8.1計數(shù)原理及排列組合（精講）一.兩個計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法；2.分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.二.排列、組合排列的定義從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列組合的定義作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)公式Anm＝n（n－1）·（n－2）…（n－mCnm＝A性質(zhì)Ann＝Cn0＝1，Cnm＝Cnn?m三．常用方法2.相鄰捆綁法3.不相鄰插空法4.定序倍縮法5.對于分堆與分配問題應(yīng)注意三點①處理分配問題要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的.③分堆時要注意是否均勻.6.相同元素隔板法一．計數(shù)原理的解題思路涂色問題常用的方法方法一：按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主的分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理方法二：按顏色為主分類討論，用分類加法計數(shù)原理分析組合問題1.“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取；2.“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復與漏解，用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.四．圓形排列問題n個不同的事物圍成一個圓時總的圍成方法有(n－1)！種．解決圓形排列問題時最關(guān)鍵的就是插空思想，即將某個部分插入另外幾個部分形成的空隙中考法一排列【例1】（2023廣東湛江）有7名學生，其中3名男生，4名女生，在下列不同條件下，求不同的排法種數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)全體站成一排，男生互不相鄰；(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；(5)男生順序已定，女生順序不定；(6)站成三排，前排2名同學，中間排3名同學，后排2名同學，其中甲站在中間排的中間位置；(7)7名同學站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；(8)7名同學坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．【答案】(1)2520；(2)1440；(3)3600；(4)3720；(5)840；(6)720；(7)960；(8)240.【解析】(1)從7人中選5人排列，不同的排法種數(shù)為．(2)先排女生，有種排法，再在女生之間及兩端的5個空位中任選3個空位排男生，有種排法，故不同的排法種數(shù)為．(3)方法一：先排甲，有5種排法，其余6人有種排法，故不同的排法種數(shù)為．方法二：左右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人，有種排法，其他位置有種排法，故不同的排法種數(shù)為．(4)方法一：分兩類：第一類，甲在最右邊，有種排法；第二類，甲不在最右邊，甲可從除去兩端的位置后剩下的5個中任選一個，有種排法，而乙可排在除去最右邊的位置及甲的位置后剩下的5個中任選一個，有種排法，其余人全排列，有種排法，故不同的排法種數(shù)為．方法二：7名學生全排列，有種排法，其中甲在最左邊時，有種排法，乙在最右邊時，有種排法，甲在最左邊、乙在最右邊都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種排法，故不同的排法種數(shù)為．(5)7名學生站成一排，有種排法，其中3名男生的排法有種，由于男生順序已定，女生順序不定，故不同的排法種數(shù)為．(6)首先把甲放在中間排的中間位置，則問題可以看作剩余6人的全排列，故不同的排法種數(shù)為．(7)先排出甲、乙、丙3人外的4人，有種排法，由于甲、乙相鄰故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人之間及兩端的5個空隙中，有種排法，故不同的排法種數(shù)為．(8)將甲、乙看作一個整體，相當于6名學生坐圓桌吃飯，有種排法，甲、乙兩人可交換位置，故不同的排法種數(shù)為．【一隅三反】1．（2023云南）有3名男生和4名女生，根據(jù)下列不同的要求，求不同的排列方法種數(shù)．(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；(3)全體排成一行，其中3名男生必須排在一起；(4)全體排成一行，男、女各不相鄰；(5)全體排成一行，3名男生互不相鄰；(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人．【答案】(1)2160；(2)3720；(3)720；(4)144；(5)1440；(6)840；(7)5040；(8)720.【解析】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三個位置可供甲選擇，有種排法，其余6人全排列，有種排法，由乘法原理得共有（種）排法；（2）解：位置分析法．先排最左邊，除去甲外有種排法，余下的6個位置全排有種排法，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法種，則符合條件的排法共有（種）；（3）解：捆綁法．將男生看成一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列，共有（種）排法；（4）解：插空法．先排男生，然后將女生插入其中的四個空位，共有（種）排法；（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（種）排法；（6）解：定序排列．7名學生排成一行，分兩步：第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N；第二步，對甲、乙、丙進行全排列．由乘法原理得，所以（種）；（7）解：與無任何限制的排列相同，即7個元素的全排列，有（種）排法；（8）解：從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間，有種排法，甲、乙互換位置，有種排法，甲、乙及中間3人看作一個整體和其余2人一起共3個元素排成一排，有種排法，所以共有（種）排法．2．（2023春·河南鄭州）有3名男生、4名女生，求滿足下列不同條件的排隊方法的種數(shù).(1)選其中5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排一排，女生必須站在一起；(5)全體排一排，男生互不相鄰；(6)全體排一排，甲、乙兩人中間恰好有3人；(7)全體排一排，甲必須排在乙的前面；(8)全體排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.【答案】(1)2520(2)5040(3)3600(4)576(5)1440(6)720(7)2520(8)3720【解析】（1）從人中選人排列，有（種）方法.（2）分兩步完成，先選人站前排，有種方法，余下人站后排，有種方法，則共有（種）方法.（3）先排甲，有種方法，其余六人有種，則共有（種）方法.（4）（捆綁法）：將女生看作一個整體與名男生全排列，有種方法，再將女生全排列，有種方法，則共有（種）方法.（5）（插空法）：先排女生，有種方法，再在女生之間及首尾個空位中任選個空位安排男生，有種方法，則共有（種）方法.（6）把甲乙及中間三人看作一個整體，第一步先排甲乙兩人有種方法，再從剩下的人中選人排到中間，有種方法，最后把甲乙及中間三人看作一個整體，與剩下兩人排列，有種，共有（種）方法.（7）（消序法）：（種）方法.（8）（間接法）：無限制排法有種，其中甲或乙在最左端或在最右端有種，是甲在最左端且乙在最右端的排法，共有（種）方法.3．（2023·廣東佛山）3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法數(shù)．(1)選5名同學排成一排；(2)全體站成一排，甲、乙不在兩端；(3)全體站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全體站成一排，男生站在一起、女生站在一起；(5)全體站成一排，男生排在一起；(6)全體站成一排，男生彼此不相鄰；(7)全體站成一排，男生各不相鄰、女生各不相鄰；(8)全體站成一排，甲、乙中間有2個人；(9)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(10)全體站成一排，乙不能站在甲左邊，丙不能站在乙左邊．【答案】(1)2520(2)2400(3)3720(4)288(5)720(6)1440(7)144(8)960(9)5040(10)840【解析】（1）無條件的排列問題，排法有種；（2）先安排甲乙在中間有種，再安排余下的5人有種，共有排法有種；（3）排法有種，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；（4）把男生看成一個整體共有種，再把女生看成一個整體有種，再把這兩個整體全排列，共有種排法；（5）即把所有男生視為一個整體，與4名女生組成五個元素全排列，共有種排法；（6）即不相鄰問題（插空法）：先排女生共種排法，男生在五個空中安插，有種排法，故共有種排法；（7）對比（6），讓女生插空，共有種排法；（8）（捆綁法）任取2人與甲、乙組成一個整體，與余下3個元素全排列，故共有種排法；（9）分步完成共有種排法；（10）由于乙不能站在甲左邊，丙不能站在乙左邊，故3人只能按甲、乙、丙這一種順序排列，7人的全排列共有種，甲、乙、丙3人全排列有種，而3人按甲、乙、丙順序排列是全排列中的一種，所以共有種排法.考法二組合【例2】（2023秋·課時練習）高二（1）班共有35名同學，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學參加活動．(1)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的選法有多少種？(2)恰有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？(3)至少有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？(4)至多有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？【答案】(1)5984；(2)2100；(3)2555；(4)6090.【解析】（1）從除指定女生外的34名同學中任取3名同學，有（種），所以某一女生不能在內(nèi)，不同的選法有5984種.（2）從20名男生中取1名，從15名女生中取2名，有（種），所以恰有2名女生在內(nèi)，不同的選法有2100種.（3）選取2名女生有種，選取3名女生有種，所以至少有2名女生在內(nèi)，不同的選法有（種）.（4）從35名同學中任選3名有種，選取3名女生有種，所以至多有2名女生在內(nèi)，不同的選法有（種）.【一隅三反】1．（2023春·江蘇淮安）平面上有9個點，其中有4個點共線，除此外無3點共線．(1)這9個點，可確定多少條不同的直線？(2)以這9個點中的3個點為頂點，可以確定多少個三角形？(3)以這9個點中的4個點為頂點，可以確定多少個四邊形？【答案】(1)31(2)80(3)105【解析】（1）方法一（直接法）共線的4點記為A，B，C，D.第一類：A，B，C，D確定1條直線第二類：A，B，C，D以外的5個點可確定條直線；第三類：從A，B，C，D中任取1點，其余5點中任取1點可確定條直線．根據(jù)分類計數(shù)原理，共有不同直線（條）．方法二（間接法）9個點取2個點共有種，4個共線點取2個共有種，以上均表示同一條直線，則可確定多少條不同的直線為（條）．（2）方法一（直接法）第一類：從A，B，C，D中取2個點，可得個三角形；第二類：從A，B，C，D中取1個點，可得個三角形；第三類：從其余5個點中任取3點，可得個三角形．共有（個）三角形方法二（間接法）9個點取3個點共有種，其中不能構(gòu)成三角形的則是在4個共線點取3個共有種，可確定三角形（個）．（3）方法一（直接法）分三類：從其余不共線的5個點中任取4個，3個，2個點共得（個）四邊形．方法二（間接法）9個點取4個點共有種，其中不構(gòu)成四邊形的分為兩類：第一類：4個點共線則有種，第二類其中3點來自于共線的4點，第4點來自于其余的5個點，則共有種，可確定四邊形（個）．2．（2023春·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）某個學習小組有4個男生，6個女生．(1)從中任選出4個學生，要求男生的個數(shù)不比女生少的選法有多少種？（用數(shù)字作答）(2)現(xiàn)安排4個男生參加運動會志愿者服務(wù)活動，有翻譯?導游?禮儀三項工作可以安排，（i）若每人都安排一項工作，則不同的選法有多少種？（用數(shù)字作答）（ii）若每項工作至少有1人參加，則不同的選法有多少種？（用數(shù)字作答）【答案】(1)(2)（i）（ii）【解析】（1）從中任選出4個學生，要求男生的個數(shù)不比女生少有三種情況，①2個男生2個女生，有種；②3個男生1個女生，有種；③4個男生0個女生，有種；故男生的個數(shù)不比女生少的選法有種；（2）（i）每人從三項工作可以選其中一項，4個男生共有選法；（ii）若每項工作至少有1人參加，4個男生必須有兩個人一組，其余兩個人一人一組，共有種分法，然后再把這三組分配到翻譯?導游?禮儀三項工作，共有種選法.3．（2023春·北京通州）從4名女生3名男生中選出3名學生去參加一項創(chuàng)新大賽．(1)選出3名學生中，恰有1名男生的選法有多少種？(2)選出3名學生中，既有女生又有男生的選法有多少種？(3)選出3名學生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內(nèi)的選法有多少種？【答案】(1)18(2)30(3)25【解析】（1）從3名男生中選出1名的選法有種，從4名女生選出2名的選法有種，所以選出的3名學生中，恰有1名男生的選法為．（2）選出的3名學生中，有1名女生2名男生的選法有種，有2名女生1名男生的選法有種，所以選出的3名學生中，既有女生又有男生的選法為種．（3）選出的3名學生中，女生中的甲在內(nèi)且男生中的乙不在內(nèi)的選法有種；女生中的甲不在內(nèi)且男生中的乙在內(nèi)的選法有種；女生中的甲在內(nèi)且男生中的乙也在內(nèi)的選法有種，所以選出的3名學生中，女生中的甲與男生中的乙至少有1名在內(nèi)的選法為種．考法三排列組合綜合運用【例31】（2023·青海西寧）按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30【解析】本有種選法;再從余下的本中選本有種選法;最后余下的本全選有(種)選法.（2）有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同三人,在題的基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再分配,共有.（3）無序均勻分組問題.先分三步,則應(yīng)是,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,記該種分法為(,,),則種分法中還有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有種情況,而這種情況僅是,,的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有.題的基礎(chǔ)上再分配給個人,共有分配方式(種).(種)分法.題的基礎(chǔ)上再分配給個人,共有分配方式(種).本有種選法,乙從余下本中選本有種選法,余下本留給丙有種選法,共有(種)選法.【例32】（2023·河北張家口·張家口市宣化第一中學校考三模）如圖，將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”，它是一個24等邊半正多面體．從它的棱中任取兩條，則這兩條棱所在的直線為異面直線的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當一條直線位置于上（或下）底面，另一條不在底面時，共有對異面直線，當兩條直線都位于上下底面時，有對異面直線，當兩條直線都不在上下底面時，有對異面直線，所以，兩條棱所在的直線為異面直線的概率為故選：B【例33】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）將一個四棱錐的每個頂點涂上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，若只有5種顏色可供使用，則共使用4種顏色的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖：若將四棱錐的每個頂點涂上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，有5種顏色可供使用，則有以下情況：若5種顏色都使用上，則四棱錐的五個頂點的顏色都不一樣，共有種不同涂色的方法；若只使用5種顏色中的4種，則四棱錐的五個頂點中與同色或與同色，共有種不同涂色的方法；若只使用5種顏色中的3種，則四棱錐的五個頂點中與同色且與同色，共有種不同涂色的方法，綜上，一共有種涂色方法，其中共使用4種顏色的涂色方法有240種，則共使用4種顏色的概率.故選：C【例34】（2023春·江蘇無錫）用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的自然數(shù)．(1)在組成的五位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)有多少？(2)在組成的五位數(shù)中，所有奇數(shù)的個數(shù)有多少?(3)在組成的五位數(shù)中，數(shù)字1和3相鄰的個數(shù)有多少?(4)在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30421排第幾個?【答案】(1)24(2)36(3)36(4)第54個【解析】（1）能被5整除的數(shù)的個位數(shù)字為0，其它位置任意排，則有個；（2）在組成的五位數(shù)中，先排個位數(shù)，從兩個奇數(shù)里選，然后排萬位數(shù)，不能為零，剩下其它位置任意排.所有奇數(shù)的個數(shù)有個；（3）在組成的五位數(shù)中，把數(shù)字1和3捆綁在一起，1和3可以交換位置，又最高位不為0，先安排0，有3個位置，其余位置任意排，則有個；（4）比30421小的五位數(shù)，若萬位為1或2，其余位置任意排，即，若萬位為3，比30421小的有5個，30124，30142，30214，30241，30412.從小到大排列，30421排第54個.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）（多選）若一個三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“凸數(shù)”，如231、354等都是“凸數(shù)”，用1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，則（

）A．組成的三位數(shù)的個數(shù)為60 B．在組成的三位數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)為30C．在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個數(shù)為30 D．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個數(shù)為20【答案】AD【解析】依題意，組成的三位數(shù)的個數(shù)為，故A正確；個位為，或時，三位數(shù)是奇數(shù)，則奇數(shù)的個數(shù)為，故B錯誤；則偶數(shù)有（個），故C錯誤；將這些“凸數(shù)”分為三類：①十位為，則有（種），②十位為，則有（種），③十位為，則有（種），所以在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個數(shù)為，故D正確．故選：AD．2．（2023浙江）如圖，用5種不同的顏色給圖中的、、、、、6個不同的點涂色，要求每個點涂1種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有種.【答案】1920【解析】依題意，完成涂色問題，至少用3種顏色，則計算不同的涂色方法種數(shù)可以有3類辦法：用5種顏色涂，有一組