第7講直線的交點坐標與距離公式【知識點梳理】知識點一：線段中點坐標公式若點的坐標分別為且線段的中點的坐標為，則，此公式為線段的中點坐標公式．知識點二：兩點間距離設，則知識點三點到直線距離設，，則點到直線的距離．知識點四兩平行線間距離，，則的距離為．知識點五雙根式雙根式型函數求解，首先想到兩點間的距離，或者利用單調性求解．知識點六：兩條直線的交點坐標(1)兩條直線的交點坐標一般地，將兩條直線的方程聯立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.題型目錄：題型一：兩直線的交點問題題型二：直線的三種距離問題題型三：交點和距離在幾何中的綜合運用【典型例題】題型一：兩直線的交點問題【例1】（哈爾濱）直線x－2y＋3＝0與2x－y＋3＝0的交點坐標為（）A．(－1，1) B．(1，－1)C．(1，1) D．(－1，－1)【例2】（貴州黔東南苗族侗族自治州·凱里一中高二期末（理））斜率為2，且過直線和直線交點的直線方程為（）A． B． C． D．【例3】（2022·全國·高二課時練習）若直線與直線的交點在第一象限內，則實數k的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【例4】（全國高二課時練習（多選））當0＜k＜時，直線l1：kx－y－k＋1＝0與直線l2：ky－x－2k＝0的交點可能是（）A．(2，3)B．(1，2)C．D．【題型專練】1.（2022·內蒙古赤峰·高二期末（理））已知直線，，則過和的交點且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．2.（2022·全國·高二專題練習）直線與直線的交點在第四象限，則實數的取值范圍為____．3.（2022·全國·高二專題練習）已知直線和相交，且交點在第二象限，則實數的取值范圍為____．4.（河北唐山市·高二期末）過點和點的直線與直線垂直，則（）A． B．4 C． D．25.（全國高二課時練習(多選)）已知三條直線x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5相交于一點，則k的值為（）A．－ B．－1 C．1 D．6．（全國高二專題練習）若直線l1：y＝kx＋1與l2：x－y－1＝0的交點在第一象限內，則k的取值范圍是（）A．(1，＋∞) B．(－1，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)題型二：直線的三種距離問題【例1】（安徽池州市·高二期末（理））若直線與交于點A，且，則___________．【例2】（浙江高二期末）點到直線的距離為【例3】（2022·全國·高二課時練習）已知兩直線與，則與間的距離為（

）A． B． C． D．【例4】（浙江）已知直線恒經過定點，則點到直線的距離是（）A．6 B．3 C．4 D．7【例5】（2022·全國·高二課時練習）已知，兩點到直線的距離相等，則實數a的值為（

）A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3【例6】（2022·陜西咸陽·高一期末）已知直線（）與直線互相平行，且它們之間的距離是，則______.【題型專練】1.（江西）若直線x＋3y－9＝0與直線x＋3y－c＝0的距離為，則c的值為（）A．－1 B．19C．－1或19 D．1或－192．（2022·全國·高二課時練習）已知平面上一點，若直線上存在點這使，則稱該直線為“切割型直線”.給出直線：①；②；③，其中是“切割型直線”的是（

）A．②③ B．① C．①② D．①③3．（全國高二專題練習）點P在直線x＋y－4＝0上，O是坐標原點，則|OP|的最小值為（）A．B．2C．D．25．（全國高二課時練習）在直線上求點，使點到的距離為，則點坐標是（）A． B． C．或 D．或6.（湖南）過點和的直線與直線平行，則的值為_______．7．（全國高二課時練習）兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________.8．（全國高二專題練習）已知，到直線的距離相等，則實數a為________.題型三：交點和距離在幾何中的綜合運用【例1】（2022·上海·高三專題練習）若動點?分別在直線和上移動，則的中點到原點距離的最小值為（

）A． B． C． D．【例2】（2022·全國·高二課時練習）已知平面上一點，若直線上存在點P使，則稱該直線為“切割型直線”．下列直線是“切割型直線”的是（

）A． B． C． D．【例3】（2022·重慶八中高一期末）設，已知直線，過點作直線，且，則直線與之間距離的最大值是______．【例4】（全國高二專題練習）已知△ABC的三個頂點坐標分別是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．（1）判斷△ABC的形狀；（2）求△ABC的面積．【例5】（沈陽市·遼寧實驗中學高二期末）已知直線l過點P(2，3)且與定直線l0：y=2x在第一象限內交于點A，與x軸正半軸交于點B，記的面積為S(為坐標原點)，點B(a，0).（1）求實數a的取值范圍；（2）求當S取得最小值時，直線l的方程.【題型專練】1.（2022·全國·高二課時練習）若直線m經過直線與直線的交點，且點到直線m的距離為1，則直線m的方程為________．2.（2022·全國·高二專題練習）兩條平行線分別過點，它們分別繞旋轉，但始終保持平行，則之間距離的取值范圍是____．3.（全國高二課時練習（多選））已知直線，，，以下結論正確的是（）A．不論為何值時，與都互相垂直；B．當變化時，與分別經過定點和C．不論為何值時，與都關于直線