中學數學精品課件第二十七章相似相似三角形的判定第3課時

1.理解三角形相似的判定定理和直角三角形相似的特殊判定方法．2.能夠運用三角形相似的判定定理和直角三角形相似的特殊判定方法進行推理論證和計算．學習目標

1.三角形相似的判定方法.2.全等三角形與相似三角形的關系.復習鞏固

上一節課，我們猜測到以下的兩個命題，它們是不是

真命題呢?1.兩角分別相等的兩個三角形相似；2.斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似．這兩個命題是否真命題。新課導入

1．如何證明“兩角分別相等的兩個三角形相似”呢？如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，求證△ABC∽△A'B'C'．探究新知分析證明：在線段A'B'、A'C'（或它的延長線）上截取A'D=AB，A'E=AC,連接DE.證明∴△ABC∽△A'B'C'．探究新知：∵∠A=∠A'∴△A'DE≌△ABC∴∠A'DE=∠B,∠A'ED=∠C,DE=BC.又∵∠B=∠B'∴∠A'DE=∠B'∴DE//B'C'∴△A'DE∽△A'B'C'∵∠A=∠A',∠B=∠B',

∠C=∠C'

由此可得:兩角分別相等的兩個三角形相似．符號語言表示：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'∴△ABC∽△A'B'C'．探究新知

如圖，在Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘中，∠C=∠C'=90°，．求證Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．分析：要證Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，可設法證，只需證探究新知若設

證明：設，則AB=kA'B,AC=kA'C'．∴．∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'．由勾股定理得：探究新知

BDACEF解：∵∠B=∠C,

∠DFB=∠EFC∴△DFB∽△EFC(兩角分別相等的兩個三角形相似)∵∠B=∠C,

∠A=∠A∴△ABE∽△ACD(兩角分別相等的兩個三角形相似)例1.如圖：∠C=∠B,請指出圖中的相似三角形.例題解析

例2.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．E是AC上一點，AE=5，ED⊥AB，垂足為D．求AD的長．解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°．又∠C=90°，∠A=∠A，△AED∽△ABC．．∴例題解析∴

AECBD例3.如圖:AB=3AC,BD=2AE,且BD⊥AD,AE⊥EC,

求證：△ABD∽△CAE∵AB=2AC,BD=2AE∴Rt△ABD∽Rt△CAE例題解析證明：∵BD⊥AD,AE⊥EC,∴△ABD和△CAE都是直角三角形．∴

1．如圖，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB的長．解：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A∴△ABD∽△ACB．∴∴∴AD=4課堂練習∴

解：△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC證明：∵∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．∵∠CDB=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△CBD∽△ABC．課堂練習2．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似嗎？證明你的結論．

（1）已知：在等腰△ABC中，AB=AC，在等腰△A'B'C'中，A'B'=A'C'，且∠B=∠B'．求證△ABC∽△A'B'C'．∴△ABC∽△A'B'C'．課堂練習3．(1）底角相等的兩個等腰三角形是否相似？頂角相等的兩個等腰三角形呢？證明你的結論.證明：∵AB=AC∴∠B=∠C．∵A'B'=A'C'，∴∠B'=∠C'．又∠B=∠B'，∴∠C=∠C'．

（2）已知：在等腰△ABC中，AB=AC，在等腰△A'B'C'中，A'B'=A'C'，并且∠A=∠A'．求證△ABC∽△A'B'C'．證明：∵在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C，∴2∠B=180°-∠A．．同理，在△A'B'C'中，A'B'=A'C'，∠B'=∠C'，∴2∠B'=180°-∠A'．又∠A=∠A'，∴∠B=∠B'．∴△ABC∽△A'B'C'．課堂練習∴

三角形相似的判定方法共有幾種：1．通過定義（比較復雜，煩瑣）；2．平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似（只能在特定的圖形里面使用）；3．三邊對應成比例的兩個三角形相似；4．兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；5．兩角分別相等的兩個三角形相似；6．兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例．課堂小結相似三角形的判定第1課時

問題1相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形.根據所學相似多邊形的知識，你能給出相似三角形的定義嗎？對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.則△ABC∽△A′B′C′.用符號語言怎么表示呢？問題2

（1）兩個全等三角形一定相似嗎？為什么？相似比是多少？（2）兩個直角三角形一定相似嗎？為什么？兩個等腰直角三角形呢？（3）兩個等腰三角形一定相似嗎？為什么？兩個等邊三角形呢？問題3

判定三角形全等，我們并不是驗證六個條件，而是利用了幾個簡便的判定定理，那么判定三角形相似我們又能找到哪些簡便的方法呢？問題如圖，任意畫兩條直線a，b，再畫三條與a，b都相交的平行線l1，l2，l3．探究l1，l2，l3在直線a，b上截得的線段有什么關系．l3

l1l2ABDEFHab通過計算可以得到：，，，平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．說明：

①定理的條件是“兩條直線被一組平行線所截”；

②是“對應線段成比例”，注意“對應”兩字．l3

l1l2ABDEFHab（=），左上左下右上右下（=）．左下左上右下右上結論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．l2l3l1l3ll'ABCDEl2ABCDEl1ll'

如圖，在△ABC中，DE∥BC，且

DE分別交

AB，AC于點

D，E，△ADE與△ABC有什么關系？CABDE用相似的定義證明△ADE∽△ABCCABDE證明：在△ADE與△ABC中，∠A=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.如圖，過點D作DF∥AC，交BC于點F.F∵DE∥BC，DF∥AC，∴∵四邊形DFCE為平行四邊形，∴△ADE∽△ABC.∴平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．判定三角形相似的定理：

問題：如圖，DE∥BC，且DE分別交BA，CA的延長線于點D，E，△ABC與△ADE相似嗎？如何證明呢？DBAl3l1

l2CE

l4

l5CDBAEF思考：你能結合圖形，用文字語言和符號語言概括探索得到的結論嗎？平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似.若DE∥BC,則△ADE∽△ABC.例如圖，已知AB∥CD∥EF，下列結論正確的是（）D練習1.如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG=2，GD=1，DF=5，求的值.2.如圖，

在△ABC中，DE∥BC,且AD=3，DB=2.寫出圖中的相似三角形，并指出其相似比.拓展

如