在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內的一個向量，有且只有一對實數使，我們把有序實數對叫做向量的坐標，記作．（2）向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有向量向量點．（3）設，，則=，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標．四、平面向量的直角坐標運算①已知點，，則，②已知，，則，，二、常用結論二、常用結論①減法公式：，常用于向量式的化簡．②、、三點共線，這是直線的向量式方程．③五、平面向量的數量積（1）平面向量數量積的定義已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積（或內積），記作，即=，規定：零向量與任一向量的數量積為0．（2）平面向量數量積的幾何意義投影向量：設a，b是兩個非零向量，如圖(1)(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量b，過點A作eq\o(OB,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足為點A1.我們將上述由向量a得到向量eq\o(OA1,\s\up6(→))的變換稱為向量a向向量b投影，向量eq\o(OA1,\s\up6(→))稱為向量a在向量b上的投影向量.,向量a在向量b上的投影向量為(|a|cosθ)eq\f(b,|b|).（3）數量積的運算律已知向量、、和實數，則：①；②；③．（4）數量積的性質設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當與同向時，；當與反向時，．特別地，或．④．⑤．（5）相關運算和坐標運算對比已知非零向量，，為向量、的夾角．結論幾何表示坐標表示模數量積夾角的充要條件的充要條件與的關系(當且僅當時等號成立)注意(1)兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；(2)兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線；六、平面幾何中的向量方法用向量法求解平面幾何問題的一般步驟“三步曲”：幾何元素向量化→向量運算關系化→運算結果幾何化；幾何元素轉化為向量的途徑：基向量法和坐標法.二、常用結論二、常用結論兩個常用結論：①平行四邊形的兩對角線的平方和=四邊的平方和；②計劃恒等式；七、余弦定理、正弦定理在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,共6個元素，則已知其中三個元素（必含一條邊）求另外三個元素的過程叫解三角形。余弦定理：若R為△ABC外接圓的半徑，a2=b2+c22bccosA;b2=c2+a22accosB;c2=a2+b22abcosC；解決的問題：①已知兩邊及其夾角求其他元素；③已知兩邊及其一邊的對角，求第三邊（得到含第三邊的一元二次方程）；余弦定理推論：cosA=b2+c2解決的問題：①可以從三角形的三邊計算出三角形的三個內角．②判斷三角形的形狀。正弦定理asinA=b變形：轉化思想①邊化角a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②角化邊sinA=a2R,sinB=b2R,sin解決的問題：①一是已知兩角和其中一角的對邊,求其他邊與角;②二是已知兩邊和其中一邊的對角,求其他邊與角.面積公式:S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acS△ABC=abc4R=12(a+b+c)·r(r是三角形內切圓的半徑,并可由此計算R,二、常用結論二、常用結論①邊化角,角化邊?a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.②大邊對大角,大角對大邊:a>b?A>B?sinA>sinB?cosA<cosB.③合分比:a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsin④△ABC內角和定理:A+B+C=π.則sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB?c=acosB+bcosA.cosC=－cos(A+B)=－cosAcosB+sinAsinB.⑤sinA+B2=cosC2;cosA⑥在△ABC中,內角A,B,C成等差數列?B=π3,A+C=2π八、幾個角1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內,視線在水平線上方時與水平線的夾角叫仰角,視線在水平線下方時與水平線的夾角叫俯角（如①②）方向角從指定方向線到目標方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西,方向角小于90°,如③)坡角:坡面與水平面的夾角(如④,角θ為坡角)第七章復數知識框架知識框架學考要求學考要求（1）了解數系的擴充，掌握各個數集之間的關系，掌握復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義.（2）掌握復數代數表示式的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義.知識點明晰知識點明晰復數的概念形如z=a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，a，b分別是它的實部和虛部，叫虛數單位，滿足復數的模：復數的模，其計算公式復數的模表示復平面內的點到原點的距離．復數的分類其中，兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數．互為共軛的兩個復數在復平面內對應的點是關于實軸對稱的。復數相等若a＋bi＝c＋di（a，b，c，d∈R）a=c,且b=d。（兩復數對應同一點）復數的幾何意義(1)(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．復數的四則運算(1)復數的加減運算：（a＋bi）±（c＋di）=（a±c）+（b±d）i；（a,b,c,d∈R）(2)復數的乘法：復數乘法類似于多項式的乘法運算．(3)復數的除法：除法的關鍵一般是分子分母同乘以分母的共軛復數，目的是使得分母實數化（有時可以乘以非共軛復數）.常用結論①當時，．②．③；；④|z1·z2|=|z1|·|z2|;z1z2=|z1||z2|⑤(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.注意：(1)兩個虛數不能比較大小．(2)利用復數相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件．(3)在復數計算的