教學目標

一、知識教育目標

1．引導學生熟讀課文，理清文章的論述線索，抓住作者的主要觀點；

2．通過學習，了解有關數學文化的一些知識。

二、能力培養目標

1．引導學生悉心體會作者對數學源頭的溯訪，感受其令人信服的推理能力和獨特的語言魅力；

2．鼓勵學生結合自己的學習經驗和閱讀積累，就作者所闡發的觀點作廣泛深入的研討，以提高探究能力。

三、德育滲透目標

引導學生像作者一樣，站在人類文化的高度來審視數學文化，激發熱愛科學的精神。

四、美育滲透目標啟發學生具有宏觀的文化視野，以科學精神勵志，以人文精神向學，開辟出一個語文學習的新境界。重點、難點、疑點及解決辦法

重點：

1．引導學生熟讀課文，理清文章的論述線索，抓住作者的主要觀點；

2．通過學習，了解有關數學文化的一些知識。

難點：

1．引導學生悉心體會作者對數學源頭的溯訪，感受其令人信服的推理能力和獨特的語言魅力；

2．鼓勵學生結合自己的學習經驗和閱讀積累，就作者所闡發的觀點作廣泛深入的研討，以提高探究能力。課時安排1課時教學步驟

一、明確目標

1．引導學生熟讀課文，理清文章的論述線索，抓住作者的主要觀點；

2．通過學習，了解有關數學文化的一些知識；

3．引導學生悉心體會作者對數學源頭的溯訪，感受其令人信服的推理能力和獨特的語言魅力；

二、整體感知

1．導入新課

“屈指可數”“彈指一揮見”，手指在生活中的計數功能，直接催生了數學這門科學，丹齊克的《指印》為我們揭開了這二者的關系（板書課題）。

2．作者及相關背景介紹丹齊克（1884—1956），原籍立陶宛，曾在巴黎大學求學。1910年去美國，入美國國籍，先后在哥倫比亞大學、約翰?霍普金斯大學、馬里蘭大學講授數學。

三、重點、難點的學習與目標達成過程

1．感知課文，明確本文的整體寫作思路。

（1）學生讀課文，整理文章的結構脈絡。

（2）小組交流討論。

【明確】數學作為科學的語言，在當代科技發展中具有重要的地位。本文作者饒有興味地給我們講述了數學的起源——人類計數的歷史。原來，讓現代人望而生畏的數學在它的起步階段并不是那么高深莫測，我們現在普遍采用的十進位制，只不過是原始人類以手指計數的遺跡。曾幾何時，我們的祖先無法把握數量的多少，面對生活的難題，他們困惑不已。然而人類的理性終于從紛繁的事物中抽象出數的概念，發展了數學思想，從而推動了社會文明的發展。

數字的起源，如同文字的起源一樣，是對人類心靈最具誘惑力的問題之一。作者在正文前面摘引古羅馬詩人奧維德的詩句，表現出古人在這方面的好奇和迷惘。

課文節選部分共6節。第1節，談人和動物的數覺。數覺是一種對數的原始直覺，是人和動物（如某些鳥類和昆蟲）都具有的一種本領，是對小數目東西數量的判斷能力。作者列舉了鳥類、蜂類的例子，說明這種本領不獨為人類所有。還講了莊園主驅趕烏鴉的故事，說明這種依靠本能對數的辨識能力是十分有限的，有時會因此丟掉性命。

第2節，作者進一步對上述例子加以分析，舉出了兩種意見。一種是正確的，即“具有這種數覺的動物只限于極少的幾類”，可能“只限于幾種昆蟲、幾種鳥類和整個人類”；一種是片面的，即認為“動物數覺的范圍實在太小，簡直可以略而不論”。作者在第2節中主要是針對這種意見進行了辯駁，指出“人類的數覺范圍也是十分有限的”，“如果人類單憑這種直接的數的直覺，在計算的技術上，就不會比鳥類有什么進步”。為了證明自己的觀點，作者首先界定了數覺的概念，指出人類借助圖形、心算、計數等輔助手段來識數不能算是數覺；另外，還從原始民族、原始語言和歐洲語言中找例證，如南非布須曼族表示數字的字只有一、二和多，英文、拉丁文、法文“三倍”（或“三”）都有表示“多”的意義。

第3節，繼續舉語言上的例子，指出很多原始語言表示數字的字都是具體的，沒有抽象的“數”，就連英語“集合”（Collection）、“集”（Aggregate）兩個表示數的抽象詞都是外來語。由此證明“具體的東西總在抽象的東西之先”，由具體的、駁雜的對數的表示法，到“統一的抽象的數概念”，是“數學發展的前提”。作者援引羅素的精彩論述，說明了人類抽象能力的發展，經過了漫長的歷史，讀之令人感喟。

第4節，進而談集合的對應和匹配原理。在現實生活場景中，“會堂的座位”與“出席的人”，可以通過比對看出多少來。但是這種比對的方法太笨了，既不能事先預知，也不能脫離現場來完成，于是產生了“各種模范集合”。模范集合起到了計量標準的作用，如同貨幣可以充當一般等價物一樣。這樣，人們要表示數字“二”時，就想到了“鳥的翼”；要表示數字“三”時，就想到了“苜蓿葉”；要表示數字“四”時，就想到了“獸足”；要表示數字“五”時，就想到了“自己的手指”。后來，這些模范集合的具體所指逐漸被淡化，人們只是習得了記住了它們的語音形式，拋棄了它們生動的模范的內容，于是較為抽象的數字產生了。

第5節，承接前面的話題，提出了基數與序數的概念。脫胎于模范集合、從“對應原則”產生出來的數，再抽象也是基數。單憑基數本身，是不能創造出“計數術”來的。一定要在對應中增加“序列”的概念，即完成由基數到序數的轉化，才能擺脫古老的煩瑣的“一一匹配”辦法，“創造出一種計算方法”，實現“識數”的質的飛躍。

第6節，繼續探討“基數與序數的微妙區別”，并從屈指計數方便靈活上，推斷“在用手指的時候，人類借助于這個工具，就不自覺地從基數轉進到序數”。作者的這種推斷，在許多語言中找到了“遺跡”，因為在許多語言中，“‘五’這個數，就用‘手’表示；而‘十’則用‘雙手’”。作者至此點明本章（本文是其前半部分）主題，指出“人類在計算方面之所以成功，應當歸功于十指分明”

閱讀本文，不但能增進我們對數字、計數起源的認識，也會在作者親切、信實的敘述中，領略到其語言的魅力，為作者探究數學文化的執著精神所感動。

2．研讀課文，討論問題。

（1）作者在論述中列舉了一些原始語言現象，是為了說明什么問題？

【明確】語言與數學似乎風馬牛不相及，其實不然。它們是兩種語言體系，而且在早期還具有同源關系。認識到這一點，才能深切體會到作者以大量原始語言現象說明數學起源問題的良苦用心。作者在論述中列舉了一些原始語言現象，是為了說明原始人類的數覺或表現數的方式，來闡述人類數學能力的發展歷程。如對南非的布須曼人只有一、二和“多”三個數字，間接說明了原始人類對數的感覺極為有限；對不列顛哥倫比亞的辛姆珊族語言的分析，論證了原始時代的數字經過了由多元具體系統到一元抽象系統的轉變過程。

（2）作者為什么說“數覺和計數不能混為一談”？它們有怎樣的區別？

【明確】區分數覺和計數是作者在文中反復申明的，它是人與動物的數學能力的本質區別。要通讀全文，才能充分理解作者這句話的深刻含義。這是作者自始至終強調的一個觀點，也是本篇立論的關鍵所在。數覺是人與動物都有的一種對于數的直覺，而且就這種能力來說，人也不比某些鳥類或昆蟲高明多少。但是計數是人類所獨有的，它借助于人類的“十指分明”得以起飛，演變為計數，成為全部數學發展的基礎。

（3）作為一篇談論數學文化的文章，本文具有怎樣的論述風格？

【明確】《數：科學的語言》一書主要是介紹數的概念及其發展歷史的，然而作者卻很少用艱深的數學語言來描述，盡量用日常語言娓娓道來，其目的是為了能讓更多的普通讀者讀懂這本書，以激發大眾對數學文化的關注和熱愛。本書原版有一個副標題，為“為有文化而非專攻數學的人寫的評論性概述”。所以，脈絡清晰，條理分明，語言親切、通俗是本書的主要特色，這在課文節選的部分也有突出的體現。另外，作者并沒有就數學論數學，而是站在人類文化發展的高度，來描述數學發展的軌跡。所以旁征博引，亦莊亦諧，妙趣橫生，可讀性極強。這些來自作者對數學文化深厚的理解和熱愛，來自他駕馭語言的能力，很值得我們借鑒和學習。〔導學新概念〕宇宙是怎樣誕生的?它從何而來?又向哪里去?斯蒂芬?霍金教授寫的《時間簡史》給了我們這樣的回答：我們現在生活的宇宙有自己的歷史起點，它大約誕生于150億年前，那時，宇宙只是一個點，不占有空間，也沒有時間的概念。在這一點發生了大爆炸，時間和空間從此開始，物質開始形成。最初，宇宙的溫度極高，隨著時間的推移，空間越來越大，溫度越來越低，宇宙中的能量與物質不斷發生復雜的反應，逐漸形成星系?？臻g繼續擴大、膨脹，直到今天，宇宙仍然在膨脹之中。大約在距今50億年前，太陽形成。大約在距今46億年前，地球形成。宇宙繼續膨脹，將來也會膨脹，也許在膨脹到一定程度后，宇宙開始收縮，可能會收縮成一個點，一個不占有空間的點。到那時，時間結束。到底會不會這樣，現在還說不定。大爆炸之前是怎么回事，不知道。永遠也無法知道。這就是大爆炸宇宙的基本理論。《時間簡史》出版于1988年，《宇宙的未來》是斯蒂芬?霍金1991年在劍橋大學的一次講演錄。本文重點是談作者對宇宙的未來作出的科學預言，閱讀時要準確地篩選出這些預言的觀點和支撐這些觀點的材料。同時，還應該體會這篇講演在語言上的幽默特點?！操Y料顯示屏〕《時間簡史》出版（1988年）后，劍橋的應用數學和理論物理系的氣氛有了微妙的變化，不斷有世界各地的報刊的記者要求訪問霍金，在以后的兩年時間里，電視臺工作人員不時地占用大樓，他們要為這位世界上最著名的科學家拍一部有關他生活的記錄片。在不同的國家用不同的語言反復講述同一故事：霍金如何憑著自己的勇敢克服了身體的殘疾成為科學的巨人和新聞媒介的英雄。一批又一批的新聞記者訪問了霍金在西爾弗大街那凌亂的辦公室，并和這位公眾新近的英雄度過激動人心的時刻?！端沟俜?霍金的科學生涯》（英）在中文里，“宇”是“上下四方”的意思，表示空間；“宙”是“古往今來”的意思，表示時間。宇宙的歷史，就是空間在時間上發展的過程，斯蒂芬?霍金以時間為序，研究我們所處的這個宇宙誕生、發展，以及它將來可能的狀況，因此，他把自己的書稱作《時間簡史》，實際上就是《宇宙簡史》?！渡倌臧媸澜缑藗饔?霍金傳》斯蒂芬?霍金的工作是令人驚嘆的，可是有著如此偉大發現的人，卻是一個身患肌萎縮癥的病人，除了思想，他幾乎全身不能動彈，不能說話，頭向前垂落。正因為這點，他更加引起全世界人們的關注和尊敬。在他開始患病時，他意識到自己的生命行將結束，于是抓緊時間，全心投入，誰也沒想到他不僅活了下來，而且成果累累。他的成功，當然離不開他的天才，但那種不向厄運低頭的精神，是沒有人不敬佩的。由此可見，人的精神力量是難以想象的，一個人要有精神，一個民族也要依靠精神，精神的力量往往可以超越世上難以逾越的障礙。——洪偉《宇宙的未來》教學設計三

一、自讀要求

1.能讀懂本演講錄的內容。

2.學習本文生動、幽默的演講風格。

3.感受科學精神，增進科學素養。

二、自讀重難點

1.提煉本文的要點，增強概括能力。

2.探究本文的內涵，增強分析能力。

三、課時安排二課時

四、【自讀程序】

第一課時

教學時間：第十六周星期一第二、三節

自讀內容：總的原則是：多次自讀，逐層領悟，逐個落實學習重點。具體如下：

一、初讀，總體感知。

結合注釋，通讀全文，總體感知。

讀后能用一句話簡要地說出本文講了什么。

明確：本文講的是宇宙的未來問題，預測了兩種結局：或膨脹，或收縮。

二、再讀，提煉要點。

要求比上一次讀得細一些，邊讀邊給課文分段，明確作者講了幾層意思，并提煉出要點。提煉要點的方法是：或者摘錄文中的語句，或者用自己的語言組織。

明確：

要點依次為：①科學家有信心預言未來。②巫師的預言模棱兩可，宗教的預言屢測屢敗。③物理方程、制約大腦的方程具有混沌性，因此我們不能預言人類；而宇宙的行為在非常大尺度下卻是簡單的，而不是混沌的，因此我們可以預言宇宙遙遠的未來。④宇宙的未來有兩種可能，一是繼續膨脹下去，二是收縮以至坍縮成一個點。是膨脹還是坍縮，取決于宇宙的平均密度。⑤宇宙現在的密度非常接近于把坍縮和膨脹區分開來的臨界點上，所以兩種可能都會發生。

三、三讀，探究內涵。

要求比上一次讀得更深入，能對某些語句的內涵進行分析，也能對作者的某個觀點進行評析，或者對作者的整個科學思想進行闡述分析。

“即使知道了制約宇宙的有關定律，我們仍然不能利用它們去預言遙遠的未來”?為什么第10段又說“盡管我們知道制約人類行為的方程，但在實際上我們不能預言它”?

明確：“因為物理方程的解會呈現出一種稱作混沌的性質”，“方程可能是不穩定的”；同樣，“制約大腦的方程幾乎肯定具有混沌行為，初始態的非常小的改變會導致非常不同的結果”。

“不能預言人類社會的未來”，卻“可以預言宇宙遙遠的未來”?

明確：因為前者是混沌的，不確定的；而“宇宙的行為在非常大尺度下是簡單的，而不是混沌的，因此我們可以預言宇宙遙遠的未來”。

宇宙的未來的預言與巫師、宗教預言家對人類社會未來的預言有何不同?

明確：前者是有科學根據的，是運用天體物理學理論進行的科學推測，科學預言；而后者是沒有科學根據可言的?！鋵?，從上面的題目就可知道，人類社會的未來根本就是無法預言的，因為方程是混沌的，所以巫師、宗教預言家對人類社會的預言注定就是荒唐的。

4.對宇宙未來的預言，關鍵是要弄清宇宙的什么問題?

明確：“對宇宙未來的預言，其關鍵問題在于：平均密度是多少?！?/p>

宇宙的未來會是怎樣的?

明確：會有兩種可能：“如果它比臨界值小，宇宙就將永遠膨脹，但是如果它比臨界值大，宇宙就會坍縮。”

四、交流討論。

交流討論可以在前三步之后綜合進行，對總體感知的情況、提煉要點的情況、探究內涵的情況依次進行交流討論?？梢韵仍谛〗M(前后桌為一組)內進行，然后每個小組選一人參與全班交流。

五、總結

本文是史蒂芬?霍金1991年1月在劍橋大學的一次演講錄。

這篇演講，從古代巫師的預言，談到近代宗教的預言，然后過渡到自己對宇宙未來的預言，結構嚴謹，重點突出。作者運用天體物理學理論，對宇宙未來作出了兩種預測，一是繼續膨脹下去；二是收縮以至坍縮成一個點。是膨脹還是收縮，取決于宇宙的平均密度?！叭绻扰R界值小，宇宙就將永遠膨脹。但是如果它比臨界值大，宇宙就會坍縮，而時間就會在大擠壓處終結。”可“現在密度似乎非常接近于把坍縮和無限膨脹區分開來的臨界密度”，所以兩種結果都有可能。

六、布置作業

第二課時

【自讀思考】

1.根據作者的論述，我們目前所能看到的宇宙物質最多是“臨界值”的百分之一，似乎不足以使宇宙坍縮。然而作者又指出，“也許存在足夠的暗物質，使宇宙最終坍縮”。宇宙中存在暗物質的證據是什么?作者又舉了哪兩種假說，說明現在的宇宙密度可能就在臨界狀態?

明確：宇宙中存在暗物質“一個證據來自于螺旋星系”，“必須存在某種看不見的物質形式，其引力吸引足以把這些旋轉的星系牢牢抓住”；“另一個證據來自于星系團”，“要不是引力吸引把星系抓到一起，這些星系團就會飛散開去……所以，在星系團中我們觀測到的星系以外必須存在額外的暗物質”。

作者為了說明現在的宇宙密度可能就在臨界狀態，列舉了兩種假說，“一種是所謂的人擇原理”，另一種是“極早期宇宙的暴漲理論”。

2.本文在論述過程中，常常用一些生動的比喻來說明事理。下列兩個比喻句各自說明了什么道理?

①“例如，如果你稍微改變一下你旋轉輪賭盤的方式，就會改變出來的數字。你在實際上不可能預言出來的數字，否則的話，物理學家就會在賭場發財。”

明確：用這個比喻生動地說明了“即使我們知道了制約宇宙的有關定律，我們仍然不能利用它們去預言遙遠的未來”。

②“這有一點像是再投胎。如果有人聲稱一個新生的嬰兒是和某一死者等同，如果該嬰兒沒從他的以前的生命遺傳到任何特征或記憶，這種聲稱有什么意義呢?人們可以同樣地講，它是完全不同的生命?！?/p>

明確：用這個比喻形象地說明宇宙在大擠壓處終結后，并不是任何發生在“之后”的事件都是另一個相分離的宇宙的部分。

(解說：此題旨在引導學生領會、學習作者善于用比喻來說理的技巧。)

3.這篇文章語言幽默風趣，在說明科學道理的同時，創造出一種輕松愉快的氣氛，體現了演講詞的特點。試舉出三個例子，分析其表達效果。

明確：

例如：①“……這些日期使股票市場下瀉。雖然它使我百思不解，為何世界的終結會使人愿意用股票來換錢，假定你在世界末日什么也帶不走的話?！边@句話讓人在笑聲中悟到人類自身的某些缺陷和某些思維誤區。②“據說，1844年是第二次回歸的開始，但是首先要數出獲救者名單。只有數完了名單，審判日才降臨到那些不列在名單上的人。幸運的是，數人名看來要花很長的時間?！边@句話幽默中含著揶揄和諷刺，揭露了宗教預言師的荒謬，表現了對方屢測屢敗卻又想方設法自圓其說的尷尬與可笑。③“如果暴漲理論是正確的，則宇宙實際上是處在刀鋒上。所以我正是繼承那些巫師或預言者的良好傳統，兩方下賭注，以保萬無一失?！甭牨娒髦髡咦龅氖强茖W的預言，和巫師他們完全不同，可作者卻有意將自己降為他們的同類，一是說明自己恰好也有兩種預測，二是順勢又對他們進行嘲諷。這種智慧的表達既帶來了輕松愉悅的氣氛，又大大增加了自己與聽眾的親和力。

2002年8月15日在浙江大學的公眾演講《膜的新奇世界》，讀后請用其中的原句提煉本段的要點，并同課文做比較閱讀，說說霍金在介紹深奧理論時喜歡采用什么方式來讓聽眾聽明白?

“按照我的意見，膜世界啟始的更遠為吸引人的解釋是，它作為真空中的起伏而自發產生。膜的產生有點像沸騰水中蒸氣泡的形成。水液體中包含億萬個H2O分子，它們在最靠近的鄰居之間耦合，并且擠在一起。當水被加熱上去，分子運動得更加快，并且相互彈開。這些碰撞偶然賦予分子如此高的速度，使得它們中的一群能擺脫它們的鍵，形成熱水圍繞著的蒸氣小泡泡。泡泡將以隨機的方式長大或縮小，這時液體中來的更多的分子參與到蒸氣中去，或者相反的過程。大多數小蒸氣泡將會重新塌縮成液體，但是有一些會長大到一定的臨界尺度，超過該尺度泡泡幾乎肯定會繼續成長。我們在沸騰時觀察到的正是這些巨大的膨脹的泡泡?！?/p>

明確：這是遷移運用題。體現本段要點的句子是“膜的產生有點像沸騰水中蒸氣泡的形成?！弊髡呦矚g用比喻的方式將深奧的理論說得通俗易懂。

5.課文中霍金對宇宙未來的預言，你怎么看?老師鼓勵學生發表有創見的觀點，只要態度科學，能自圓其說即可。

(解說：設計該題旨在引導學生獨立思考，培養獨立的人格，同時也培養獨立的科學精神。學生可以暢所欲言，比如認為霍金的觀點只是一家之言，只是一種推測，無法得到證實，他和愛因斯坦的相對論一樣，雖然都很偉大，但都只是一種理論，一種思想，缺少科學的實證，因此也都沒能獲得需要實證的諾貝爾獎。其他科學家站在另外的角度來思考來假設，或許會有不同的結論，不同的發現。所以青少年對霍金的觀點可以學習，可以接受，但不能迷信，不能束縛自己的思維。)

6.霍金的中國學生吳忠超教授這樣介紹史蒂芬?霍金：在相對論和引力論領域，霍金是繼愛因斯坦之后最偉大的代表人物。他的第一項工作是和彭羅斯一起證明了廣義相對論的奇性定理；第二項工作是創立了黑洞物理理論，其中有黑洞的無毛定理和黑洞視界面積增加定理；第三項工作是研究極早期宇宙和宇宙的創生，其量子宇宙學使人們單獨地從科學定律即能預言出宇宙中的一切。而他所有這些成就都是在他患盧伽雷病(肌肉萎縮性側面硬化病)后的