福建省福州市蓬歧中學2022年高三數學文下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.直線x+2y﹣5+=0被圓x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦長為（）A．1 B．2 C．4 D．4參考答案：C【考點】直線與圓的位置關系．【分析】化圓的方程為標準方程，求出圓的圓心坐標和半徑，由點到直線距離公式求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求出半弦長，則弦長可求．【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，所以圓的圓心坐標是C（1，2），半徑r=．圓心C到直線x+2y﹣5+=0的距離為d=．所以直線直線x+2y﹣5+=0被圓x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦長為．故選C．2.函數的零點個數為

(A)3

(B)2

(C)l

(D)0參考答案：B3.已知、

均為單位向量，它們的夾角為60°，那么（

）A．

B．

C．

D．4

參考答案：C略4.已知集合,則等于A.

B. C.

D.參考答案：D由不等式得，又，故,故選D.5.定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”，若函數，

的“新駐點”分別為則的大小關系為

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A略6.設圓C與圓

外切，與直線相切．則C的圓心軌跡為（

）A．拋物線

B．雙曲線

C．橢圓

D．圓參考答案：A

本題考查了圓與圓外切、直線與圓相切的條件以及拋物線的定義，考查了學生對知識的掌握程度，難度中等。

因為圓C與圓外切，同時與直線y=0相切，所以點C到點（0,3）的距離比到直線y=0的距離大1，即點C到點（0,3）的距離與到直線y=—1的距離相等，由拋物線定義可知點C的軌跡是拋物線.7.設等差數列的前項和為、是方程的兩個根，

A．

B．5

C．

D．-5參考答案：A因為、是方程的兩個根，所以。又，選A.8.已知集合，，則A∩B的元素個數為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B故答案為：B.

9.（）A. B. C. D.參考答案：A【分析】把復數乘積展開，化簡為a+bi（a、b∈R）的形式，可以判斷選項．【詳解】∵（1+3i）（1-i）＝1+3+3i-i＝4+2i故選：A．【點睛】本題考查復數代數形式的運算，是基礎題．10.已知是圓外一點，則直線與該圓的位置關系是

（

）

A．相切

B．相交

C．相離

D．相切或相交參考答案：【知識點】直線與圓的位置關系．H4

【答案解析】B解析：∵點M（x0，y0）是圓x2+y2=a2（a＞0）外一點，∴+＞a2．圓心O到直線x0x+y0y=a2與的距離為d=＜=a（半徑），故直線和圓相交，故選B．【思路點撥】由題意可得+＞a2，圓心O到直線x0x+y0y=a2與的距離為d，根據d小于半徑，可得直線和圓相交．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在面積為S的△ABC內任取一點P，則△PAB的面積大于的概率為．參考答案：考點： 幾何概型；誘導公式的作用；二倍角的正弦；二倍角的余弦．專題： 概率與統計．分析： 設DE是△ABC平行于BC的中位線，可得當P點位于△ABC內部的線段DE上方時，能使△PAB的面積大于，因此所求的概率等于△ADE的面積與△ABC的面積比值，根據相似三角形的性質求出這個面積比即可．解答： 解：分別取AB、AC中點D、E，連接DE∵DE是△ABC的中位線，∴DE上一點到BC的距離等于A到BC距離的一半設A到BC的距離為h，則當動點P位于線段DE上時，△PAB的面積S=BC?h=S△ABC=S因此，當點P位于△ABC內部，且位于線段DE上方時，△PAB的面積大于．∵△ADE∽△ABC，且相似比=∴S△ADE：S△ABC=由此可得△PAB的面積大于的概率為P==．故答案為：．點評： 本題給出三角形ABC內部一點P，求三角形PBC面積大于或等于三角形ABC面積的一半的概率，著重考查了相似三角形的性質和幾何概型的計算等知識，屬于基礎題．12.不等式的解集為____________.

參考答案：略13.若判斷框內填入，則下面的程序框圖輸出的結果為_______

參考答案：答案：13214.已知點在曲線：（為參數）上，則到曲線的焦點的距離為_______________．參考答案：515.正三棱錐P-ABC底面邊長為1，高PH=2，在這個三棱錐的內切球上面堆放一個與它外切，且與棱錐各側面都相切的球，按照這種方法，依次堆放小球，則這些球的體積之和為

參考答案：解析：如圖，過側棱ＰＡ及高ＰＨ的截面為ＰＡＤ，則點Ｄ為ＢＣ的中點，設內切球。。。。和半徑為。。。，ＤＨ＝，ＰＤ＝，有cos==,由此解得＝，在直角梯形中，，解得，同理16.已知的展開式中第五項與第七項的系數之和為,其中為虛數單位，則展開式中常數項為

.

參考答案：

16.

17.如果一個正三棱錐的底面邊長為6，且側棱長為，那么這個三棱錐的體積是

.參考答案：9三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，、是海岸線、上的兩個碼頭，海中小島有碼頭到海岸線、的距離分別為、.測得，.以點為坐標原點，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系.一艘游輪以的平均速度在水上旅游線航行(將航線看作直線，碼頭在第一象限，航線經過).(1)問游輪自碼頭沿方向開往碼頭共需多少分鐘？(2)海中有一處景點(設點在平面內，，且)游輪無法靠近.求游輪在水上旅游線航行時離景點最近的點C的坐標.參考答案：【測量目標】（1）分析問題與解決問題的能力/能通過建立數學模型，解決有關社會生活、生產實際或其他學科的問題，并能解釋其實際意義.（2）分析問題與解決問題的能力/能通過建立數學模型，解決有關社會生活、生產實際或其他學科的問題，并能解釋其實際意義.【知識內容】（1）圖形與幾何/平面直線的方程/點到直線的距離、兩條相交直線的交點和夾角.（2）圖形與幾何/平面直線的方程/兩條相交直線的交點和夾角、兩條直線的平行關系與垂直關系.【參考答案】（1）由已知得：，直線的方程為，………1分設，由及圖得，

………3分直線的方程為，即，

………5分

由得即，

………6分，即水上旅游線的長為．

游輪在水上旅游線自碼頭沿方向開往碼頭共航行30分鐘時間．………8分（2）解法一：點到直線的垂直距離最近，則垂足為.

………10分由（1）知直線的方程為，，則直線的方程為，

………12分所以解直線和直線的方程組，得點的坐標為（1，5）．

……14分解法2：設游輪在線段上的點處，

則，，

………10分

，

，

，，

………12分

時，

當時，離景點最近，代入得離景點最近的點的坐標為(1,5).………14分19.（本小題滿分13分）已知圓．若橢圓的右頂點為圓M的同心，離心率為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若存在直線，使得直線與橢圓C分別交于A，B兩點，與圓M分別交于G，H兩點，點G在線段AB上，且，求圓M半徑r的取值范圍．參考答案：20.已知函數（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的單調區間；（Ⅲ）設，其中是的導函數．證明：對任意，．參考答案：（Ⅰ），依題意，為所求.（Ⅱ）此時

記，，所以在，單減，又，

所以，當時，，，單增；

當

時，，，單減.

所以，增區間為（0，1）；減區間為（1，.（Ⅲ），先研究，再研究.

①記，，令，得，

當，時，，單增；

當，時，，單減.

所以，，即.

②記，，所以在,單減，所以，，即

綜①、②知，.

略21.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程已知極坐標的極點在平面直角坐標系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同。直線的極坐標方程為：，點，參數。（1）求點軌跡的直角坐標方程；（2）求點到直線距離的最大值。參考答案：解：(1)且參數，所以點的軌跡方程為。(Ⅱ)因為，所以，所以，所以直線的直角坐標方程為。由(Ⅰ)點的軌跡方程為，圓心為，半徑為2。所以點到直線距離的最大值。22.（本題滿分12分）已知拋物線：的焦點為，過點引直線交于、兩點，是坐標原點．（1）求的值；（2）若，且求直線的方程．參考答案：解（1）由已知得點坐標為當的斜率存在時，設其方程為由①………2分