泰山學院信息科學技術學院教課設計數值剖析教研室課程名稱高等數學講課對象講課題目第十講空間分析幾何中的問題課時數2經過教課讓學生掌握向量的基本觀點，向量的數目積，向量的向量積，平教課目的面及其方程，直線及其方程，常用二次曲面的方程及其圖形，常用二次曲面的方程及其圖形重點要點：向量的數目積，向量的向量積，平面方程，直線方程難難點：常用二次曲線、二次曲面的方程及其圖形.點第十講空間分析幾何中的問題教一、向量的基本觀點二、兩向量的數目積三、兩向量的向量積四、平面及其方程學五、直線及其方程六、常用二次曲面的方程及其圖形七、常用二次曲面的方程及其圖形提綱1/6教課過程與內容教課后記第十講空間分析幾何中的問題一、向量的基本觀點（１）坐標系（２）兩點間的距離公式（３）向量的坐標表示ABxiyjzk{x,y,z}（４）向量的長度|AB|x2y2z2向量的單位化方向角（５）向量的方向方向余弦二、兩向量的數目積（１）ab|a||b|cos(a,b)（２）abaxbxaybyazbz(3)aa|a|2.(4)abab0(5)cos(a,b)ab|a||b|（６）：abab0axbxaybyazbz0三、兩向量的向量積（１）設a、b為向量，作向量R＝ab使得：1)|R||a||b|sin(a,b)R垂直于ab所確立的平面，指向按右手法例（２）ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)vvvijkaxayazbxbybz（３）應用１）利用向量積求出同時垂直兩個已知矢量的矢量；2/6２）a//bab0axayazbxbybz四、平面及其方程（１）已知平面過點M0（x0、y0、z0），nA,B,C為的法矢量。1）點法式：A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0；0002）一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全為零；（２）平面間的地點關系1）兩平面垂直：π⊥πn1⊥n2；122）兩平面平行：π∥πn1∥n2。123）平面間的夾角（常指銳角）：cosA1A2B1B2C1C2。A12B12C12A22B22C22（３）點到平面的距離點M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為d

Ax0By0Cz0DA2B2C2五、直線及其方程（１）空間直線的對稱式方程和點向式方程xx0yy0zz0（=t）mnpyy0zz0當m=0時，則方程的點向式記為：npxx0A1xB1yC1zD1（２）直線的一般方程為A2xB2yC2zD2（３）兩直線的夾角4)直線與平面的夾角六、常用二次曲面的方程及其圖形1、球面：xx02yy02zz02R2x2y2z2R23/6x2y2、橢球面2ba3、旋轉曲面

2z212c2設L是x0z平面上一條曲線，得旋轉曲面：

fx,z0L繞z旋轉一周所y0fx2y2,z0x0x2y2zz022y2,zz0xx0x2y2z0z代入方程fx,z0得fx2y2,z0例例：zx2y2,zax2y2稱為旋轉拋物面旋轉雙曲面：x2y2z21，(單)a2c2zx2y2z2a2c24、橢圓拋物面zax2by2a，b05、單葉雙曲面x2y2z21a2b2c26、雙葉雙曲面x2y2z21a2b2c27、二次錐面x2y2z20a2b2c2圓錐面z2x2y2物柱面yax2a0（8）柱面f(x,y)04/6七、常用二次曲面的方程及其圖形（1）空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.F(x,y,z)0G(x,y,z)0空間曲線的參數方程x(t)y(t)z(t)空間曲線在座標面上的投影F(x,y,z)0G(x,y,z)消去ｚ的方程0H(x,y)0曲線對于xoy面投影柱面H(x,y)0曲線對于xoy面投影為Z0例１：已知曲線C:x2y22z20，求曲線C距離XOY面最遠的點和最xy3z5近的點.【剖析】曲線上一點(x,y,z)到XOY面的距離為z，但把目標函數設為f(x,yz)z，不便于計算，因此常把目標函數設為f(x,yz)z2，把兩個方程當作拘束條件使用拉格朗人數乘法求解即可。【解】Lz21(x2y22z2)2(xy3z5)L1x202xL1y022yL41z302z2zL2y22z20x1Ly3z50x25/6由前兩個方程知xy，代入后兩個方程知求的解(1,1,1),(5,5,5)最遠的點(5,5,5)和近來的點(1,1,1).例２：橢球面S1是橢圓x2y21繞X軸旋轉而成，圓錐面S2是由過點（4,0）43且與橢圓x2y21相切的直線繞X軸旋轉而成。43（Ⅰ）求S1和S2的方程；（Ⅱ）求S1和S2之間的立體體積。【剖析】設L是xoy平面上一條曲線f(x,y)0，L繞x旋轉一周所得旋轉曲面為f(,y2z2)0x【解】S1:x2y23z214設過點（4,0）與橢圓相切的直線方程為yax4a設切點為(x0,y0)，則dy3x0ay0，又3x204y2012dx4y0x04得(x0,y0)＝(1,3)，上方切線為y1x2221x2S2:y2z222V132