第33屆全國中學生物理競賽決賽模考訓練01第01題拉繩子如圖，一個半徑為r的剛性圓柱體，軸線沿水平面放置，表面摩擦系數為卩。一根細長的柔軟的不可伸長的繩子掛在上面，兩端保持在豎直平面，沿著于水平方向夾角為e方向拉緊，發現拉緊后不論給多大拉力都無法拉動繩子，形成自鎖。（1） 求e的取值范圍（2） 令e取到上一文的臨界角，即將滑動的時候，建立極坐標，以軸線方向為z坐標，以繩子最方向點所在平面為Z=0，以圓柱半徑方向為P方向，以繩子最上方點為a=0方向，用Z,P,a之間的關系，寫下繞在圓柱上的繩子的軌跡。第02題夜觀天象在觀測一個距離我們25光年的星系的時候，發現如下現象。正常情況下望遠鏡受到星光的能流密度為Y=2.38xl0-9js-im-2，每過工=1.72y（1.72年），星光變弱一次。其中奇數0次星光強度變弱成為原來的96.0%，偶數次星光強度變為原來的15.3%。每次先經過t=8.50h星光逐漸變暗，然后穩定一段時間，再經過相同的時候逐漸變量，整個過程持續2t=25.08h。檢測星光中氫元素的吸收譜線，發現原來的一條譜線分裂成為兩支，每支都1隨時間發生周期性的頻率移動，周期均為3.44y，相對中心頻率，其中一支頻率最大相對變化量為5.20x10-6，另一支為6.24x10-5。已知萬有引力常數G=6.67x10-nNkgim2，黑體輻射的斯特潘常數為b=5.67x10-sK-4m-2Js-1，光速為2.998x108ms-1。（1） 根據以上現象，簡單描述上述星系最可能的圖像，以及星系中的星體的至少7個獨立參數。（2） 計算說命上述星系中是否可能存在溫度適宜人類殖民的行星。

第03題壁球如圖一個壁球表面幾乎是剛性的，半徑為r,質心距離球心r=0.5r，球繞質心的轉動慣量c為I=mr2。初態壁球以如圖中角度，以速度v撞向地面，地面是完全彈性的，即反彈后相0對地面法向速度分量恰好反向。(1)若地面是光滑的，求反彈后質心速度大小(2)若地面摩擦系數為卩，求反彈后質心的速度方向第04題如圖一個邊長為l的正四面體，每條棱上的電阻為R，四面體體心為H，從H到四個頂點連有四個大小為C的電容。四面體放在水平面上，如圖底面中心為坐標軸原點O。t<0時，空間中有指向x方向的均勻的不隨時間變化的磁場，電容上電量為0。t>0后，勻強磁場B=B(coswt-x+sinwt-y)。(1)求t略大于0時刻，AD和AB上的電流大小。第05題GoosHachen效應實際光波不是無窮長波列，也不是單一頻率，而是由中心頻率附近的不同頻率的光疊加，形成的有限長的波列。我們用頻率為?和?+ 的兩種頻率的光線來模擬這一效果。在介質中頻率和波矢的關系為k(①)。設頻率為?和?+的兩種頻率的光線沿著x正方向軸傳播，波函數寫為U=Ucos(kx—?t)和U=Ucos((k+dk)x一(3+d?)t)。假設為線性介質，寫出疊加10207d①的波形隨位置和時間的變化關系，并用①,k, 表達等相位點傳播速度，即相速度v和等dk p振幅點傳播速度，即群速度v。g假設頻率為?的光線以入射角0從折射率為n的介質射向折射率為n的介質，入射112點為坐標原點。由于入射光并不是嚴格以角度入射，而是由在附近角度的平面波疊加11形成，因而在x軸上光的振幅構成波包。我們用角度0和0+d0的兩束光線疊加來模擬這111一情景。假設兩束光在原點處的相位都為0,寫下在x軸上的波形疊加的形式。n接上一文，當入射角0>arcsm—的時候，形成全反射，折射角0滿足1 n 21.八nsin0 - 八匚 :—nsin0￥4sin0= 1>1，cos0=J1—sm20=一2』 1 -1為虛數(負號源于對上面2n 2 、 2譏n丿227對相位的定義，暫時不用管為什么)。以垂直于入射光和法線所在平面的偏振光為例，反射一 ncos0一ncos0光的振幅和入射光的振幅的比值為r=1 12 2。這樣不同角度光線的反射光的ncos0+ncos01 12 2相位可能不同。寫下反射光線于入射光線的相位差與入射角之間的關系§(0)接上兩問，寫出反射波波包中心，即振幅最強點相對入射光線的位移A(0)，這一效應被稱為GoosHachen效應

第06題Maxwell-Boltzman分布率考慮一個質量為m的粒子在一維勢阱V(X)二2kx2中運動，溫度為T保持熱平衡。已經粒子滿足Maxwell-Boltzman分布，即一個粒子在能量為E的狀態出現的概率為Ae-ent，其中A為常數，1E二一A為常數，1E二一mv2+V(x)2已知We-ax2dx='o 2JaI8xe-aX2dx=-；0 2aIsx2e-ax2dx=04a3/2(1)求這個粒子在位置x□x+dx范圍內出現的概率dp=f(x)dx。求這個粒子的位移平方的平均值x2。假設有兩個這樣的粒子，之間沒有相互作用，求兩個粒子之間相對位移的平方的平均值(x-x)2121假設有兩個這樣的粒子，之間的相互作用勢能為三k(x-x)2，求在位置x□x+dx范212圍內出現的第一個粒子的概率dp=f(x)dx接上一問，求兩個粒子之間相對位移的平方的平均值(x-x)212第07題勻加速的火車記地面參照系為S，在t=0時刻，火車的左端記為L，在x=0處,火車右端記為R，在x=l處。左右兩端在地面參照系中勻加速向右運動，加速度大小為0(t<c/a)。在t時刻，存在一個相對地面勻速向右運動的參照系S'，這個參照系中，火車的左端此時恰好在原點，且速度為0。這個參照系被稱為火車左端的瞬時靜止系。就在這個參照系中，此時火車的瞬時加速度a'。對于火車左端，不同時刻的瞬時靜止系是不同的。定義火車左端的本征時dx等于在這一小段時間對應的瞬時靜止系中流逝的時間。定義t=0，x=0事件對應的火車左端的本征時為0。以本征時x為參數，寫出火車左端世界線，即ct(x)和x(x)。定義火車右端t=