綜合--【新教材】人教A版（2019）（含解析）

高一數學暑假作業

一、單選題

1.設集合4={x|-2<x<4],B=(2,3,4,5),則(CM)nB=()

A.{2}B.{4,5}C.{3,4}D.{2,3}

2.已知z=2+i,則z(W-i)=()

A.6+2iB.4-2iC.6-2iD.4+2i

3.某工廠12名工人的保底月薪如表所示，第80百分位是（）

工人保底月薪工人保底月薪

1289072850

2286083130

3305092880

42940103325

52755112920

62710122950

A.3050B.2950C.3130D.3325

4.設。為△ABC所在平面內一點，=3DC.則（）

A.AD=--AB+-ACB.AD=-AB--AC

3333

C.AD=-AB+-ACD.AD=--AB--AC

3333

5.甲、乙、丙、丁四位同學的身高各不相同，從這四位同學中隨機抽出三人排成一排,

則抽出的三人中恰好身高最高的同學位于中間位置的概率為（）

A.|B.iC.D.白

33612

6.如圖所示，已知正三棱柱48。-公&6的所有棱長均為1,fl

則四棱錐Z—&BCC1的體積為（）

A.立B.逅

126

C.立D.逅

46

7.古代將圓臺稱為“圓亭”，《九章算術少中“今有圓亭,下周三丈，上周二丈，高

一丈，問積幾何？”即一圓臺形建筑物，下底周長3丈,上底周長2丈，高1丈,

則它的體積為（）

A.合立方丈B.魯立方丈C.等立方丈D.詈立方丈

87r1271812

8.如圖所示,在平面四邊形4BC￡＞中,力。YCD,AD=CD=巫,AC1.BC,乙B=60°,

現將△4CD沿AC邊折起，并連接BD,當三棱錐D-ABC的體積最大時，其外接球

的表面積為（）

A.47rB.87rC.127rD.167r

9.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2a+b=2ccosB,若CD是角

C的平分線，AD=2V7.DB=y/7,求CD的長.（）

A.3B.2C.2V2D.3V2

二、多選題

10.設i為虛數單位，復數z=（a+i）（l+2i）,則下列命題正確的是（）

A.若z為純虛數，則實數a的值為2

B.若Z在復平面內對應的點在第三象限，則實數4的取值范圍是（一32）

C.實數a=-：是z=）（5為z的共輾復數）的充要條件

D.若z+|z|=x+5i（xeR）,則實數a的值為2

11.2020年2月8日，在韓國首爾舉行的四大洲花樣滑冰錦標賽雙人自由滑比賽中，中

國組合隋文靜/韓聰以總分217.51分拿下四大洲賽冠軍，這也是他們第六次獲得四

大洲冠軍.中國另一對組合彭程/金楊以213.29分摘得銀牌.花樣滑冰錦標賽有9位評

委進行評分，首先這9位評委給出某對選手的原始分數，評定該隊選手的成績時從

9個原始成績中去掉一個最高分、一個最低分，得到7個有效評分，則7個有效評

分與9個原始評分相比，變化的數字特征是（）

A.中位數B.平均數C.方差D.極差

12.已知角a,0,y,滿足a+0+y=〃，則下列結論正確的是（）

A.sin（a+/?）=sinyB.cos（/?+y）=cosa

C.sin"上=sin且D.cos匕也=sin上

2222

13.已知"/鳥。是邊長為1的等邊三角形，點。是邊AC上，且前=3而，點E是BC

邊上任意一點（包含8,C點），則荏.前的取值可能是（）

A.-JB.C.0D.\

666

第2頁，共24頁

14.已知四邊形ABC。是等腰梯形(如圖1),AB=3,DC=1,/.BAD=45°,DELAB.

將△4DE沿OE折起，使得力E1EB(如圖2),連結AC,AB,設M是AB的中點.下

列結論中正確的是()

圖1圖2

A.BCLADB.點E到平面的距離為更

3

C.EM〃平面4C￡>D.四面體A8CE的外接球表面積為57r

三、單空題

15.某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x,y,10,12,8.已知這組數據

的平均數為1。，方差為2,則|x-y|的值為.

16.在平面直角坐標系xOy中，已知向量沆=(今-果，元=(sinx,cosx),x€(0,兀).若

m//n,則％=.若存在兩個不同的x值，使得|元+沅|=訂五|恒成立，則

實數f的取值范圍為.

17.已知函數/(x)=x+1,g(x)=2憂+2|+a若對任意與G[3,4],存在小G[-3,1],使

/■(%!)>g(%2)，則實數a的取值范圍是.

18.已知三棱錐P-4BC的四個頂點在球。的球面上，點Q,E分別是PB,8C的中點，

PA=3,PD=DE=2,PE=2\[2,AD=V13.AE=V17.則球。的表面積為

四、解答題

19.從①B=3②a=3&sinB這兩個條件中選一個，補充到下面問題中，并完成解

答.

已知△ABC中，a,b,c分別是內角A,B,C所對的邊，且siM/l=siMB+siMC+

sinBsinC.

(1)求角A;

(2)已知6=通，且___，求sinC的值及△ABC的面積.

20.如圖，在直角△ABC中，點。為斜邊BC的靠近點8的三等分點，點E為AO的中

點，|AB|=3，|AC|=6-

(1)用而，而表示荷和前;

(2)求向量方與正夾角的余弦值.

21.由袁隆平團隊研發的第三代雜交水稻于2019年10月21日至22日首次公開測產,

經測產專家組評定，最終畝產為1046.3公斤，第三代雜交水稻的綜合優勢可以推動

我國的水稻生產向更加優質、高產、綠色和可持續方向發展.某企業引進一條先進

的食品生產線，計劃以第三代雜交水稻為原料進行深加工，創建一個新產品，已知

該產品的質量以某項指標值k(70<k<100)為衡量標準，質量指標的等級劃分如

表：

質量指標值

90<fc<10085</c<9080<fc<8575<fc<8070</c<75

k

產品等級ABCDE

為了解該產品的生產效益，該企業先進行試生產，從中隨機抽取了1000件產品，

測量了每件產品的指標值，在以組距為5畫頻率分布直方圖(設“磊=丫”時，發

{3n—39v1￡

>n

3oo-,neN*,5n</c<5(n+l).

a-220-n,n>16

(1)試確定"的所有取值，并求”；

(2)從樣本質量指標值不小于85的產品中采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽

第4頁，共24頁

取7件產品，然后從這7件產品中一次性隨機抽取2件產品，求至少有1件4級品

的概率；

(3)求樣本質量指標值k的平均數％(各分組區間的數據以該組區間的中點值代表).

22.如圖，己知正三棱錐P—ABC的側面是直角三角形，PA=6,頂點P在平面48c

內的正投影為點。，。在平面尸內的正投影為點E,連結PE并延長交A8于點

G.

(I)證明：G是AB的中點；

(II)在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F(說明作法及理由)，并求四面體PDEF

的體積.

23.在下列兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

①函數y=f(x—合的圖象關于原點對稱；

②函數y=/(x)的圖象關于直線久=空對稱

已知函數/(X)=4sin(a)x+<p)(3>0,0<<p<]),/(x)的圖象相鄰兩條對稱軸的距

離為看—.

(1)求函數f(x)的解析式：

(2)求函數g(x)=/(x)cos2x在！-鼻勺上的取值范圍.

24.如圖，在半圓柱W中，AB為上底面直徑，0c為下底面

直徑，AO為母線，4B=4D=2,點尸在藍上，點G

在比上，BF=DG=1,P為QC的中點.

(1)求三棱錐4-OGP的體積；

(2)求直線AP與直線B廠所成角的余弦值；

(3)求二面角A-GC-。的正切值.

25.已知函數f(x)=log?。-1).

(1)求函數f(x)的定義域；

(2)設g(x)=f(x)+a,若函數g(x)在(2,3)上有且僅有一個零點，求實數a的取值

范圍；

第6頁，共24頁

(3)設h(x)=〃%)+券，是否存在正實數⑶使得函數y=h(x)在［3,9］內的最小值

為4?若存在，求出機的值；若不存在，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：：A={x|-2<久<4],QRA={x\x<-2或x>4},

vB={2,3，4,5),

二(CMnB={4,5},

故選：B.

先求出集合A的補集，再根據集合的基本運算即可求(CRA)nB.

本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：?；z=2+i,z(z-i)=(2+i)(2-2i)=4-4i+2i+2=6-23

故選：C.

直接利用復數代數形式的四則運算即可求解.

本題考查復數代數形式的四則運算，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：這組數據從小到大排列為：

2710,2755,2850,2860,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325；

由12x80%=9.6,所以這組數據的第80百分位是第10個數據，為3050.

故選:A.

把這組數據從小到大排列，由12x80%=9.6,得出這組數據的第80百分位是第10個

數據.

本題考查了百分位數的計算問題，是基礎題.

4.【答案】C

由題意可得。為BC的三等分點，用而，而表示出血即可.

本題考查了平面向量的基本定理，向量線性運算的幾何意義，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解法一：甲、乙、丙、丁四位同學的身高各不相同，從這四位同學中隨機抽出

三人排成一排，

基本事件總數n=以北=24,

抽出的三人中恰好身高最高的同學位于中間位置包含的基本事件個數m=廢盤用=8,

則抽出的三人中恰好身高最高的同學位于中間位置的概率為p=；=蓑/

故選：B.

解法二：甲、乙、丙、丁四位同學的身高各不相同,

假設從高到底為甲、乙、丙、丁,

從這四位同學中隨機抽出三人排成一排,

基本事件總數有24個，分別為：

甲乙丙,甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲,

甲乙丁,甲丁乙，乙甲丁，乙丁甲，丁甲乙，丁乙甲,

甲丙丁,甲丁丙，丙甲丁，丙丁甲，丁甲丙，丁丙甲,

乙丙丁,乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丙丁乙，丁乙丙,

抽出的三人中恰好身高最高的同學位于中間位置包含的基本事件有8個，分別為:

乙甲丙，丙甲乙，乙甲丁，丁甲乙，丙甲丁，丁甲丙，丙乙丁，丁乙丙，

則抽出的三人中恰好身高最高的同學位于中間位置的概率為p=盤號.

故選：B.

基本事件總數n=廢心=24,抽出的三人中恰好身高最高的同學位于中間位置包含的

基本事件個數巾=中盤尚=8,由此能求出抽出的三人中恰好身高最高的同學位于中

間位置的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基

礎題.

6.【答案】D

【解析】解：如圖

取8c中點0,連接A0,

??三棱柱ABC-4B1G是正三棱柱，AO1BC,

又正三角形4BC的邊長為1,[4。=立.

2

而平面B4C1平面B1BCG，且平面B4CC平面B/CG=BC,

???AO1平面BiBCG，又四邊形/BCG是邊長為1的正方形，

???四棱錐4-/BCG的體積為V=」xlxlx更=立.

326

故選：D.

取BC中點0,連接4。，求得A。并證明401平面&BCG，再由棱錐體積公式求解.

本題考查正三棱柱的結構特征，考查棱錐體積的求法，考查計算能力，是中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：設圓臺的上底面半徑為r,下底面半徑為R,

則2nr=2,2TIR=3,得丁=一，R=—?

n27r

又圓臺的高為I,

二圓臺的體積V=X1X(4+-X^-+-^)=善立方丈.

324

、兀n2n疳’12lt

故選：B.

設圓臺的上底面半徑為廣，下底面半徑為K,由已知周長求得r與R,代入圓臺體積公

式求解.

本題考查圓的周長公式、圓臺體積公式，考查計算能力，是基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：由題意，當平面4CD1平面4BC時，三棱

錐的高最大，此時體積最大，

AD=CD=V6>AD1CD,

.?.△4C0的高為次，。是投影在AC的中點

???平面力CD1平面ABC,

???三棱錐的高為百，AC=2>/3.BC=2,AB=4

X---AC1BC,NB=60°,

二平面ABC外接圓半徑r=半=2,

設球心O到圓心。'的距離為d,

可得R2=/+d2……①

第10頁，共24頁

R2=(產)2+(百一d)2……②

由①②解得R=2

二外接球的表面積S=4TTR2-1671；

故選：D.

由題意A4C。沿AC邊折起，當平面4C0_L平面48c時，三棱錐的高最大，此時體積最

大，然后求出外接球的半徑，再求出外接球的表面積；

本題考查球的表面積的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養.

9.【答案】B

【解析】解：由余弦定理知cosB=二之把，力：、

■:2Q+b=2ccosB,

二2Q+b=2c?a+c~b即+力2_=—ab,

2ac9

由余弦定理知，cosC=

VCE(0,7T),

由角分線定理知些=也=卑=2,

BCBDV7

設BC=X,貝IJ4C=2x,

在△4BC中，由余弦定理知，AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cos^ACB,

???(3V7)2=4X2+X2-2-2X-X-(-|),

解得x-3,

Aa=BC=3,b=AC=6,

在△BCD中，由余弦定理知，CO?=8。2+-28。?BC-cosB=7+9-2xV7x

3x^=4,

7

:.CD=2.

故選：B.

結合余弦定理和已知條件，可得Q2+b2-c2=-ab,再利用余弦定理，即可得解C的

值，由角分線定理知件=券=2,在△力BC中，由余弦定理，可求得BC的長，進而知

BCBD

4c與cosB的值，再在△BCD中，由余弦定理，得解.

本題考查解三角形在平面幾何中的應用，熟練掌握角分線定理、余弦定理是解題的關鍵,

考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：復數z=(a+i)(l+2i)=(a-2)+(2a+l)i；

對于A：當a=2時，z為純虛數，故A正確；

對于8：z在復平面內對應的點在第三象限，可得《一，：」「，解得a<-9;故B不對；

對于C：共錦復數萬，需滿足2a+l=-2a-l,可得。=一點故C正確；

對于。：由z+|z|=x+5i,即2a+l=5,可得a=2,故￡)正確；

故選：ACD.

根據復數的性質依次對各選項判斷即可；

本題考查復數的運算和性質，共枕復數，屬于基礎題和易錯題.

11.【答案】BCD

【解析】解：從9個原始成績中去掉一個最高分、一個最低分，得到7個有效評分，其

中位數是不變的，其他數字特征均會發生變化.

故選：BCD.

一列數，去掉最大值和最小值，不會改變中間值，即中位數，故而得解.

本題考查統計中數據的數字特征的概念與含義，考查學生的邏輯推理能力，屬于基礎題.

12.【答案】AD

【解析】解：由于角a,。，y,滿足a+0+y=兀，［a+￡=TT-y,sin(a+。)=

sin(7r—y)=siny,故A正確：

a+p+y=n,即y+0=7r-a,???cos()3+y)=COS(TT-a)=—cosa,故8錯誤;

匕"=三9,二sin=sint^=cosg,故C錯誤；

22222

由于a+S+y=7r,BPi(a+/?)=|(7T-y),cos=cos=sinp故于正確,

故選：AD.

由題意利用誘導公式，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論.

本題主要考查誘導公式的應用，屬于基礎題.

第12頁，共24頁

13.【答案】AB

【解析】解：如圖，

B

???點E是BC邊上任意一點(包含8,C點)，

二可設荏=4同+(1-4)正，其中0S4W1，

.-.AE-'BD=[AAB+(il-A')AC]-(AD-AB)=[AAB+(l-A.')AC]-(|^4C-AB)=

-AAB2+F"+渾-^B-(l-A)^C-^B=-A+^+^xlxlx|-(l-A)x

14Tx1lX-=-4-A---1,

26

V0<A<1,

???~AE?耳力的取值范圍是：[—J,―3，

oo

故選：AB.

根據條件，可設荏=/l荏+(1-幻玄，其中owawi,再借助于數量積的應用以及

參數的范圍即可求解結論.

本題考查向量的數量積的應用，考查向量的表示以及計算，考查計算能力，屬于中檔題

目.

14.【答案】BD

【解析】解：在圖1中，過C

作CF1EB,

???CE1EB,.?.四邊形COEF

是矩形，

圖102

???CD=1,EF=1.

,??四邊形ABC。是等腰梯形，AB=3,AE=BF=1.

???LBAD=45°,???DE=CF=1.

連接CE,貝ICE=CB=魚，

???EB=2,：.BC2+EC2=BE2,得/BCE=90。，則BC1CE

在圖2中，vAELEB,AE1ED,EBCED=E,：.AEl5FffiBCDE.

BCu平面8CCE,.-.AE1BC.

vAECCE=E,■1?BC_L平面AEC.

■^BCLAD,又BOE,AE0AD=A,：.BCl￥ffiAED,

過一點E與BC垂直的平面有兩個，與過一點有且只有一個平面與已知直線垂直矛盾，

故A錯誤；

由4E=1,EC=V2,得4c=6，又BC=近，

S&4BC=：xV2xV3萼，而SABCE=-x2xl=l,

設點E到平面AMC的距離為h,

由力-BCE=^E-ABC,得］XlXl=ix^yXh,

即九=漁，故B正確；

3

假設EM〃平面ACD,

■■■EB//CD,CDu平面ACD,EB仁平面ACD,

EB〃平面ACD,

又???EBnEM=E,.?.平面力E8〃平面ACD,

而平面AEB,力€平面ACQ,與平面4EB〃平面AC。矛盾.

二假設不成立，故EM與平面ACD不平行，故C錯誤；

連接MC,

???△AEB為Rt△,AACB為Rt4,且M為A8的中點，

MA=MB=ME=MC,即M為四面體ABCE的外接球的球心，

四面體ABCE的外接球的半徑為JAB=3仔”=更，

222

則四面體ABCE的外接球表面積為4兀x（爭2=5兀，故。正確.

故選：BD.

由已知證明BC_L平面AEC,結合反證法說明A錯誤;利用等體積法求得點E到平面AMC

的距離，說明8正確；假設EM〃平面ACD從而可證面AEB〃面AC,而A6平面AEB,

46平面ACQ,與平面4EB〃平面ACQ矛盾，說明C錯誤；求出四面體A8CE的外接

球半徑，進一步求得外接球的表面積說明。正確.

本題考查空間中點、線、面間的距離計算，考查多面體外接球表面積的求法，考查空間

想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題.

15.【答案】2

第14頁，共24頁

【解析】解：平均數為，X(x+y+10+12+8)=10,即x+y=20①，

方差為2x[(x-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(8-10)2]=2,即(x-

10)2+0-10)2=2②，

由①②解得x=9,)/=11或;(=11,y=9,

所以|x-y|=2.

故答案為：2.

根據平均數和方差的計算方法可列出關于x和)，的方程組，解之即可.

本題考查平均數和方差的計算方法，考查學生的運算能力，屬于基礎題.

16.【答案】?(萬二反,2)

【解析】解：①因為記〃元，所以,cosx+苧sinx=0,即sin(x+》=0,

所以X+F=/OT,k&Z,即％=/?-：,k&Z,

44

因為工€(0,兀)，所以x=?.

②由題意知，|記|=1,|n|=1.

因為|五+殖=t|五I，所以|五『+|殖2+2訪.元=均元[2,且t>0,

所以1—￡2+1+2(當sinx—日cosx)=0>即t?-2=2sin(x—彳)，

若存在兩個不同的x值，使得|元+沆|=葉五|恒成立，則函數y=-2與y=2sin(x-

力有兩個不同的交點，

又xe(0,?T),所以x_Ee竽),

當*一襄(為)乂或2)時,可以滿足題意，此時2sin(x-》€?X2),

所以“一2e(V2,2).

因為t>0,所以te。2+&,2).

故答案為：拳(萬口i,2>

①由平面向量的平行條件可得當cosx+ysinx=0，再結合輔助角公式以及x€(0,兀)，

即可得解；

②易知，I沆1=1,I元I=1.由I元+記I=t|元I，得|元|2+|殖2+2記.五=[2]五|2,且

t>0,利用平面向量數量積的坐標運算以及所得數據，可推出產-2=2sin(x-J),

原問題可轉化為函數y=t2-2與y=2sin(x有兩個不同的交點，最后結合正弦函

數的圖象與性質即可得解.

本題考查平面向量與三角函數的綜合應用，包含平面向量的數量積運算與平行的條件、

輔助角公式和正弦函數的圖象與性質，考查學生的數形結合思想、邏輯推理能力和運算

能力，屬于中檔題.

17.【答案】(一8,3]

【解析】解：若對任意修€[3,4],存在小6[-3,1],使/Qi)2g(w)，

可得/(x)mENg(x)min，

由f(x)=x+1在[3,4]遞增，可得/(%)的最小值為f(l)=4,

g(無)=2比+同+a在[—3,—2]上遞減，在[—2,1]遞增,可得g(x)的最小值為g(—2)=1+a,

所以4>1+a,

解得aW3.

即a的取值范圍是(-8,3].

故答案為：(-<?,3].

由題意可得/(X)min由一次函數和函數絕對值函數、指數函數的單調性求得

最值，解不等式可得所求范圍.

本題考查函數的恒成立和存在性問題解法，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】417T

【解析】解：由P4=3,PD=2,PE

AE="7,

^PA2+PD2=AD2,PA2+PE2=

可得241PB,PA1PE,

又PBOPE=P,：.PA_L平面PBC,

???D,E分別是PB,BC的中點，且PD=DE=2,PC=4,PB=4,

又PE=2?：.BC=2BE=4a，^PB2+PC2=BC2,

得PB1PC,

將三棱錐放在長方體中，外接球的直徑等于長方體的對角線，設外接球的半徑為R,

則(2/?)2=32+42+42=41,

二外接球的表面積S=4兀/?2=417T.

故答案為：4171.

第16頁，共24頁

由已知求解三角形可得PA、PB、PC兩兩互相垂直，然后利用分割補形法求解.

本題考查多面體的外接球，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，訓練了

分割補形法，是中檔題.

19.【答案】解：(1)因為siMA=siMB+siMC+sinBsinC,

由正弦定理可得=b2+c2+be,

b2+c2-a2-be

可得cos力=

2bc2bc

因為0<A<7T,

所以4=早

(2)選擇①時,4=拳8=%

故sinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB=限一：、

根據正弦定理號=上，可得Q=3,

sinAsinB

可得S=-absinC=9~3y^.

24

選擇②時,a=3y/2sinBy根據正弦定理=[p可得—四一=解得sinB=—，

sintn-2

sinC=sin(>4+8)=sinAcosB+cosAsinB=立了,

根據正弦定理號=々，可得。=3,

sinAsinB

可得S=-absinC=9-3

24

【解析】（1）由已知利用正弦定理可得a?=b2+c2+be,根據余弦定理可求cosA=

結合范圍0<4<兀，可求A的值.

（2）選擇①時，由4=拳B=（,利用兩角和的正弦函數公式可求sinC,根據正弦定理

高=焉，可得a=3,利用三角形的面積公式即可計算得解；選擇②時，a=3或sinB,

根據正弦定理解得sinB=立，利用兩角和的正弦函數公式可求sinC,根據正弦定理可

2

得a=3,利用三角形的面積公式即可計算得解.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角和的正弦函數公式，三角形的面積公式在解

三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）以4為原點，AC、48所在直線分別為x、y軸建立如圖所示的平面

直角坐標系，

則4(0,0),8(0,3),C(6,0),0(2,2),F(l,l).

：.AB=(0,3).AC=(6,0)，AD=(2,2).EB=(-1,2).

設而=zn四+n宿則(2,2)=(6n,3m),解得m=|,n=AD=^AB+.

設前=2荏+〃而，則(一1,2)=(6.3/1),解得；1=,,〃=一±.?.而=|同一:就.

15b3b

(2)由⑴知,EB=(-1,2),EC=(5,-1).

_FR、EBEC-5-27^130

??.cos<EB，6"=畫鬲=原用=一不^

故向量而與針夾角的余弦值為-氈變.

【解析】(1)以A為原點，AC、AB所在直線分別為X、y軸建立平面直角坐標系，逐一

寫出4、B、C、D、E的坐標；設而=機屈+n而，EB=XAB+nAC^可列出關于

m、〃、4和〃的方程，解之即可；

(2)由(1)知，麗=(-1,2)，EC=(5,-1)>再根據平面向量數量積的坐標運算即可得解.

本題考查平面向量的基本定理和數量積運算，遇到規則圖形建立坐標系，借助平面向量

的坐標運算可簡化試題，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題.

21.【答案】解：(1)根據題意，kG[70,100),按組距為5可分成6個小區間，

分別是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100).

因為70Wk<100,由5nWk<5(n+1),nCN*,

所以n=14,15,16,17,18,19,

—3n_39,n_=11zl4,1l;b,4(l■b

{5a-22°-n,n=17,18,19.

所以3x(14+^16-39)+5a(8+4+2)=1,

解得a=總

(2)由(1)中的數據，得

kG[85,90)的頻率為擊x220T7*5=0.4；

ke[90,95)的頻率為京x220T8x5=02.

ke[95,100]的頻率為言x22。-19*5=o.l,

第18頁，共24頁

利用按比列分配分層隨機抽樣抽取的7件產品中，

k€[85,90)的有4件，分別記作A2,A3,A4；

ke[90,100)的有3件，分別記作Bi，B2,B3,

從抽取的7件產品中任取2件產品，則樣本空間0=

I

{AIA2,A^A^,&B，&83,42A314人4’力2%,久晶,A^A^,A-jB1,A3B2,A3B2,A^B^,A^B2,B/

所以n(0)=21.

事件力=”隨機抽取的2件產品中至少有一件A級品“，

則4=

{&Bi，A1B2,A$3,-^2^2#A2B3,A3B2,"383,A^B^,A^B2,A^B^,B$2,B^B?,殳殳}

所以ri(A)=15,

由古典概型公式，得「(4)=嘿=葛=*

(3)fcG[70,75)的概率為狂鏟=親

々€[75,80)的概率為區*=2，

武[80,85)的概率為五聯=*

ke[85,90)的概率為0.4,

kG[90,95)的概率為0.2,

ke195,100)的概率為0.1,

=72.5X—+77.5x—+82.5x—+87.5x0.4+92.5x0.2+97.5x0.1=87.

k201020

【解析】(1)根據題意,ke[70,100),按組距為5可分成6個小區間,根據題意可得n=14,

15,16,17,18,19,分別算出每一組的頻率，按照頻率之和為1,再計算a的值.

(2)分別計算出ke[85,90),ke[90,95)的頻率，ke[95,100]的頻率，利用按比列分

配分層隨機抽樣抽取的7件產品中，ke[85,90)的有4件，分別記作a,A2,A3,4；

k6[90,100)的有3件，分別記作BrB2,B3,再利用列舉法得從抽取的7件產品中任

取2件產品，樣本空間的個數，事件A="隨機抽取的2件產品中至少有一件4級品“個

數，再由古典概型公式，計算出P(4).

(3)分別算出每一組的概率乘以各自組中值之和，即可得出答案.

本題考查統計與概率，解題中注意分層抽樣，古典概型的應用，屬于中檔題.

22.【答案】解：（I）證明：???P-4BC為正三棱錐，且。為頂點戶在平面48c內的正

投影，

PD_L平面ABC,

又4Bu平面ABC,

則PD_LAB,

又E為。在平面PAB內的正投影，

DEJ_平面PAB,

又ABu平面PAB,

則DEJLAB,

?：PDC\DE=D,PD、DEc5p?PDE,

AB1平面PDE,

又PGu平面PDE,

則4B1PG,

又P4=PB,

G是AB的中點；

（n）在平面PAB內，過點E作P8的平行線交PA于點凡尸即為E在平面PAC內的正

投影.

???正三棱錐P-4BC的側面是直角三角形，

???PB1PA,PB1PC,

又EF//PB,所以EFJ.PA,EF1PC,

又PAnPC=P,PA,PCu平面PAC,

因此EF_L平面PAC,

即點F為E在平面PAC內的正投影.

連結CG,因為「在平面4BC內的正投影為O,

所以。是正三角形ABC的中心.

由（I）知，G是AB的中點,

第20頁，共24頁

所以力在CG上，

故C￡>=|CG.

由題設可得PC1平面PAB,DE，平面PAB,

所以DE〃PC,

因此PE=?G,DE=-PC.

33

由已知，正三棱錐的側面是直角三角形且PA=6,

可得DE=2,PG=3&，PE=2>/2.

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.

所以四面體PDEF的體積V=[xDExSMEF=1X2X：X2X2=:

【解析】本題考查幾何體的體積計算以及線面垂直的性質、判定，屬于中檔題.

(I)根據題意分析可得PD_L平面A8C,進而可得PD1AB,同理可得DE1AB,結合兩

者分析可得ZB1平面PDE,進而分析可得481PG,又由PA=PB,由等腰三角形的性

質可得證明；

(H)由線面垂直的判定方法可得EF_L平面PAC,可得尸為E在平面PAC內的正投影.由

棱錐的體積公式計算可得答案.

23.【答案】解：(1)補充①函數y=/(x-勺的圖象關于原點對稱，

???“X)的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為今

???=p即7-7T,

27r27r?

-0)=T—=n——=2,

???/(%)=4sin(2x+(p),

???f(xg)=4sin[2(x-^)+(p]=4sin(2x+<p-^),

又???函數y=一與的圖象關于原點對稱，

(P--=kn,keZ,即=-+kn,

66

又???0<8<a

f(x)的圖象解析式為/'(x)=4sin(2x+》

補充②函數y=/Xx)的圖象關于直線x=9對稱,

???f(x)的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為今

???~=~<即7=兀，

27r27r

:?3=—=—=o2,

Tn

???f(x)=4sin(2x+(p),

?.?函數y=f(%)的圖象關于直線％=系對稱，

：,sin(2x半+0)=±1,

二詈+乎=1+kn,kEZ,

57r

-(/)=——+kn,kEZ,

EC冗

又0<(p<-,

n

w=1

的圖象解析式為/(x)=4s譏(2x+》.

(2)^(%)=f[x}cos2x=4stn(2x+-)cos2x,

6

=(2>/3sin2x+2cos2x)cos2xf

=V3sin4x+cos4x4-1，

=2sin(4x+-)4