1．3.2球的體積和表面積●三維目標1．知識與技能(1)了解球的表面積與體積公式(不要求記憶公式)．(2)培養學生空間想象能力和思維能力．2．過程與方法通過作軸截面，尋找旋轉體類組合體中量與量之間的關系．3．情感、態度與價值觀讓學生更好地認識空間幾何體的結構特征，培養學生學習的興趣．●重點難點重點：球的表面積與體積的計算．難點：簡單組合體的體積計算．重難點突破：以教材例題、習題為載體，通過題組訓練，讓學生熟悉并掌握球的表面積與體積公式；對于簡單組合體的體積計算問題，可結合簡單組合體的概念，采用分割求和的方式給予突破．●教學建議結合本節知識的特點，教學時教師可采用開門見山的方式，直接給出球的表面積及體積公式，對公式的推導及證明不必拓展補充；在此基礎上，通過題目訓練，使學生熟練掌握公式間的內在關系即可．●教學流程直接給出球的表面積及體積的運算公式．?eq\x(通過例1及其變式訓練，使學生掌握球的表面積及體積公式.)?通過例2及其變式訓練，使學生掌握與球的截面有關的球的體積、表面積計算問題．課標解讀1.了解并掌握球的體積和表面積公式．(易混點)2．會用球的體積與表面積公式解決實際問題．(重點)3．會解決球的組合體及三視圖中球的有關問題．(難點)球的表面積與體積球的表面積與體積公式eq\x(球半徑為R)表面積公式S＝4πR2體積公式V＝eq\f(4,3)πR3球的表面積與體積(2013·昭通高一檢測)一個球的表面積是16π，則它的體積是()A．64πB.eq\f(64π,3)C．32πD.eq\f(32,3)π【思路探究】表面積→球的半徑→球的體積【自主解答】設球的半徑為R，則由題意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半徑為2，體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.【答案】D球的表面積與體積的大小，只與球的半徑有關，故充分利用題設條件求解球半徑的大小，是解答此類問題的關鍵．把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴大到原來的()A．2倍 B．2eq\r(2)倍C.eq\r(2)倍 D.eq\r(3,2)倍【解析】設球變化前后的半徑分別為r與r′，由已知得：4πr′2＝2·4πr2，∴r′＝eq\r(2)r，∴V′＝eq\f(4,3)πr′3＝2eq\r(2)·eq\f(4,3)πr3＝2eq\r(2)V，即體積變為原來體積的2eq\r(2)倍．【答案】B球的截面問題一個球內有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積．【思路探究】eq\x(兩截面圓的面積)→eq\x(兩截面圓的半徑)eq\o(→,\s\up12(解直角三角形))eq\x(球的半徑)【自主解答】(1)當截面在球心的同側時，如圖(1)所示為球的軸截面，由截面性質知AO1∥BO2，O1，O2為兩截面圓的圓心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，設球的半徑為R，∵πO2B2＝49π，∴O2B＝7cm，同理得：O1A＝20cm.設OO1＝x，則OO2＝(x＋9)cm，在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②聯立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500πcm2，故球的表面積為2500πcm2.(2)當截面在球心的兩側時，如圖(2)所示為球的軸截面，由球的截面性質知，O1A∥O2B，且O1，O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.設球的半徑為R，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7cm.∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20cm.設O1O＝xcm，則OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合題意，舍去．綜上所述，球的表面積為2500πcm2.1．本題在求解過程中，常因漏掉兩截面位于圓心兩側的情況而失分．2．有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉化為平面中圓的有關問題解決．已知半徑為5的球的兩個平行截面圓的周長分別為6π和8π，則這兩個截面間的距離為________．【解析】若兩個平行截面在球心同側，如圖(1)，則兩個截面間的距離為eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；若兩個平行截面在球心異側，如圖(2)，則兩個截面間的距離為eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.【答案】1或7根據三視圖計算球的體積與表面積某個幾何體的三視圖如圖1－3－11所示(單位：m)．(1)求該幾何體的表面積；(2)求該幾何體的體積．圖1－3－11【思路探究】本題條件中給出的是幾何體的三視圖及數據，解題時要先根據俯視圖來確定幾何體的上、下部分形狀，然后根據側視圖與正視圖確定幾何體的形狀，并根據有關數據計算．【自主解答】由三視圖可知，此幾何體是一個半徑為1的半球和一個棱長為2的正方體組成．(1)S＝S半球＋S正方體表面積－S圓＝eq\f(1,2)×4π×12＋6×2×2－π×12＝24＋π(m2)(2)V＝V半球＋V正方體＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＋23＝8＋eq\f(2,3)π(m3)1．本題(1)在求解時，常因忘記去除“半球同正方體的重疊部分”而使所求表面積變大．2．由三視圖求簡單組合體的表面積或體積時，最重要的是還原組合體，并弄清組合體的結構特征和三視圖中數據的含義，根據球與球的組合體的結構特征及數據計算其表面積或體積．3．計算球與球的組合體的表面積與體積時要恰當地分割與拼接，避免重疊和交叉等．一個幾何體的三視圖如圖1－3－12所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.圖1－3－12【解析】由三視圖知，幾何體下面是兩個球，球半徑為eq\f(3,2)；上面是長方體，其長、寬、高分別為6、3、1，所以V＝eq\f(4,3)π×eq\f(27,8)×2＋1×3×6＝9π＋18.【答案】18＋9π與球相關的“切”“接”問題(12分)有三個球，第一個球內切于正方體的六個面，第二個球與這個正方體的各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比．【思路點撥】作出三個幾何體的截面圖，分別求出三個球的半徑．【規范解答】設正方體的棱長為a.(1)正方體的內切球球心是正方體的中心，切點是六個面(正方形)的中心，經過四個切點及球心作截面，如圖(1)，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2.4分(2)球與正方體各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面，如圖(2)，所以有2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2.7分(3)正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖(3)，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2.10分綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶1．解決此類問題的關鍵是根據“切點”和“接點”，作出軸截面圖，從而把空間問題平面化．2．常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：eq\x(幾何體與球的切、接問題)eq\x(內切球)eq\x(找過切點和球心的截面)eq\x(體積法)eq\x(外接球)eq\x(由球心和幾何體頂點抽象得出新幾何體)eq\x(找過球心的截面)3．球與其他幾何體切接問題一般有下列結論：(1)長方體的8個頂點在同一球面上，則長方體的體對角線是球的直徑；(2)球與正方體的六個面均相切，則球的直徑等于正方體的棱長；(3)球與正方體的12條棱均相切，則球的直徑是正方體的面對角線．(4)球與圓柱的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑．(5)球與圓臺的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓臺的高．1．球的表面積、體積基本性質是解決有關問題的重要依據，它的軸截面圖形，球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離所構成的直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要方法．2．與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖．1．直徑為6的球的表面積和體積分別是()A．36π，144πB．36π，36πC．144π，36π D．144π，144π【解析】球的半徑為3，表面積S＝4π·32＝36π，體積V＝eq\f(4,3)π·33＝36π.【答案】B2．若將氣球的半徑擴大到原來的2倍，則它的體積增大到原來的()A．2倍 B．4倍C．8倍 D．16倍【解析】設氣球原來的半徑為r，體積為V，則V＝eq\f(4,3)πr3，當氣球的半徑擴大到原來的2倍后，其體積變為原來的23＝8倍．【答案】C3．一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，球心到這個平面的距離是4cm，則該球的體積是()A.eq\f(100π,3)cm3 B.eq\f(208π,3)cm3C.eq\f(500π,3)cm3 D.eq\f(416\r(13π),3)cm3【解析】根據球的截面性質，有R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(32＋42)＝5，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π(cm3)．【答案】C4．將一鋼球放入底面半徑為3cm的圓柱形玻璃容器中，水面升高了4cm，求鋼球的半徑．【解】圓柱形玻璃容器中水面上升了4cm，則知鋼球的體積V＝π·32·4＝36π.設鋼球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝36π，∴R＝3cm.所以鋼球的半徑為3cm.一、選擇題1．(2013·武威高一檢測)球的體積與其表面積的數值相等，則球的半徑等于()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．3【解析】設球的半徑為R，則由題意可知eq\f(4,3)πR3＝4πR2，∴R＝3.【答案】D2．(2013·臨沂高一檢測)設正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)πD．32eq\r(3)π【解析】由題意可知，6a2＝24，∴a＝2.設正方體外接球的半徑為R，則eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.【答案】C3．(2012·全國高考)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π【解析】如圖，設截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半徑為eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.【答案】B4．把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為()A．RB．2RC．3RD．4R【解析】設圓柱的高為h，則πR2h＝3×eq\f(4,3)πR3，∴h＝4R.【答案】D5．(2013·日照高一檢測)如圖1－3－13是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()圖1－3－13A．9π＋42B．36π＋18C.eq\f(9,2)π＋12D.eq\f(9,2)π＋18【解析】由三視圖可知該幾何體是一個長方體和球構成的組合體，其體積V＝eq\f(4,3)π(eq\f(3,2))3＋3×3×2＝eq\f(9,2)π＋18.【答案】D二、填空題6．已知一個球的體積為eq\f(4,3)π，則此球的表面積為________．【解析】設球的半徑為R，則V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π，∴R＝1，∴球的表面積S＝4π.【答案】4π7．已知長方體的8個頂點在同一個球面上，且長方體的對角線長為4，則該球的體積是________．【解析】長方體的對角線即為球的直徑，∴2R＝4，∴R＝2，∴該球的體積V＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π.【答案】eq\f(32π,3)圖1－3－148．圓柱形容器內盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖1－3－14所示)，則球的半徑是________cm.【解析】設球的半徑為r，則圓柱形容器的高為6r，容積為πr2×6r＝6πr3，高度為8cm的水的體積為8πr2,3個球的體積和為3×eq\f(4,3)πr3＝4πr3，由題意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4cm.【答案】4三、解答題圖1－3－159．(2013·鄭州高一檢測)如圖1－3－15，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎？請用你的計算數據說明理由．【解】因為V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160,3)π(cm3)，因為V半球<V圓錐，所以，冰淇淋融化了，不會溢出杯子．10．據說偉大的阿基米德死了以后，敵軍將領馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個如圖1－3－16所示的圖案，圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．試計算出圖形中圓錐、球、圓柱的體積比．圖1－3－16【解】設圓柱的底面半徑為r，高為h，則V圓柱＝πr2h，由已知知圓錐的底面半徑為r，高為h，∴V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h，球的半徑為r，∴V球＝eq\f(4,3)πr3.又h＝2r，∴V圓錐∶V球∶V圓柱＝(eq\f(1,3)πr2h)∶(eq\f(4,3)πr3)∶(πr2h)＝(eq\f(2,3)πr3)∶(eq\f(4,3)πr3)∶(2πr3)＝1∶2∶3.圖1－3－1711．(思維拓展題)如圖1－3－17所示，半徑為R的半圓內的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積．(其中∠BAC＝30°)【解】如圖所示，過C作CO1⊥AB于O1.在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R，∴S球＝4πR2，S圓錐AO1側＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R＝eq\f(3,2)πR2，S圓錐BO1側＝π×eq