有限單元法

FINITEELEMENTMETHOD

主講：江巍

2015年春季學期有限單元法

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參考書目[1]王勖成,邵敏.有限單元法基本原理和數值方法.清華大學出版社[2]周中堅,盧耀祖.機械與機械結構的有限元分析.同濟大學出版社[3]朱伯芳.有限單元原理及其應用.中國水利水電出版社[4]蔣孝煜.有限元法基礎.清華大學出版社[5]徐芝綸.彈性力學簡明教程.高等教育出版社參考書目[1]王勖成,邵敏.有限單元法基本原理和主要有德國的ASKA；英國的PAFEC；法國的SYSTUS；美國的ALGOR、ABQUS、ADINA、ANSYS、SAP90、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產品。商業軟件主要有德國的ASKA；商業軟件第一章

有限單元法發展歷史和簡要介紹

第一章

有限單元法發展歷史和簡要介紹

18世紀末，歐拉在創立變分法的同時就曾用與現代有限元相似的方法求解軸力桿的平衡問題1943年Courant用最小勢能原理和現代有限元法中的線性三角元求解stVenant彈性扭轉問題1952_1853期間，R.W.Clough和M.J.Turner在分析三角翼振動問題時，提出了把平面平面應力三角形板組合起來表達機翼剛度方法，當時稱為直接剛度法。1956年M.J.Turner，R.W.Martin,L.J.Toop在紐約舉行的航空年會上發表論文《復雜結構的剛度和變形分析》1960年R.W.Clough在論文《平面應力分析的有限單元法》中,首次提出了有限單元,，他因此被稱為“有限單元之父”。《JournalofAppliedMechanics》許多年都拒絕刊登關于有限元方法的文章。發展歷史之啟蒙18世紀末，歐拉在創立變分法的同時就曾用與現代有限元相似的方

我國已故著名計算數學專家馮康教授也獨立創立了有限元法，為什么這么說呢？這是由我國當時特定的歷史環境所決定的。曾經有很長一段時間，我國的學術界處于與世隔決的狀態。正因如此，他的工作才得到了全世界的承認。他最初提出這個方法時，并不知道“有限元”這個名詞，因此他將自己的方法稱之為“基于變分原理的差分格式”。發展歷史之啟蒙我國已故著名計算數學專家馮康教授也獨立創立了有眾多數學家的加盟使得有限元進入黃金發展階段。有限元方法的理論和程序主要來自各個高校和實驗室Berkeley的EdWilson發布了第一個程序，第一代的程序沒有名字，第二代線性程序就是著名的SAP(structuralanalysisprogram)，非線性程序就是NONSAP。位于洛杉磯的MSC公司自1963創立并開發了結構分析軟件SADSAM，在NASA項目資助下MSC于1971年推出自己的專利版本MSC.Nastran。第一批非線性有限元方法的主要貢獻者有Argyris(1965)，Marcal和King(1967)，其中PedroMarcal畢業于Berkeley大學，任教于Brown大學，于1969年創建了第一家非線性有限元軟件公司MARC公司，在1999年被MSC公司收購。發展歷史之誕生眾多數學家的加盟使得有限元進入黃金發展階段。發展歷史K.J.Bathe（導師EdWilson），MIT任教，在NONSAP的基礎上發表了著名的非線性求解器ADINA(AutomaticDynamicIncrementalNonlinearAnalysis)，其源代碼因為長時期廣泛流傳而容易獲得。DavidHibbitt（導師PedroMarcal），在1972年與Karlsson和Sorensen共同建立HKS公司，推出了Abaqus軟件。Abaqus憑借強大的技術、出色的前后處理和可拓展的二次開發功能，穩占高校和研究所的市場，論文發表數量多。JohnSwanson博士在Westinghouse公司為核能應用方面發展了一個非線性有限元程序(主要是關注非線性材料)，于1970年創建SASI(SwansonAnalysisSystem,Inc)公司，后來重組更名為ANSYS公司，ANSYS是著名的多物理材料非線性有限元軟件，通過并購發展迅速壯大，模塊越來越多，商業化程度和市場占有率很高。發展歷史之崛起）K.J.Bathe（導師EdWilson），MIT任教，與其它課程的關系與其它課程的關系各門課程的任務材料力學：研究桿狀構件在拉壓，剪切，彎曲，扭轉作用下的應力和位移。結構力學：在材料力學基礎上研究桿狀構件所組成的結構例如，行架，剛架等，這些都是所謂的桿件系統。彈性力學：非桿狀結構，例如板和水壩，地基等實體結構以及對桿狀構件作進一步，較精確的分析。它與材料力學的研究方法不同，主要是在材力中引入了構件形變狀態或應力分布的假設，使數學推導大大簡化，其解是理論解（近似的），而彈性力學則更精確一些。計算力學：是應用結構力學，彈性力學，計算數學，計算機學的一個結合，提供近似的數值計算方法，解決問題，而有限元法是其中的一種方法。

上述各種方法最終目標是確立研究對象的應力，形變和位移，用以校核其是否有所需要的強度和剛度。各門課程的任務材料力學：研究桿狀構件在拉壓，剪切，彎曲，扭轉關于有限元法英文縮寫FEM（FiniteElementMethod）應用中習慣稱有限元分析是一種連續結構離散化數值計算方法，借助于數學和力學知識，利用計算機技術而解決工程技術問題FEM與CAECAE－計算機輔助工程（ComputerAidedEngineering）CAE范圍更廣，還包含其它工程分析方法基本思想關于有限元法基本思想基本思想將一個連續的求解域（連續體）離散化即分割成彼此用節點（離散點）互相聯系的有限個單元，在單元體內假設近似解的模式，用有限個結點上的未知參數表征單元的特性，然后用適當的方法，將各個單元的關系式組合成包含這些未知參數的代數方程，得出個結點的未知參數，再利用插值函數求出近似解。是一種有限的單元離散某連續體然后進行求解得一種數值計算的近似方法。由于單元可以被分割各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好的適應復雜的幾何形狀，復雜的材料特性和復雜的邊界條件，再加上它有成熟的大型軟件系統支持，使它已成為一種非常受歡迎的，應用極廣的數值計算方法。基本思想將一個連續的求解域（連續體）離散化即分割成彼此用操作流程位移型有限元法求解靜力問題的一般步驟：１）劃分單元；２）計算單元剛度矩陣；３）進行載荷移置；４）引入約束，解方程組求得位移；５）計算應力和應變。注：若以節點力為未知參數，先求出節點處的節點力，后求位移與應力的方法，稱為力型有限元法。操作流程位移型有限元法求解靜力問題的一般步驟：操作流程結構離散化：

1）劃分網格；

2）載荷移置；

3）簡化約束。單元剛度矩陣與剛度系數：

1）單元剛度矩陣物理意義為單元抵抗變形的能力；

2）剛度系數的物理意義是產生單位位移時需要的力的大小。操作流程結構離散化：mm2

，

mm2

，

mmMPa

kN

N試計算應力。

分析過程如下：1．離散化將桿劃分為兩個單元的集合

共有三個節點

簡單實例mm2，mm2，mmMPakNN試計2．確定單元位移模式（即單元位移函數）單元e的內部，位移按線性規律變化，即

(1)

本例中每個節點只有一個自由度，對單元及節點自由度進行編號簡單實例選擇三個節點位移

、

、

為基本未知量。2．確定單元位移模式（即單元位移函數）單元e的內部，位移按任取一個單元e作為考察對象，確定位移函數中系數a,b在有限元分析過程中，為方便起見，通常使用兩套不同的坐標系。

一是整個結構的參照系oxyz，稱為整體坐標系另一套坐標o

x

y

z

建立在每個單元上，坐標原點和指向都隨單元而變，這種只對單元有效的坐標系，稱為局部坐標系(localcoordinatesystem)。

簡單實例e任取一個單元e作為考察對象，確定位移函數中系數a,b在有限元簡單實例簡單實例任意常數a、b由單元e內兩節點i、j的位移值確定，即：i節點：

j節點：

求得：

(2)

代入位移函數：

為確定系數a,b，本例使用如圖局部坐標系統簡單實例任意常數a、b由單元e內i節點：j節點：求得：得到單元e內任意一點x的位移表達式為形狀函數或形函數單元節點位移矢量

簡單實例

(3)

得到單元e內任意一點x的位移表達式為形狀函數或形函數單元節點3．推導單元剛度矩陣和單元節點荷載單元剛度矩陣可由最小勢能原理導出

其中，單元內力所做的虛功：整個結構的總勢能

為

簡單實例

(4)

(5)

3．推導單元剛度矩陣和單元節點荷載單元剛度矩陣可由最小勢能原依據彈性力學位移與應變的關系得

簡單實例

(6)

依據彈性力學位移與應變的關系得簡單實例根據虎克定律：代入單元內力虛功表達式，得到將代入上式，得到改寫為簡單實例

(7)

根據虎克定律：代入單元內力虛功表達式，得到將代入上式，得到改積分，得用矩陣寫成

其中，單元剛度矩陣這里

簡單實例

(8)

積分，得用矩陣寫成其中，單元剛度矩陣這里簡單實例單元外力所做虛功為單元節點荷載簡單實例

(9)

單元外力所做虛功為單元節點荷載簡單實例在荷載作用下，結構處于平衡狀態。

則，整個結構的總勢能

為

則由最小勢能原理

，i=1,2,3簡單實例

(10)

在荷載作用下，結構處于平衡狀態。則，整個結構的總勢能為即：若將最小勢能原理用于單個單元，則得到任一單元的平衡條件為

簡單實例

(11)

即：若將最小勢能原理用于單個單元，簡單實例4．組集總體剛度矩陣和荷載矢量將(8)式中的單元剛度矩陣將式(9)中的單元節點荷載矩陣組集成整體節點荷載矩陣最后得到系統的整體平衡方程整體剛度矩陣節點位移節點荷載簡單實例組集成整體剛度矩陣

(12)

4．組集總體剛度矩陣和荷載矢量將(8)式中的單元剛度矩陣首先根據已知數據，計算各單元剛度矩陣單元1：簡單實例首先根據已知數據，計算各單元剛度矩陣單元1：簡單實例單元2：簡單實例單元2：簡單實例組集（對號入座）由于總的未知量有三個，所以總剛度矩陣的階數應為3×3

將中與

對應的元素相加簡單實例組集（對號入座）由于總的未知量有三個，所以總剛度矩陣的階數應節點力矢量為：所以，總平衡方程為簡單實例節點力矢量為：所以，總平衡方程為簡單實例5．約束處理、由于對位移未加任何限制，所以從方程(10.22)得不到節點位移、的唯一解答。

從數學上來說，矩陣所以得不到未知的位移分量。

具有奇異性（行列式的值為零），不可求逆，為此，必須引入幾何邊界條件，對方程進行修改。

簡單實例5．約束處理、由于對位移未加任何限制，所以從方程(10.22本例節點1不能移動，即這里采用

主對角元置1法

即在中，將與零位移的元素改為零，主對角元素改為1；

對應的行和列（本例為第一行、第一列）同時將中