一、選擇題1．三棱錐中，，分別是，的中點，且，，，用，，表示，則等于A． B． C． D．2．正方體中,動點在線段上,，分別為，的中點.若異面直線與所成的角為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知在平行六面體中，則的長為（）A． B．9 C． D．4．如圖，三棱柱中，底面邊長和側棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．5．已知給出下列等式：①；②；③④.其中正確的個數是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．在平行六面體中，若，則（）A． B． C． D．7．在正四面體中，棱長為2，且E是棱AB中點，則的值為()A． B．1 C． D．8．已知，，，若、、三向量共面，則實數等于（）A． B． C． D．9．如圖所示，直三棱柱的側棱長為，底面邊長，且，點在棱上且，點在棱上，則的最小值為（）A． B． C． D．10．如圖，在菱形中，，線段、的中點分別為、．現將沿對角線翻折，當二面角的余弦值為時，異面直線與所成角的正弦值是（）A． B． C． D．11．如圖，在棱長均相等的四面體中，點為的中點，，設，，，則（）A． B． C． D．12．如圖，在所有棱長均為a的直三棱柱ABC—A1B1C1中，D,E分別為BB1,A1C1的中點，則異面直線AD,CE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．13．設向量，，其中，則下列判斷錯誤的是（）A．向量與軸正方向的夾角為定值（與、之值無關）B．的最大值為C．與夾角的最大值為D．的最大值為l二、填空題14．如圖，已知平面平面，，，，，，，，且，，，則_________________.15．如圖所示，在棱長為2的正方體中，是底面的中心，、分別是、的中點，那么異面直線和所成角的余弦值等于______.16．在空間直角坐標系中，,則=____17．如圖，已知正方體的棱長為1，E，F，G分別是棱的中點，設M是該正方體表面上的一點，若，則點M的軌跡所形成的長度是________．18．在空間直角坐標系中，已知，，點分別在軸，軸上，且，那么的最小值是______.19．如圖，在棱長為2的正方體中，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上，若P為動點，Q為動點，則PQ的最小值為_____.20．設向量，且，則的值為__________．21．給出下列命題：①直線l的方向向量為=（1，﹣1，2），直線m的方向向量=（2，1，﹣），則l與m垂直；②直線l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），則l⊥α；③平面α、β的法向量分別為=（0，1，3），=（1，0，2），則α∥β；④平面α經過三點A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，則u+t=1.其中真命題的是______．（把你認為正確命題的序號都填上）22．如圖，在空間四邊形中，，分別為、的中點，點在線段上，且，用向量、、表示向量，設，則、、的和為______.23．已知的頂點平面,點B,C在平面異側,且,,若,與所成的角分別為,,則線段長度的取值范圍為______.24．在正方體中，，分別為，的中點，有以下命題：①平面；②；③平面平面，則正確命題的序號為______.25．已知四棱柱的底面是矩形，，，，，則________.26．已知三棱錐每條棱長都為，點，分別是，的中點，則__________．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．B解析：B【分析】利用向量的平行四邊形法則、三角形法則可得：，，，，，代入化簡即可得出．【詳解】解：，，，，，，，故選：．【點睛】本題考查了向量的平行四邊形法則、三角形法則，考查了數形結合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．2．A解析：A【詳解】以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖設，易得,設，則，即.當時，取到最大值，當時，取到最小值，所以的取值范圍為.故選：A.點睛：本題主要考查異面直線所成的角，屬于難題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據幾何體的特殊性質建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質求解.3．D解析：D【分析】直接利用，然后利用平面向量的數量積進行計算.【詳解】如圖，可得，故.故選：D.【點睛】本題考查了幾何體的對角線長的求解，根據已知條件，構造向量，將幾何體的對角線長的求解轉化為向量模的運算，是解答本題的關鍵，屬于中檔題.4．D解析：D【分析】根據三棱柱的邊長和角度關系，設棱長為1，分別求得、、的數量積，并用表示出和，結合空間向量數量積的定義求得，再求得和，即可由向量的夾角公式求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】三棱柱中，底面邊長和側棱長都相等，，設棱長為1，則，，.，，所以而，，所以，故選：D.【點睛】本題考查了空間向量的線性運算，空間向量數量積的定義與運算，異面直線夾角的向量求法，屬于中檔題.5．D解析：D【詳解】由題設可得，則；，，則①正確；因，，故②正確；又因，而，所以，即③正確；又，則，而，故，也即④正確.故選：D．6．A解析：A【分析】根據空間向量的線性運算，得出，結合題意，即可求出，從而得出的值.【詳解】解：由空間向量的線性運算，得，由題可知，，則，所以，.故選：A.【點睛】本題考查空間向量的基本定理的應用，以及空間向量的線性運算，屬于基礎題.7．A解析：A【分析】根據題意，由正四面體的性質可得：，可得，由E是棱中點，可得，代入，利用數量積運算性質即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質可得：可得：是棱中點故選：【點睛】本題考查空間向量的線性運算，考查立體幾何中的垂直關系，考查轉化與化歸思想，屬于中等題型.8．C解析：C【分析】由題知，、、三個向量共面,則存在常數，使得，由此能求出結果.【詳解】因為，，，且、、三個向量共面,所以存在使得.所以，所以，解得.故選:C.【點睛】本題主要考查空間向量共面定理求參數，還運用到向量的坐標運算.9．B解析：B【分析】由題易知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，可知，進而可得的坐標，然后求得的表達式，求出最小值即可.【詳解】由題意可知，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，所以，，則，當時，取得最小值.故選：B.【點睛】本題考查兩個向量的數量積的應用，考查向量的坐標運算，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.10．A解析：A【分析】過作，交于點，設二面角的大小為，設與的夾角為，則，由向量數量積的運算律得出，由題意可得出，利用數量積的定義可求出的值，即可求出的值，進而利用同角三角函數的平方關系可求出的值.【詳解】如下圖所示，過作，交于點，設與的夾角為，則，記二面角的大小為，，即，即，，所以，即，故選：A．【點睛】本題考查異面直線所成角的計算，同時也考查了二面角的定義，涉及利用空間向量數量積的計算，考查計算能力，屬于中等題.11．D解析：D【分析】利用空間向量的加法和減法法則可將用、、表示.【詳解】，，.故選：D.【點睛】本題考查空間向量的基底分解，解題時要靈活利用空間向量加法和減法法則，考查計算能力，屬于中等題.12．C解析：C【分析】取AC的中點O，以為軸建立坐標系，求得向量的坐標，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由題意，取AC的中點O，以為軸建立坐標系，則，則，設AD與CE成的角為，則，故選：C.【點睛】本題主要考查了空間向量的應用，以及異面直線所成角的求解，其中解答中建立適當的空間直角坐標系，利用向量的夾角公式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.13．B解析：B【分析】在A中，取z軸的正方向向量，求出與的夾角即可判斷命題正確；在B中，計算，利用不等式求出最大值即可判斷命題錯誤；在C中，利用數量積求出與的夾角的最大值，即可判斷命題正確；在D中，利用不等式求出最大值即可判斷命題正確．【詳解】解：由向量，，其中，知：在A中，設z軸正方向的方向向量，向量與z軸正方向的夾角的余弦值：，∴向量與z軸正方向的夾角為定值45°（與c，d之值無關），故A正確；在B中，，且僅當a＝c，b＝d時取等號，因此的最大值為1，故B錯誤；在C中，由B可得：，，∴與的夾角的最大值為，故C正確；在D中，，∴ad?bc的最大值為1．故D正確．故選：B．【點睛】本題考查了空間向量的坐標運算、數量積的性質等基礎知識與基本技能方法，考查運算求解能力，是中檔題．二、填空題14．13【分析】根據面面垂直得線面垂直進而得再根據向量模的平方求得結果【詳解】因為平面平面所以因為所以故答案為：13【點睛】本題考查面面垂直性質定理利用空間向量求線段長考查基本分析論證與求解能力屬中檔題解析：13【分析】根據面面垂直得線面垂直，進而得,再根據向量模的平方求得結果.【詳解】因為平面平面，，,，所以，因為，所以，故答案為：13【點睛】本題考查面面垂直性質定理、利用空間向量求線段長，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.15．【分析】建立空間直角坐標系寫出的坐標寫出向量的坐標用兩向量的夾角公式求出余弦值【詳解】建立空間直角坐標系如圖所示則所以異面直線和所成角的余弦值等于故答案為：【點睛】本題考查異面直線所成的角屬于基礎題解析：【分析】建立空間直角坐標系，寫出的坐標，寫出向量的坐標，用兩向量的夾角公式求出余弦值.【詳解】建立空間直角坐標系，如圖所示則，，，所以異面直線和所成角的余弦值等于.故答案為：.【點睛】本題考查異面直線所成的角，屬于基礎題.16．【分析】利用空間向量的結論將垂直的問題轉化為向量數量積等于零的問題然后利用向量的數量積坐標運算計算的值即可【詳解】又即解得故答案為【點睛】本題主要考查空間向量的應用向量垂直的充分必要條件等知識意在考解析：【分析】利用空間向量的結論將垂直的問題轉化為向量數量積等于零的問題，然后利用向量的數量積坐標運算計算的值即可.【詳解】，，又，即，解得，故答案為.【點睛】本題主要考查空間向量的應用，向量垂直的充分必要條件等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.17．【分析】首先確定點的軌跡再求長度【詳解】在平面上取的中點則點的軌跡是正六邊形軌跡長度是正六邊形的周長故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是確定在平面上并能作出平面與正方體的交線解析：【分析】首先確定點的軌跡，再求長度.【詳解】，在平面上，取，，的中點，則點的軌跡是正六邊形，軌跡長度是正六邊形的周長，.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是確定在平面上，并能作出平面與正方體的交線.18．【分析】設0則由知所以由此能求出其最小值【詳解】設001-即（當時取最小值）故答案為：【點睛】方法點睛：求最值常用的方法有：（1）函數法；（2）數形結合法；（3）導數法；（4）基本不等式法要根據已知解析：【分析】設，0，，，，，則，，由，知．所以，由此能求出其最小值．【詳解】設，0，，，，，，0，，，1，-，，，，，即．，．（當時取最小值）故答案為：【點睛】方法點睛：求最值常用的方法有：（1）函數法；（2）數形結合法；（3）導數法；（4）基本不等式法.要根據已知條件靈活選擇方法求解.19．【分析】建立空間直角坐標系利用三點共線設出點P(λλ2﹣λ)0≤λ≤2以及Q(02μ)0≤μ≤2根據兩點間的距離公式以及配方法即可求解【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系設P(λλ2﹣λ)Q(02μ)解析：【分析】建立空間直角坐標系，利用三點共線設出點P(λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q(0，2，μ)，0≤μ≤2，根據兩點間的距離公式，以及配方法，即可求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，設P(λ，λ，2﹣λ)，Q(0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，可得PQ=，∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2，當且僅當λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0時，等號成立，此時λ=μ=1，∴當且僅當P?Q分別為AB?CD的中點時，PQ的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查空間向量法求兩點間的距離，將動點用坐標表示是解題的關鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題.20．168【分析】根據向量設列出方程組求得得到再利用向量的數量積的運算公式即可求解【詳解】由題意向量設又因為所以即解得所以所以故答案為：【點睛】本題主要考查了向量的共線的坐標運算以及向量的數量積的運算其解析：168【分析】根據向量，設，列出方程組，求得，得到，再利用向量的數量積的運算公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，設，又因為，所以，即，解得，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了向量的共線的坐標運算，以及向量的數量積的運算，其中解答中熟記向量的共線條件，熟練應用向量的數量積的運算公式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.21．①④【解析】則則直線與垂直故①正確則則或故②錯誤與不共線不成立故③錯誤點向量是平面的法向量即解得故④正確綜上所述其中真命題是①④點睛：本題主要考查的知識點是命題的真假判斷與應用①求數量積利用數量積進解析：①④【解析】，，則則，直線與垂直，故①正確，，則則，或，故②錯誤，，與不共線，不成立，故③錯誤點，，，向量是平面的法向量，即，解得，故④正確綜上所述，其中真命題是①，④點睛：本題主要考查的知識點是命題的真假判斷與應用．①求數量積，利用數量積進行判斷，②求數量積，利用數量積進行判斷，③求利用與的關系進行判斷，④利用法向量的定義判斷，即可得到答案．22．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【詳解】即故答案為：【點睛】本題主要考查了用空間基底表示向量屬于中檔題解析：【分析】利用向量的加法公式得出，再由，得出的值，即可得出的和.【詳解】即故答案為：【點睛】本題主要考查了用空間基底表示向量，屬于中檔題.23．【分析】由題意畫出圖形分別過作底面的垂線垂足分別為根據可知線段長度的最大值或最小值取決于的長度而即可分別求出的最小值與最大值【詳解】如圖所示：分別過作底面的垂線垂足分別為由已知可得∵而∴當所在平面與解析：【分析】由題意畫出圖形，分別過作底面的垂線，垂足分別為，，根據可知，線段長度的最大值或最小值取決于的長度，而，即可分別求出的最小值與最大值．【詳解】如圖所示：分別過作底面的垂線，垂足分別為，．由已知可得，，，，．∵，而，∴當，所在平面與垂直，且在底面上的射影，，在點同側時，長度最小，此時，最小為；當，所在平面與垂直，且在底面上的射影，，在點異側時，長度最大，此時，最大為．∴線段長度的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題主要考查直線與平面所成的角的定義以及應用，向量數量積的應用，意在考查學生的直觀想象能力，邏輯推理能力和數學運算能力，屬于