吉林省長春市力旺實驗中學2023-2024學年九年級上學期開學數學試卷一、選擇題（每題3分，共24分）1．（3分）分式有意義的條件是（）A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝02．（3分）下列各點中，位于第二象限的是（）A．（﹣3，2） B．（2，5） C．（5，﹣2） D．（﹣5，﹣5）3．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，下列可添加的條件不正確的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C4．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣4）＝x﹣4的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1，x＝4 D．x＝﹣2，x＝45．（3分）若直線l與直線y＝2x﹣3關于y軸對稱，則直線l的解析式是（）A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣36．（3分）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，交AC于點E．若AD＝2，BD＝3，則（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，且有一點P從B點沿著BD往D點移動，若過P點作AB的垂線交AB于E點，則EF的長度最小為多少（）A． B． C．5 D．78．（3分）反比例函數的圖象如圖所示，則k的值可能是（）A．5 B．12 C．﹣5 D．﹣12二、填空題（每題3分，共18分）9．（3分）關于x的方程x2﹣5x+1＝0的根的判別式的值為．10．（3分）如圖，將四根長度相等的細木條首尾相連，用釘子釘成四邊形ABCD，∠A＝120°，則A．11．（3分）當﹣2＜x≤0時，y與x的函數解析式為，則y的范圍是．12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6．點F是AB中點，連接CF，點D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區域形成的四邊形CFDE的面積為．13．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點E為BA延長線上一點，以B為圓心，BF長為半徑的圓弧過AD與CE的交點G，CE＝10，則AG＝．14．（3分）如圖，點A（2，2）在雙曲線y＝（x＞0）上，交雙曲線于點C．若BC＝2，則點C的坐標是．三、解答題（共78分）15．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝．16．（6分）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，C為圓心，，長為半徑畫弧，連接BP，CP．（1）試判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由；（2）當?ABCD的對角線滿足時，四邊形BPCO是菱形．17．（6分）為加快公共領域充電基礎設施建設，某停車場計劃購買A，B兩種型號的充電樁．已知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元，B兩種型號充電樁的單價各是多少？18．（7分）在如圖所示的正方形網格中，小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，B，C，D均在格點上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，按要求畫圖，要求保留必要的作圖痕跡（1）在圖①中，以線段AD為邊畫一個△ADE，使它與△ABC相似；（2）如圖②，在線段AB上找一個點P，使BP＝3；（3）如圖③，在線段AC上找一點E，連接BE，使△ABE∽△CDE．19．（7分）如圖，反比例函數y＝（k≠0）的圖象與正比例函數y＝2x的圖象相交于A（1，a），點C在第四象限，BC∥x軸．（1）求k的值；（2）以AB、BC為邊作菱形ABCD，求D點坐標及菱形的面積．20．（7分）如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，其中AB＝30米，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，求△APQ的面積．21．（8分）A，B兩地相距60km，甲、乙兩人從兩地出發相向而行1，l2表示兩人離A地的距離s（km）與時間t（h）的關系（1）表示乙離A地的距離與時間關系的圖象是（填l1或l2）；甲的速度是km/h，乙的速度是km/h；（2）甲出發多少小時兩人恰好相距5km？22．（9分）在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式——利用函數圖象研究其性質——運用函數解決問題”的學習過程．在畫函數圖象時，我們通過描點連線或平移的方法畫出函數圖象．結合上面經歷的學習過程（1）當x＝1時，y＝0；當x＝3時；則a＝，b＝．（2）在（1）的條件下，①在給出的平面直角坐標系中畫出該分段函數圖象；②若該分段函數圖象上有兩點A（m，y1），B（4，y2），且y1＜y2，則m的取值范圍；③直線y＝k與該分段函數的圖象有2個交點，則k的取值范圍是．23．（10分）閱讀下面材料：小昊遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，BE是AC邊上的中線，＝，AD與BE相交于點P，求的值．小昊發現，過點C作CF∥AD，交BE的延長線于點F，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．請回答：的值為．參考小昊思考問題的方法，解決問題：（1）如圖3，在△ABC中，點D在BC的延長線上，，且．求的值；（2）如圖4，在△ABC中，點D在BC的延長線上，，且，直接寫出的值為．24．（12分）如圖①，在正方形ABCD中，AB＝4．點P從點D出發，同時點Q從點B出發，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動．當點P不與點D、B重合時，連結PP'、P′Q、PQ．設點P的運動時間為t秒．?（1）當PQ∥AB時，求t的值；（2）當點P′與點Q重合時，求t的值；（3）當P′Q＝1時，t的值為；（4）如圖②，點E為PQ中點，連接P′E，則t的值為．答案解析一、選擇題（每題3分，共24分）1．（3分）分式有意義的條件是（）A．x≠1 B．x＝1 C．x≠0 D．x＝0【分析】根據分式有意義的條件是分母不等于零可得答案．【解答】解：由題意得：x﹣1≠0，解得：x≠4，故選：A．【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，關鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．2．（3分）下列各點中，位于第二象限的是（）A．（﹣3，2） B．（2，5） C．（5，﹣2） D．（﹣5，﹣5）【分析】直接利用各象限內點的坐標特點分析得出答案．【解答】解：A、（﹣3，符合題意；B、（2，不符合題意；C、（3，不符合題意；D、（﹣5，不符合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了點的坐標，解題的關鍵是正確掌握各象限內點的坐標特點．3．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，下列可添加的條件不正確的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C【分析】根據平行四邊形的判定方法，逐項判斷即可．【解答】解：A、當AB∥CD，四邊形ABCD可能為等腰梯形；B、AB∥CD，一組對邊分別平行且相等；C、AB∥CD，兩組對邊分別平行；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形；故選：A．【點評】本題主要考查平行四邊形的判定方法，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．4．（3分）一元二次方程（x+2）（x﹣4）＝x﹣4的解是（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝﹣1，x＝4 D．x＝﹣2，x＝4【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：∵（x+2）（x﹣4）＝x﹣4，∴（x+2）（x﹣4）﹣（x﹣5）＝0，則（x﹣4）（x+7）＝0，∴x﹣4＝7或x+1＝0，解得x5＝4，x2＝﹣2，故選：C．【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．5．（3分）若直線l與直線y＝2x﹣3關于y軸對稱，則直線l的解析式是（）A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝2x+3 D．y＝2x﹣3【分析】利用關于y軸對稱的點的坐標為橫坐標互為相反數，縱坐標不變解答即可．【解答】解：與直線y＝2x﹣3關于y軸對稱的點的坐標為橫坐標互為相反數，縱坐標不變，則y＝3（﹣x）﹣3，即y＝﹣2x﹣3．所以直線l的解析式為：y＝﹣2x﹣3．故選：B．【點評】此題主要考查了一次函數的圖象與幾何變換，利用軸對稱變換的特點解答是解題關鍵．6．（3分）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，交AC于點E．若AD＝2，BD＝3，則（）A． B． C． D．【分析】由DE∥BC，利用平行線分線段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出結論．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故選：A．【點評】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例”是解題的關鍵．7．（3分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，且有一點P從B點沿著BD往D點移動，若過P點作AB的垂線交AB于E點，則EF的長度最小為多少（）A． B． C．5 D．7【分析】連接AP、EF，依據PE⊥AB，PF⊥AD，∠A＝90°，可得四邊形AEPF為矩形，借助矩形的對角線相等，將求EF的最小值轉化成AP的最小值，再結合垂線段最短，將問題轉化成求Rt△BAD斜邊上的高，利用面積法即可得解．【解答】解：如圖，連接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．∴四邊形AEPF為矩形．∴AP＝EF．∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．∵點P從B點沿著BD往D點移動，∴當AP⊥BD時，AP取最小值．下面求此時AP的值，在Rt△BAD中，∵∠BAD＝90°，AB＝6，∴BD＝＝＝＝10．∵S△ABD＝＝，∴AP＝＝＝．∴EF的長度最小為：．故本題選B．【點評】本題考查了矩形的判定與性質、垂線段最短及面積法求直角三角形斜邊上的高，需要熟練掌握并靈活運用．8．（3分）反比例函數的圖象如圖所示，則k的值可能是（）A．5 B．12 C．﹣5 D．﹣12【分析】直接利用反比例函數的圖象上點的坐標特點得出k的取值范圍，進而得出答案．【解答】解：如圖所示：A（﹣3，3），﹣7）都不在反比例函數圖象上，則﹣3×3＜k＜8×（﹣2），即﹣9＜k＜﹣7，故k的值可能是﹣5．故選：C．【點評】此題主要考查了反比例函數的圖象，正確得出k的取值范圍是解題關鍵．二、填空題（每題3分，共18分）9．（3分）關于x的方程x2﹣5x+1＝0的根的判別式的值為21．【分析】直接計算b2﹣4ac即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×7×1＝21．故答案為：21．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式為Δ＝b2﹣4ac．10．（3分）如圖，將四根長度相等的細木條首尾相連，用釘子釘成四邊形ABCD，∠A＝120°，則A2．【分析】連接AC，證四邊形ABCD是菱形，得∠BAC＝∠BAD＝60°，再證△ABC是等邊三角形，得AC＝AB＝2，即可得出結論．【解答】解：如圖，連接AC，∵將四根長度相等的細木條首尾相連，用釘子釘成四邊形ABCD，∴AB＝BC，四邊形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝3，即A，C兩點間的距離為2，故答案為：2．【點評】本題考查了菱形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．11．（3分）當﹣2＜x≤0時，y與x的函數解析式為，則y的范圍是0≤y＜3．【分析】代入x＝﹣2及x＝0，求出y值，進而可得出y的范圍．【解答】解：當x＝﹣2時，y＝﹣；當x＝0時，y＝﹣，∴當﹣2＜x≤0時，y的范圍是3≤y＜3．故答案為：0≤y＜6．【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征以及正比例函數的性質，牢記“直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式y＝kx+b”是解題的關鍵．12．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6．點F是AB中點，連接CF，點D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區域形成的四邊形CFDE的面積為12．【分析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長，再根據平移的性質可得：DF∥EC，DF＝EC，從而可得四邊形DFCE是平行四邊形，然后利用平行線分線段成比例可得點D是AC的中點，從而可得DF是△ACB的中位線，進而可得DF＝BC＝3，最后利用平行四邊形的面積公式進行計算，即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，∴AC＝＝＝8，由平移得：DF∥EC，DF＝EC，∴四邊形DFCE是平行四邊形，∵點F是AB中點，∴點D是AC的中點，∴DF是△ACB的中位線，∴DF＝BC＝3，∵點D是AC的中點，∴DC＝AC＝4，∴四邊形CFDE的面積＝DF?CD＝7×4＝12，故答案為：12．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，三角形的中位線定理，平移的性質，熟練掌握三角形的中位線定理，以及平移的性質是解題的關鍵．13．（3分）如圖，在矩形ABCD中，點E為BA延長線上一點，以B為圓心，BF長為半徑的圓弧過AD與CE的交點G，CE＝10，則AG＝3．【分析】由直角三角形的性質可求BF＝5，由勾股定理可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAC＝90°，∵CE＝10，F為CE的中點，∴BF＝CE＝3，∴BF＝BG＝5，∴AG＝＝＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了矩形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．14．（3分）如圖，點A（2，2）在雙曲線y＝（x＞0）上，交雙曲線于點C．若BC＝2，則點C的坐標是（，2）．【分析】由題意，點A（2，2），則∠AOx＝45°，同時可得雙曲線解析式，再作CH⊥x軸，作BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再結合雙曲線解析式可以得解．【解答】解：∵點A（2，2）在雙曲線y＝，∴5＝．∴k＝4．∴雙曲線解析式為y＝．如圖，作AD⊥x軸，作BG⊥CH、H、G．∵A（2，2），∴AD＝OD．∴∠AOD＝45°．∴∠AOB＝45°．∵OA∥BC，∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．∴∠CBG＝∠BCG．∵BC＝6，∴BG＝CG＝．∴C點的橫坐標為．又C在雙曲線y＝上，∴C（，2）．故答案為：（，2）．【點評】本題考查了反比例函數的圖象與性質的應用，需要熟練掌握并理解．三、解答題（共78分）15．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝．【分析】根據分式的運算法則進行化簡，然后將x的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝，當時，原式＝．【點評】本題考查分式的運算，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．16．（6分）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，C為圓心，，長為半徑畫弧，連接BP，CP．（1）試判斷四邊形BPCO的形狀，并說明理由；（2）當?ABCD的對角線滿足AC＝BD時，四邊形BPCO是菱形．【分析】（1）由平行四邊形的性質得出OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，證出OB＝CP，BP＝OC，則可得出結論；（2）由菱形的判定可得出結論．【解答】解：（1）四邊形BPCO為平行四邊形．理由：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OC＝OA＝ACBD，∵以點B，C為圓心，，BD長為半徑畫弧，∴OB＝CP，BP＝OC，∴四邊形BPCO為平行四邊形；（2）當AC＝BD時，四邊形BPCO為菱形．∵AC＝BD，OB＝，OC＝，∴OB＝OC，∵四邊形BPCO為平行四邊形，∴四邊形BPCO為菱形．故答案為：AC＝BD．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，正方形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．17．（6分）為加快公共領域充電基礎設施建設，某停車場計劃購買A，B兩種型號的充電樁．已知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元，B兩種型號充電樁的單價各是多少？【分析】設A型充電樁的單價為x萬元，則B型充電樁的單價少（x+0.3）萬元，根據“用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數量相等”列出分式方程，求解即可．【解答】解：設A型充電樁的單價為x萬元，則B型充電樁的單價少（x+0.3）萬元，根據題意得＝，解得x＝0.4，經檢驗x＝0.9是原方程的解，x+2.3＝1.2．答：A型充電樁的單價為0.9萬元，則B型充電樁的單價為4.2萬元．【點評】本題考查了分式的應用解題的關鍵是找準等量關系，正確列出分式方程．18．（7分）在如圖所示的正方形網格中，小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，B，C，D均在格點上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，按要求畫圖，要求保留必要的作圖痕跡（1）在圖①中，以線段AD為邊畫一個△ADE，使它與△ABC相似；（2）如圖②，在線段AB上找一個點P，使BP＝3；（3）如圖③，在線段AC上找一點E，連接BE，使△ABE∽△CDE．【分析】（1）根據相似三角形的性質得出，找到格點E，，連接DE，即可求解；（2）勾股定理求得AB＝5，取格點M，N，AM＝2，BN＝3，則△AMP∽△BNP，根據相似比為，即可得出BP＝3（3）連接QD交AC于點E，連接BE，DE，即可求解．【解答】解：（1）如圖①所示，∵，，∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）如圖②所示，∵AM∥BN，∴△AMP∽△BNP，∴，∵，∴BP＝6；（3）如圖③所示，連接QD交AC于點E，DE，∵QE＝BE，∴∠EBQ＝∠EQB，∵QB∥CD，∴∠Q＝∠D＝∠EBQ，又∠C＝∠EAB＝90°，∴△ABE∽△CDE．【點評】本題考查了相似三角形的性質與判定，勾股定理與網格問題，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．19．（7分）如圖，反比例函數y＝（k≠0）的圖象與正比例函數y＝2x的圖象相交于A（1，a），點C在第四象限，BC∥x軸．（1）求k的值；（2）以AB、BC為邊作菱形ABCD，求D點坐標及菱形的面積．【分析】（1）根據點A（1，a）在y＝2x上，可以求得點A的坐標，再根據反比例函數y＝（k≠0）的圖象與正比例函數y＝2x的圖象相交于A（1，a），即可求得k的值；（2）因為B是反比例函數y＝和正比例函數y＝2x的交點，列方程可得B的坐標，根據菱形的性質可確定點D的坐標；然后利用菱形的面積計算公式解答即可．【解答】解：（1）∵點A（1，a）在直線y＝2x上，∴a＝2×1＝2，即點A的坐標為（6，2），∵點A（1，5）是反比例函數y＝，∴k＝1×2＝8，即k的值是2；（2）由題意得：＝4x，解得：x＝1或﹣1，經檢驗x＝6或﹣1是原方程的解，∴B（﹣1，﹣4），∵點A（1，2），∴AB＝＝7，∵菱形ABCD是以AB、BC為邊，∴AD＝AB＝2，∴D（1+2，2）．∴菱形的面積＝2×（2+2）＝2．【點評】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．20．（7分）如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，其中AB＝30米，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，求△APQ的面積．【分析】由DC∥AP，得到＝，代入數據求得AP＝90，于是得到結論．【解答】解：AQ＝AD+DQ＝20+10＝30，∵矩形ABCD，∴CD＝AB，∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝90，∴S△APQ＝AQ?AP＝1350米3；【點評】本題考查了平行線分線段成比例，求三角形的面積，一元二次方程的應用，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．21．（8分）A，B兩地相距60km，甲、乙兩人從兩地出發相向而行1，l2表示兩人離A地的距離s（km）與時間t（h）的關系（1）表示乙離A地的距離與時間關系的圖象是l2（填l1或l2）；甲的速度是30km/h，乙的速度是20km/h；（2）甲出發多少小時兩人恰好相距5km？【分析】（1）觀察圖象即可知道乙的函數圖象為l2，根據速度＝，利用圖中信息即可解決問題；（2）分相遇前或相遇后兩種情形分別列出方程即可解決問題；【解答】解：（1）由題意可知，乙的函數圖象是l2，甲的速度是＝30km/h＝20km/h．故答案為l2，30，20．（2）設甲出發x小時兩人恰好相距5km．由題意30x+20（x﹣6.5）+5＝60或30x+20（x﹣5.5）﹣5＝60解得x＝4.3或1.4，答：甲出發1.3小時或8.5小時兩人恰好相距5km．【點評】本題考查了一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂圖象信息，靈活應用速度、路程、時間之間的關系解決問題．22．（9分）在初中階段的函數學習中，我們經歷了“確定函數的表達式——利用函數圖象研究其性質——運用函數解決問題”的學習過程．在畫函數圖象時，我們通過描點連線或平移的方法畫出函數圖象．結合上面經歷的學習過程（1）當x＝1時，y＝0；當x＝3時；則a＝3，b＝6．（2）在（1）的條件下，①在給出的平面直角坐標系中畫出該分段函數圖象；②若該分段函數圖象上有兩點A（m，y1），B（4，y2），且y1＜y2，則m的取值范圍；③直線y＝k與該分段函數的圖象有2個交點，則k的取值范圍是0＜k＜2．【分析】（1）將x＝1，y＝0；x＝3，y＝2分別代入函數y＝ax﹣3和y＝得關于a和b的二元一次方程組，解方程組得a和b的值；（2）①根據解析式的特點畫出函數的圖象即可；（②由①中函數圖象可直接得出的取值范圍．③由①中函數圖象可直接得出的取值范圍．【解答】解：（1）把x＝1，y＝0代入y＝ax﹣5得，∴a＝3，把x＝3，y＝7代入y＝得；故答案為：3，6；（2）①∵y＝，故可作圖如下：②∵B（4，y6）是函數圖象上的點，∴y2＝1.6，∵y1＜y2，∴y7＜1.5，由函數圖象知，當y＜7.5時，∵A（m，y1）在函數圖象上，∴m＜6.5，故m的取值范圍為：m＜1.7；③直線y＝k與該分段函數的圖象有2個交點，則k的取值范圍是0＜k＜5，故答案為：0＜k＜3；【點評】本題考查了反比例函數的性質，一次函數性質與一元一次不等式及函數的性質與圖象，數形結合是解題的關鍵．23．（10分）閱讀下面材料：小昊遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，BE是AC邊上的中線，＝，AD與BE相交于點P，求的值．小昊發現，過點C作CF∥AD，交BE的延長線于點F，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖2）．請回答：的值為．參考小昊思考問題的方法，解決問題：（1）如圖3，在△ABC中，點D在BC的延長線上，，且．求的值；（2）如圖4，在△ABC中，點D在BC的延長線上，，且，直接寫出的值為．【分析】如圖2，證明△AEP≌△CEF，可得AP＝FC，再根據PD∥FC，得△BPD∽△BFC，列比例式可得結論；（1）如圖3，作輔助線，構建△AEF，根據AF∥BC，證明△AFE∽△CBE和△AFP∽△DBP，列比例式可得：＝＝1；（2）如圖4，作輔助線，構建△EFC，根據CF∥AP證明△BCF∽△BDP和△ECF∽△EAP，可得結論．【解答】解：如圖2，過點C作CF∥AD，∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，∵BE為AC邊的中線，∴AE＝CE，∴△AEP≌△CEF（AAS），∴AP＝FC，∵PD∥FC，∴△BPD∽△BFC，∴＝，∴＝，故答案為：；（1）如圖3，過A作AF∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴，∵，∴，設AF＝3x，BC＝2x，∵，∴BD＝3x，∴AF＝BD＝8x，∵AF∥BD，∴△AFP∽△DBP，∴＝＝1；（2）如圖4，過C作CF∥AP交PB于F，∴△BCF∽△BDP，∴，設CF＝2x，PD＝3x，∵CF∥AP，∴△ECF∽△EAP，∴，∴AP＝8x，AD＝4x，∴．故答案為：．【點評】此題主要考查了平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定和性質，三角形相似的性質和判定，本題運用了類比的思想，作平行線，構建三角形，證明相似可解決問題．24．（12分）如圖①，在正方形ABCD中，AB＝4．點P從點D出發，同時點Q從點B出發，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動．當點P不與點D、B重合時，連結PP'、P′Q、PQ．設點P的運動時間為t秒．?（1）當PQ∥AB時，求t的值；（2）當點P′與點Q重合時，求t的值；（3）當P′Q＝1時，t的值為或；（4）如圖②，點E為PQ中點，連接P′E，則t的值為1或3.2．【分析】（1）根據如果PQ∥AB時，由正方形的性質可得AP∥BQ，此時只需滿足AP＝BQ，則四邊形PABQ是平行四邊形，所以結合已知條件得到4﹣2t＝t，即可解決；（2）P′與Q重合時，只能在BC邊上，根據正方形的性質，此時滿足P點行程與Q點行程之和等于8由圖知：AD+CP′＝2t，BQ＝t，則AD+CP′+BQ＝8，建立方程即可解決；（3）P′Q＝1，分兩種情況：一是P′在CD邊上，滿足0＜t＜2時，根據Rt△CP′Q中由勾股定理，建立方程即可解決，但此時不存在；再就是P′在BC邊上時，而此時又分兩種情況：①P′在Q上方時，此時滿足2＜t＜，②P′在Q下方時，此時滿足＜t＜4，分別根據線段間的和差關系建立方程，即可解決．【解答】解：（1）由已知可得ts時，DP＝2t，∵AD＝4，∴AP＝AB﹣DP＝5﹣2t，∵在正方形ABCD中，∴AD∥CB，即AP∥BQ，當PQ∥AB時，∴四邊形APQB是平行四邊形，∴AP＝BQ，∴4﹣2t＝t，解得：t＝s，當PQ∥AB時，t＝