選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。設k為非零實數，矩陣M=,N=，點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點分別為A1、B1、C1，△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求k的值。[解析]本題主要考查圖形在矩陣對應的變換下的變化特點，考查運算求解能力。滿分10分。解：由題設得由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。計算得△ABC面積的面積是1，△A1B1C1的面積是，則由題設知：。所以k的值為2或-2。選修4-4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數a的值。[解析]本題主要考查曲線的極坐標方程等基本知識，考查轉化問題的能力。滿分10分。解：，圓ρ=2cosθ的普通方程為：，直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程為：，又圓與直線相切，所以解得：，或。（本小題滿分10分）某工廠生產甲、乙兩種產品，甲產品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產品的一等品率為90%，二等品率為10%。生產1件甲產品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產1件乙產品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元。設生產各種產品相互獨立。記X（單位：萬元）為生產1件甲產品和1件乙產品可獲得的總利潤，求X的分布列；求生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率。[解析]本題主要考查概率的有關知識，考查運算求解能力。滿分10分。解：（1）由題設知，X的可能取值為10，5，2，-3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。由此得X的分布列為：X1052-3P0.720.180.080.02（2）設生產的4件甲產品中一等品有件，則二等品有件。由題設知，解得，又，得，或。所求概率為答：生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192。（本小題滿分10分）已知△ABC的三邊長都是有理數。求證cosA是有理數；（2）求證：對任意正整數n，cosnA是有理數。[解析]本題主要考查余弦定理、數學歸納法等基礎知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。（方法一）（1）證明：設三邊長分別為，，∵是有理數，是有理數，分母為正有理數，又有理數集對于除法的具有封閉性，∴必為有理數，∴cosA是有理數。（2）①當時，顯然cosA是有理數；當時，∵，因為cosA是有理數，∴也是有理數；②假設當時，結論成立，即coskA、均是有理數。當時，，，，解得：∵cosA，，均是有理數，∴是有理數，∴是有理數。即當時，結論成立。綜上所述，對于任意正整數n，cosnA是有理數。（方法二）證明：（1）由AB、BC、AC為有理數及余弦定理知是有理數。（2）用數學歸納法證明cosnA和都是有理數。①當時，由（1）知是有理數，從而有也是有理數。