基于FPGA的Cordic算法實現的設計與驗證CORDIC（CoordinateRotationDigitalComputer）算法即坐標旋轉數字計算方法，是J.D.Volder1于1959年首次提出，主要用于三角函數、雙曲線、指數、對數的計算。該算法通過基本的加和移位運算代替乘法運算，使得矢量的旋轉和定向的計算不再需要三角函數、乘法、開方、反三角、指數等函數。本文是基于FPGA實現Cordic算法的設計與驗證，使用VerilogHDL設計，初步可實現正弦、余弦、反正切函數的實現。將復雜的運算轉化成FPGA擅長的加減法和乘法，而乘法運算可以用移位運算代替。Cordic算法有兩種模式，旋轉模式和向量模式?？梢栽趫A坐標系、線性坐標系、雙曲線坐標系使用。本文線初步實現在圓坐標系下的兩種模式的算法實現。Cordic算法簡化旋轉模式，迭代位移算法。假設有一點P0（x0，y0），經過逆時針旋轉角度θ，到達點Pm（xm，ym），我們根據數學運算可以得到公式如下：xm=x0cosθ-y0sinθ=cosθ（x0–y0tanθ）ym=y0cosθ+x0sinθ=cosθ（y0–x0tanθ）如果不考慮旋轉后的向量模值，只考慮旋轉角度，即去掉cosθ，得到如下方程式。這里旋轉的角度的正確的，但x和y的值增加。cosθ值是小于等于1的，值大于等于1，所以模值應該增大。我們不能通過適當的數學計算去掉cosθ，但是去掉cosθ項可以方便我們后面的坐標平面旋轉的計算。這里稱為偽旋轉。xm=x0–y0tanθym=y0–x0tanθCordic的方法核心就是偽旋轉，將旋轉角θ細化成若干個大小固定的角度θi，規定θi滿足tanθi=2^-i，通過一系列的迭代旋轉，每次旋轉θi，i為迭代次數，規定∑θi的范圍即旋轉角度θ的范圍為［-99.7，99.7］。如果θ的大于這個范圍則可通過三角運算操作轉化到該范圍的角度。我們通過事先將所有每次旋轉的角度計算出來，由于每次旋轉的角度是固定的，所以經過i次旋轉的∑θi可能會超過θ，所以就必須設置一個方向值di，如果旋轉角度之和已經小于θ，則di為1，下次旋轉繼續為順時針旋轉，如果旋轉角度之和大于θ，則di為-1，下次旋轉為逆時針。設置zi+1為旋轉剩余角度，zi+1=z0–dizi，z0=θ，隨著i值得增大，zi+1會趨向于0時，即旋轉結束。di與zi的符號位相同。采用偽旋轉的方法，每次提出一個cosθi，旋轉結束后會產生一個∏cosθi的累乘，一旦我們確定了迭代次數，∏cosθi就是一個常數，迭代公式可寫為。這是將cosθi提出、tanθi替換成2^-i后的結果。di與zi的符號位相同。xi+1=xi-di*yi*2^-iyi+1=yi+di*xi*2^-izi+1=z0-di*θi設迭代i=n-1，那么旋轉n次后得到Pm的坐標應該為（xn*∏cosθi，yn*∏cosθi）。應為每次迭代都會提出一個cosθi，旋轉n次后的xn和yn就會少乘一個∏cosθi，所以實際上最終的Pm坐標角度近似于（xn*∏cosθi，yn*∏cosθi）。xn*∏cosθi=x0cosθ-y0sinθyn*∏cosθi=y0cosθ+x0sinθxn=1/∏cosθi（x0cosθ–y0sinθ）yn=1/∏cosθi（y0cosθ–x0sinθ）伸縮因子，KN=1/∏cosθi，已知迭代次數，我們可以預先計算KN的值。如下這是博主使用MATLAB計算出的迭代結果數值。xn=KN（x0cosθ–y0sinθ）yn=KN（y0cosθ–x0sinθ）從上表可以得出，我們預先計算出KN的值，然后令x0=∏cosθi，y0=0，則上述公式可化簡為xn=cosθyn=sinθ即可實現正弦、余弦操作了。旋轉模式總結一下，Cordic算法旋轉模式使用VerilogHDL的實現流程（1）確定迭代次數，將每次迭代的角度計算出來，預先定義為參數，為了避免浮點運算，將角度值向左移位16位，取整數部分。（2）根據迭代公式進行迭代計算，本設計取16次迭代，從上表可以看出，當迭代次數越大時，1/∏cosθi會趨向于一個確定值。如果對結果精度要求更高，可以設置更高的迭代次數，根據迭代次數，可以將伸縮因子KN=1/∏cosθi計算出來。同樣將其左移16位。xi+1=xi-di*yi*2^-iyi+1=yi+di*xi*2^-izi+1=z0-di*θi（3）設置x0=∏cosθi，y0=0，則求出x16=cosθ，y16=sinθ。這里需要注意的是，我們在進行迭代運算的時候，將2^-i變成移位運算，對于正余弦來說是有正負的，所以在一開始定義的時候，就應該定義成有符號數，Verilog中也可以定義有符號數，最高位表示符號位，定義如下迭代寄存器定義為有符號數，那么我們移位運算就不能用》》邏輯右移《《邏輯左移或來移位了，而是用》》》算術右移和《《《算術左移。邏輯左移也就相當于算數左移，右邊統一添0，邏輯右移，左邊統一添0，算數右移，左邊添加的數和符號有關。例如1010_1010，［］是添加的位邏輯左移一位：0101_010［0］算數左移一位：0101_010［0］邏輯右移一位：［0］101_0101算數右移一位：［1］101_0101迭代運算采用16級流水線，進行運算，最終需要判斷輸出的正余弦值在哪個象限，前面講旋轉角度θ的范圍為［-99.7，99.7］，不在這個范圍我們要進行三角運算使其滿足這個范圍，當輸入的角度小于90度即可進行計算，當輸入角度大于90度小于180度，將輸入角度減去90度并設定當前角度處于第二象限，然后進行計算，當輸入角度大于180度小于270度，將輸入的角度減去180度設置當前角度處于第三象限，進行計算，當輸入的角度大于270度，減去270設置當前角度處于第四象限，進行計算。象限的設定通過quarant寄存器實現。如果角度在第一象限，sin（x）=sin（a），cos（x）=sin（a）最后的結果x16=cosθ，y16=sinθ，這里我想起了那句口訣，一全正，二正弦，三正切，四余弦如果角度在第二象限，sin（x）=sin（a+90）=cos（a），cos（x）=cos（a+90）=-sin（a）如果角度在第三象限，sin（x）=sin（a+180）=-sin（a），cos（x）=cos（a+180）=-cos（a）如果角度在第四象限，sin（x）=sin（a+270）=cos（a），cos（x）=cos（a+270）=-sin（a）對于正數，我們直接賦值輸出，負數，這里使用有符號數表示，將其取反加1即可。最終使用modelsim對算法進行仿真，從波形圖上看已經初步實現了sin，cos函數。向量模式Cordic算法在向量模式下的計算方法和旋轉模式基本上是類似的，設有一點P0（x0，y0），經過順時針旋轉角度到與軸重合，得到點Pm（xm，ym），即ym=0。xm=x0cosθ-y0sinθ=cosθ（x0–y0tanθ）ym=y0cosθ+x0sinθ=cosθ（y0–x0tanθ）=0我們設置x0=x，y0=y，z0=0，迭代次數為16，經過16次迭代后得到zn=θ=arctan（y/x）和坐標所代表的向量的模值d=xm=xn*∏cosθi，di與yi方向相反，即當時結束運算。實現方法為判斷yi的符號位，符號位為1，di為1，符號位為0，di為-1。xi+1=xi-di*yi*2^-iyi+1=yi+di*xi*2^-izi+1=z0-di*θi關于反正切函數，由于在［-99.7°，99.7°］范圍內，所以我們輸入向量P0（