充分條件、必要條件一、充分條件與必要條件“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關系p?qp?q條件關系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關系判定定理給出了相應數學結論成立的充分條件性質定理給出了相應數學結論成立的必要條件【注意】（1）前提p?q，有方向，條件在前，結論在后；（2）p是q的充分條件或q是p的必要條件；（3）改變說法：“p是q的充分條件”還可以換成q的一個充分條件是p；“q是p的必要條件”還可以換成“p的一個必要條件是q”．二、充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件1、充分不必要條件：如果且，則稱是的充分不必要條件；2、必要不充分條件：如果且，則稱是的必要不充分條件；3、充要條件：如果且，則稱是的充分必要條件，簡稱充要條件；4、既不充分也不必要條件：如果且，則稱是的既不充分也不必要條件三、充分必要條件與集合的關系若條件p，q以集合的形式出現，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，①若AB，則p是q的充分不必要條件；②若A?B，則p是q的必要條件；③若AB，則p是q的必要不充分條件；④若A＝B，則p是q的充要條件；⑤若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關系；四、充分條件、必要條件的判斷方法1、定義法：首先分清條件和結論，然后判斷p?q和q?p是否成立，最后得出結論．2、命題判斷法①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件；②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件.3、集合法：對于涉及取值范圍的判斷題，可從集合的角度研究，若兩個集合具有包含關系，則小范圍?大范圍，大范圍推不出小范圍.4、傳遞法：由推式的傳遞性：p1?p2?p3?…?pn，則pn是p1的必要條件.五、探求充要條件的兩種方法1、先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．2、將原命題進行等價變形或轉換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探求過程的每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證．題型一充分、必要條件的判斷【例1】（2022秋·湖北黃岡·高一校考期中）“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，成立，當時，不一定成立，如，故是的充分不必要條件，故選：A．【變式11】（2023秋·江西新余·高一新余市第一中學校考開學考試）“”是“且”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當，此時滿足，但且不成立，所以充分性不成立；反之：若且，可得成立，所以必要性成立，所以“”是“且”必要不充分條件.故選：B.【變式12】（2022秋·云南曲靖·高一校考階段練習）荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”這句話闡述了做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標的哲理．由此可得，“積跬步”是“至千里”的條件．（填條件關系，例如充分不必要條件、充要條件等等．）【答案】必要不充分條件.【解析】故不積跬步，無以至千里，等價于“積跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必須“積跬步”，所以“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分條件【變式13】（2023秋·高一課時練習）下列說法不正確的是．（只填序號）①是的必要條件；②是的充分不必要條件；③是且的充分條件；④是的充分不必要條件．【答案】①③【解析】①中，命題：若是的必要條件的逆否命題為若是的必要條件，由，可得或，所以是的充分條件，所以①不正確；②中，若，則成立，即充分性成立；反之：若，則不一定成立，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件，所以②正確；③中，由，可得或，所以是且的必要條件，所以③不正確；④中，由，可得，所以是的充分不必要條件，所以④正確.故選：①③【變式14】（2023春·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學校考開學考試）（多選）已知是成立的必要條件，是成立的充要條件，是成立的充分條件，是成立的不充分條件，則下列說法不正確的是（）A．是成立的充要條件B．是成立的必要不充分條件C．是成立的充分不必要條件D．是成立的必要不充分條件【答案】ACD【解析】依題意得，，，，由，得，但不一定能推出，故A不正確；由，得，又，所以是成立的必要不充分條件，故B正確；因為不一定能推出，不一定能推出，所以C不正確；因為，，所以，又，所以是成立的充分不必要條件，故D不正確.故選：ACD題型二探求充要條件【例2】（2022秋·湖北·高一校聯考階段練習）設，則“”的一個充要條件是（）A．a，b都為2B．a，b都不為2C．a，b中至少有一個為2D．a，b都不為0【答案】C【解析】或中至少有一個為.故選：C【變式21】（2022秋·江蘇鎮江·高一江蘇省鎮江第一中學校考階段練習）設，則“”的充要條件是（）A．a，b都為B．a，b不都為C．a，b中至少有一個為D．a，b都不為0【答案】C【解析】，，于是得或，因此a，b中至少有一個為，反之當a，b中至少有一個為時，，“a，b中至少有一個為”是“”的充要條件，C正確；而“或”可以是“a，b中只有為”，A不正確；“或”可以是“a，b都為”，B不正確；“或”可以是“a，b中一個為，另一個為0”，D不正確.故選：C【變式22】（2021·高一課時練習）設集合，，則“且”成立的充要條件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知且，則且，即.所以“且”的充要條件為．故選：D【變式23】（2023·全國·高一專題練習）（多選）設全集為，在下列條件中，是的充要條件的有（）A．B．C．D．【答案】ABCD【解析】對于A，若，則；反過來，若，則，故互為充要條件，故正確；對于B，如下Venn圖，若，則，若，則，故正確；選項C中，若，則；反過來，若，則，故互為充要條件，故正確；選項D中，若，則，故；反過來，若，則，故，故互為充要條件，故正確.故選：ABCD.題型三充分必要條件的證明【例3】（2022秋·四川成都·高一校考階段練習）已知a＋b≠0，證明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.【答案】證明見解析.【解析】證明：先證充分性：若a＋b＝1則a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0則(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0因為a＋b≠0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1，成立綜上a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要條件是a＋b＝1.【變式31】（2023春·河南周口·高一周口恒大中學校考階段練習）已知集合．（1）判斷8、9、10是否屬于集合A；（2）已知，證明：“”的充分非必要條件是“”．【答案】（1），，；（2）證明見解析【解析】（1）∵，，∴，，假設，m，，則，且，∵，或，顯然均無整數解，∴，∴，，.（2）∵集合，則恒有，∴，∴即一切奇數都屬于A，又∵，，∴“”的充分不必要條件是“”.【變式32】（2023·全國·高一假期作業）證明：“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.【答案】證明見解析【解析】充分性：若，則關于的方程有一正一負根，證明如下：當時，，所以方程有兩個不相等的實根，設兩根分別為，，則，所以方程有一正一負根，故充分性成立，必要性：若“關于的方程有一正一負根”，則，證明如下：設方程一正一負根分別為，，則，所以，所以若“關于的方程有一正一負根”，則，故必要性成立，所以“”是“關于的方程有一正一負根”的充要條件.【變式33】（2022秋·湖北武漢·高一武漢市第六中學校考階段練習）設a，b，c分別是三角形的三條邊長，且，請利用邊長a，b，c給出為銳角三角形的一個充要條件，并證明之．【答案】，證明見解析.【解析】.證明如下：充分性：∵，不是直角三角形，假設△ABC是鈍角三角形，，最大，即，，過點A作BC的垂線，交BC的延長線于點D，由勾股定理，得，與已知矛盾，△ABC為銳角三角形.必要性：∵△ABC為銳角三角形，，°，過點A作BC的垂線，垂足為D，由勾股定理知，得.綜上，為銳角三角形的一個充要條件為.題型四根據充分、必要條件求參數【例4】（2023秋·福建廈門·高一統考期末）（多選）已知集合,若是的充分條件,則a可以是（）A．1B．0C．1D．2【答案】AB【解析】因為是的充分條件，所以,所以有.故選:AB【變式41】（2023秋·高一課時練習）已知p：或，q：或．若p是q的必要條件，則實數a的取值范圍為．【答案】【解析】∵p是q的必要條件，∴，則有，解得.則實數a的取值范圍為故答案為：【