物理物理第11講萬(wàn)有引力定律目錄考點(diǎn)一天體質(zhì)量和密度的計(jì)算 1考點(diǎn)二衛(wèi)星運(yùn)行參量的比較與計(jì)算 2考點(diǎn)三衛(wèi)星變軌問題分析 4考點(diǎn)四宇宙速度的理解與計(jì)算 7考點(diǎn)五雙星或多星模型 10練出高分 13考點(diǎn)一天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1．解決天體(衛(wèi)星)運(yùn)動(dòng)問題的基本思路(1)天體運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源于天體之間的萬(wàn)有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)(2)在中心天體表面或附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．2．天體質(zhì)量和密度的計(jì)算(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r.①由萬(wàn)有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天體質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；②若已知天體半徑R，則天體的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可見，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度．（2023?昌平區(qū)二模）卡文迪什在1798年17卷《哲學(xué)學(xué)報(bào)》中發(fā)表他關(guān)于引力常量的測(cè)量時(shí)，曾提到他的實(shí)驗(yàn)是為了確定出地球的密度。已知引力常量為G，要想估測(cè)地球的密度，只需測(cè)得（）A．地球的質(zhì)量 B．地球的半徑 C．近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期 D．地球表面的重力加速度（2023?茂名二模）2022年11月29日我國(guó)“神舟十五號(hào)”載人飛船發(fā)射成功，并通過一系列加速變軌后與距離地面400km的空間站交匯對(duì)接，萬(wàn)有引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是（）A．變軌前A是空間站，B是飛船 B．飛船的發(fā)射速度可能小于7.9km/s C．完成對(duì)接后，飛船和空間站的運(yùn)行周期大于24小時(shí) D．若已知空間站的運(yùn)行周期和地球半徑，可以測(cè)量地球密度（2023?邢臺(tái)模擬）宇宙飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它的軌道距地心的距離等于地球半徑的k倍，它的運(yùn)動(dòng)周期為T，引力常量為G，則地球的平均密度ρ的表達(dá)式為（）A．??=3????3????2 B．??=3????3??2?? C．??=3??(??+1)3????2 D．??=3??(??+1)3????（2023?贛州二模）2022年10月9日，我國(guó)將衛(wèi)星“夸父一號(hào)”成功送入太陽(yáng)同步晨昏軌道。從宇宙中看，衛(wèi)星一方面可視為繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平面與地球的晨昏分界線共面，衛(wèi)星軌道離地高度h≈720km，周期T1≈100分鐘。另一方面衛(wèi)星隨地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期T2＝1年，衛(wèi)星軌道平面能保持垂直太陽(yáng)光線，如圖所示。已知地球的半徑為R，引力常量為G，則下列表述正確的是（）A．晨昏軌道平面與地球同步衛(wèi)星軌道平面重合 B．根據(jù)以上信息可以估算出地球的質(zhì)量 C．“夸父一號(hào)”的發(fā)射速度大于11.2km/s D．根據(jù)??3??23=(??+?)3??12可估算出地球到太陽(yáng)的距離r（2023?河南模擬）如圖所示，某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從衛(wèi)星觀測(cè)地球的最大張角為θ，已知地球的半徑為R，引力常量未知，忽略地球的自轉(zhuǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．θ越大，衛(wèi)星的運(yùn)行周期越長(zhǎng) B．θ越小，衛(wèi)星的線速度越大 C．若衛(wèi)星的周期已知，則可測(cè)得地球的質(zhì)量 D．若衛(wèi)星的線速度已知，則可測(cè)得地球表面的重力加速度考點(diǎn)二衛(wèi)星運(yùn)行參量的比較與計(jì)算1．衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律2．極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋．(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9km/s.(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心．（2023?漳州模擬）2022年7月24日，中國(guó)空間站間天實(shí)驗(yàn)艙發(fā)射成功。中國(guó)空間站組建完成后，將從空間站中釋放伴隨衛(wèi)星。如圖所示，空間站在離地高度約400km的圓軌道繞地球運(yùn)行，伴隨衛(wèi)星在橢圓軌道上繞地球運(yùn)行，P、Q分別為伴隨衛(wèi)星軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)，伴隨衛(wèi)星在P處時(shí)位于空間站正上方，伴隨衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸與空間站軌道半徑相等，僅考慮地球的引力作用。則（）A．空間站的角速度小于地球同步衛(wèi)星的角速度 B．空間站的線速度介于7.9km/s到11.2km/s之間 C．伴隨衛(wèi)星運(yùn)行到P點(diǎn)時(shí)，線速度比空間站的大 D．伴隨衛(wèi)星繞地球的運(yùn)行周期與空間站繞地球的運(yùn)行周期相等（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）2022年10月7日，中國(guó)太原衛(wèi)星發(fā)射中心在黃海海域使用長(zhǎng)征十一號(hào)海射運(yùn)載火箭，采用“一箭雙星”方式，成功將微厘空間低軌導(dǎo)航試驗(yàn)衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道。設(shè)兩顆衛(wèi)星軌道在赤道平面上，運(yùn)行方向相同，運(yùn)動(dòng)周期也相同，其中a衛(wèi)星為圓軌道，距離地面高度ha＝2R，b衛(wèi)星為橢圓軌道，近地點(diǎn)M距離地面高度為遠(yuǎn)地點(diǎn)N距離地面高度的一半，地球表面的重力加速度為g，a衛(wèi)星線速度大小為v1，b衛(wèi)星在近地點(diǎn)M時(shí)線速度大小為v2，在遠(yuǎn)地點(diǎn)N時(shí)線速度大小為v3，地球半徑為R，P點(diǎn)為兩個(gè)軌道的交點(diǎn)。下列說(shuō)法正確的是（）A．b衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)N距離地心距離為83R B．b衛(wèi)星從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的時(shí)間為3??3???? C．v1＞v2＞v3 D．a(chǎn)衛(wèi)星在P點(diǎn)受到地球的引力大于b衛(wèi)星在N點(diǎn)受到地球的引力（2023?遂寧三模）“神舟十三號(hào)”飛船開始在半徑為r1的圓軌道Ⅰ上運(yùn)行，運(yùn)行周期為T1，在A點(diǎn)通過變軌操作后進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)，沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)C時(shí)正好與處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ上的核心艙對(duì)接，A為橢圓軌道Ⅱ的近地點(diǎn)，BD為橢圓軌道Ⅱ的短軸。假設(shè)飛船質(zhì)量始終不變，關(guān)于飛船的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是（）A．沿軌道Ⅰ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能等于沿軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能 B．沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A時(shí)的速率大于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到C時(shí)的速率 C．沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為??12(??1+??32??1)3 D．沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的加速度小于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的加速度（2023?虹口區(qū)二模）探測(cè)器“夸父A”在距地球約150萬(wàn)公里的拉格朗日L1點(diǎn)，與地球一起以相同的公轉(zhuǎn)周期繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用以監(jiān)測(cè)太陽(yáng)活動(dòng)的發(fā)生及其伴生現(xiàn)象，則（）A．“夸父A”處于平衡狀態(tài) B．在相同時(shí)間內(nèi)，“夸父A”的位移相同 C．“夸父A”、地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的向心加速度相同 D．“夸父A”繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)的加速度（2023?包頭一模）如圖甲，兩小行星在同一平面內(nèi)繞中心天體的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得兩小行星之間的距離Δr隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖乙所示。下列說(shuō)法正確的是（）（不考慮兩小行星之間的作用力）A．a(chǎn)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T B．兩星的周期之比Ta：Tb＝1：4 C．兩星的線速度之比va：vb＝4：1 D．兩星的加速度之比aa：ab＝4：1考點(diǎn)三衛(wèi)星變軌問題分析1．當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增大時(shí)，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即萬(wàn)有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，脫離原來(lái)的圓軌道，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)減小．2．當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時(shí)，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即萬(wàn)有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，脫離原來(lái)的圓軌道，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)增大．衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理．（2023?房山區(qū)一模）我國(guó)一箭多星技術(shù)居世界前列，一箭多星是用一枚運(yùn)載火箭同時(shí)或先后將數(shù)顆衛(wèi)星送入軌道的技術(shù)。某兩顆衛(wèi)星釋放過程簡(jiǎn)化為如圖所示，火箭運(yùn)行至P點(diǎn)時(shí)，同時(shí)將A、B兩顆衛(wèi)星送入預(yù)定軌道。A衛(wèi)星進(jìn)入軌道1做圓周運(yùn)動(dòng)，B衛(wèi)星進(jìn)入軌道2沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)為橢圓軌道的近地點(diǎn)，Q點(diǎn)為遠(yuǎn)地點(diǎn)，B衛(wèi)星在Q點(diǎn)噴氣變軌到軌道3，之后繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)。下列說(shuō)法正確的是（）A．A衛(wèi)星在P點(diǎn)的加速度大于B衛(wèi)星在P點(diǎn)的加速度 B．A衛(wèi)星在軌道1的速度小于B衛(wèi)星在軌道3的速度 C．B衛(wèi)星從軌道2上Q點(diǎn)變軌進(jìn)入軌道3時(shí)需要噴氣減速 D．B衛(wèi)星沿軌道2從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)過程中引力做負(fù)功（2023?道里區(qū)校級(jí)三模）“天問一號(hào)”從地球發(fā)射后，在如圖甲所示的P點(diǎn)沿地火轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，再依次進(jìn)入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道，地球、火星繞太陽(yáng)軌道可視為圓軌道。則“天問一號(hào)”（）A．發(fā)射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間 B．從P點(diǎn)轉(zhuǎn)移到O點(diǎn)的時(shí)間小于6個(gè)月 C．在地火轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度均大于地球繞太陽(yáng)的速度 D．在環(huán)繞火星的停泊軌道運(yùn)行的周期比在調(diào)相軌道上的周期小（2023?杭州二模）如圖所示，是某火星探測(cè)器簡(jiǎn)化飛行路線圖，其地火轉(zhuǎn)移軌道是橢圓軌道。假設(shè)探測(cè)器在近日點(diǎn)P點(diǎn)進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道，在遠(yuǎn)日點(diǎn)Q，被火星俘獲。已知火星的軌道半徑是地球地火軌道半徑的1.5倍，則轉(zhuǎn)軌道（）A．地球公轉(zhuǎn)的周期大于火星公轉(zhuǎn)的周期 B．探測(cè)器進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道后，速度逐漸增大 C．探測(cè)器在地火轉(zhuǎn)移軌道上的周期大于火星的公轉(zhuǎn)周期 D．探測(cè)器從發(fā)射到被火星俘獲，經(jīng)歷的時(shí)間約255天（2023?南京模擬）2023年1月21日，神舟十五號(hào)3名航天員在400km高的空間站向祖國(guó)人民送上新春祝福，空間站的運(yùn)行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ，設(shè)地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，橢圓軌道Ⅱ?yàn)檩d人飛船運(yùn)行軌道，兩軌道相切于A點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．在A點(diǎn)時(shí)神舟十五號(hào)經(jīng)過點(diǎn)火加速才能從軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ B．飛船在A點(diǎn)的加速度小于空間站在A點(diǎn)的加速度 C．空間站在軌道Ⅰ上的速度小于???? D．軌道Ⅰ上的神舟十五號(hào)飛船想與前方的空間站對(duì)接，只需要沿運(yùn)動(dòng)方向加速即可（2023?湛江一模）2022年11月30日，神舟十五號(hào)載人飛船與“天和核心艙”完成對(duì)接，航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸進(jìn)入“天和核心艙”。對(duì)接過程的示意圖如圖所示，“天和核心艙”處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ；神舟十五號(hào)飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ，運(yùn)行周期為T1，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B處與“天和核心艙”對(duì)接。則神舟十五號(hào)飛船（）A．由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ需在A點(diǎn)減速 B．沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為T2＝T1(2??1??1+??3)3 C．在軌道Ⅰ上A點(diǎn)的加速度大于在軌道Ⅱ上A點(diǎn)的加速度 D．在軌道Ⅲ上B點(diǎn)的線速度大于在軌道Ⅱ上B點(diǎn)的線速度考點(diǎn)四宇宙速度的理解與計(jì)算1．第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度．推導(dǎo)過程為：由mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)＝eq\f(GMm,R2)得：v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s.2．第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的速度．3．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度．注意(1)兩種周期——自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的不同．(2)兩種速度——環(huán)繞速度與發(fā)射速度的不同，最大環(huán)繞速度等于最小發(fā)射速度．(3)兩個(gè)半徑——天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的不同．(4)第二宇宙速度(脫離速度)：v2＝11.2km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度．(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7km/s，使物體掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度．（2023?滁州二模）地球環(huán)境的變化，大家都是有目共睹的，也許將來(lái)有一天真的不再適合人類居住，電影《流浪地球》里的選擇是帶著地球一起流浪，而現(xiàn)實(shí)中，有人選擇移居火星。火星是靠近地球的類地行星，已知地球質(zhì)量約為火星質(zhì)量的10倍，地球半徑約為火星半徑的2倍；設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周期為T、地球表面的重力加速度為g、地球的第一宇宙速度為v、地球的密度為ρ，則（）A．火星的公轉(zhuǎn)周期為22?? B．火星表面的重力加速度約為25?? C．火星的第一宇宙速度約為15?? D．火星的密度約為54??（2023?聊城一模）材料的力學(xué)強(qiáng)度是材料眾多性能中被人們極為看重的一種性能，目前已發(fā)現(xiàn)的高強(qiáng)度材料碳納米管的抗拉強(qiáng)度是鋼的100倍，密度是鋼的16，這使得人們有望在赤道上建造垂直于水平面的“太空電梯”。當(dāng)航天員乘坐“太空電梯”時(shí)，地球引力對(duì)航天員產(chǎn)生的加速度a與r的關(guān)系用圖乙中圖線A表示，航天員由于地球自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的向心加速度大小與r的關(guān)系用圖線B表示，其中r為航天員到地心的距離，R為地球半徑。關(guān)于相對(duì)地面靜止在不同高度的航天員，下列說(shuō)法正確的是（）A．航天員在r＝R處的線速度等于第一宇宙速度 B．圖中r0為地球同步衛(wèi)星的軌道半徑 C．隨著r增大，航天員運(yùn)動(dòng)的線速度一直減小 D．隨著r增大，航天員受到電梯艙的彈力減小（多選）（2023?蚌埠模擬）2021年5月15日，我國(guó)“祝融號(hào)”火星車在火星表面軟著陸時(shí)，豎直向下經(jīng)t時(shí)間由速度v0勻減速到零完成平穩(wěn)降落。已知火星車的質(zhì)量為m，火星質(zhì)量是地球的a倍，火星半徑是地球的b倍，地球表面重力加速度為g，不計(jì)火星的大氣阻力，則（）A．減速過程著陸器的位移為v0t B．火星的平均密度是地球的????2倍 C．火星的第一宇宙速度是地球的????倍 D．減速過程中著陸器受到的制動(dòng)力大小為??(????2??+??0??)（多選）（2023?山西模擬）“祝融號(hào)”火星探測(cè)器于2021年5月22日成功著陸火星，至今依然活躍。若測(cè)得火星表面赤道位置的重力加速度為g，而兩極的重力加速度為g0，且知火星自轉(zhuǎn)周期T，并將火星視為理想勻質(zhì)球體，則下列判斷中正確的有（）A．火星的半徑為(??0???)??24??2 B．火星的半徑為(?????0)??24??2 C．火星的第一宇宙速度為??2????0(??0???) D．火星的第一宇宙速度為??2????(?????0)（多選）（2020?岳陽(yáng)一模）在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，由靜止向下運(yùn)動(dòng)，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖中P線所示．在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a﹣x關(guān)系如圖中Q線所示．已知M、N兩星球的半徑相等，不計(jì)星球表面的氣體阻力，則（）A．M、N星球表面的重力加速度大小之比是2：1 B．P、Q的質(zhì)量大小之比是1：5 C．P、Q下落的最大速度之比是2：1 D．M、N兩星球的第一宇宙速度之比是2：1考點(diǎn)五雙星或多星模型繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖6所示，雙星系統(tǒng)模型有以下特點(diǎn)：圖6(1)各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2(2)兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L(4)兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)(5)雙星的運(yùn)動(dòng)周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))(6)雙星的總質(zhì)量公式m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)（2023?河北模擬）科學(xué)家觀測(cè)發(fā)現(xiàn)銀河系的“MAXIJ1820+070”是一個(gè)由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，若系統(tǒng)中黑洞與恒星的中心距離為L(zhǎng)，黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度為a，恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度為a?，則黑洞做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為（）A．??????+??' B．?????????' C．2??????+??' D．2?????????'“雙星系統(tǒng)”由相距較近的星球組成，每個(gè)星球的半徑均遠(yuǎn)小于兩者之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體，它們?cè)诒舜说娜f(wàn)有引力作用下，繞某一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，某一雙星系統(tǒng)中A星球的質(zhì)量為m1，B星球的質(zhì)量為m2，它們球心之間的距離為L(zhǎng)，引力常量為G，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B星球的軌道半徑為??2??1+??2?? B．A星球運(yùn)行的周期為2????????(??1+??2) C．A星球和B星球的線速度大小之比為m1：m2 D．若在O點(diǎn)放一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則它受到兩星球的引力之和一定為零（2023?南充模擬）“黑洞”是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋“黑洞”的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX﹣3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成。不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，若將可見星A所受暗星B的引力等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m'的星體對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，則（）A．??'=??12??1+??2 B．??'=??22??1+??2 C．??'=??13(??1+??2)2 D．??'=??23(??1+??2)2（2022?江門模擬）宇宙用有一孤立星系，中心天體對(duì)周圍有三顆行星，如圖所示，中心天體質(zhì)量大于行星質(zhì)量，不考慮行星之間的萬(wàn)有引力，行星Ⅰ、Ⅲ為圓軌道，半徑分別為r1，r3，行星Ⅱ?yàn)闄E圓軌道，半長(zhǎng)軸為a，a＝r3，與行星Ⅰ軌道在B點(diǎn)相切，下列說(shuō)法正確的是（）A．行星Ⅱ與行星Ⅲ的運(yùn)行周期相等 B．行星Ⅱ在P點(diǎn)與行星Ⅲ在D點(diǎn)時(shí)的加速度相同 C．行星Ⅲ的速率大于行星Ⅱ在B點(diǎn)的速率 D．行星Ⅰ的速率與行星Ⅱ在B點(diǎn)的速率相等（多選）近年科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，在宇宙中，三恒星系統(tǒng)約占所有恒星系統(tǒng)的十分之一，可見此系統(tǒng)是一個(gè)比較常見且穩(wěn)定的系統(tǒng)。在三恒星系統(tǒng)中存在這樣一種運(yùn)動(dòng)形式：忽略其他星體對(duì)它們的作用，三顆星體在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在平面內(nèi)以相同角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示為A、B、C三顆星體質(zhì)量mA、mB、mC大小不同時(shí)，星體運(yùn)動(dòng)軌跡的一般情況。設(shè)三顆星體在任意時(shí)刻受到的萬(wàn)有引力的合力大小分別為F1、F2、F3，加速度大小分別為a1、a2、a3，星體軌跡半徑分別為RA、RB、RC，下列說(shuō)法正確的是（）A．若三顆星體質(zhì)量關(guān)系有mA＝mB＝mC，則三顆星體運(yùn)動(dòng)軌跡圓為同一個(gè) B．若三顆星體運(yùn)動(dòng)軌跡半徑關(guān)系有RA＜RB＜RC，則三顆星體質(zhì)量大小關(guān)系為mA＜mB＜mC C．F1、F2、F3的矢量和一定為0，與星體質(zhì)量無(wú)關(guān) D．a(chǎn)1、a2、a3的矢量和一定為0，與星體質(zhì)量無(wú)關(guān)練出高分一．選擇題（共10小題）1．（2023?河北區(qū)二模）據(jù)中國(guó)載人航天工程辦公室消息，中國(guó)空間站已全面建成，我國(guó)載人航天工程“三步走”發(fā)展戰(zhàn)略已從構(gòu)想成為現(xiàn)實(shí)。目前，空間站組合體在軌穩(wěn)定運(yùn)行，神舟十五號(hào)航天員乘組狀態(tài)良好，計(jì)劃于今年6月返回地面。空間站繞地球飛行的軌道可視為圓軌道。空間站運(yùn)行軌道距地面的高度為400km左右，地球同步衛(wèi)星距地面的高度接近36000km。則空間站的（）A．角速度比地球同步衛(wèi)星的小 B．周期比地球同步衛(wèi)星的長(zhǎng) C．線速度比地球同步衛(wèi)星的小 D．向心加速度比地球同步衛(wèi)星的大2．（2023?潮州二模）2022年11月29日神舟十五號(hào)飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空，飛船入軌后按照預(yù)定程序，成功與我國(guó)空間站軌道核心艙進(jìn)行自主快速交會(huì)對(duì)接。已知空間站運(yùn)行在離地面高為116??的圓軌道上（R為地球半徑），下列說(shuō)法正確的是（）A．空間站在軌道上飛行的速度大于9km/s B．空間站中的一根天線脫落將做自由落體運(yùn)動(dòng) C．成功對(duì)接后，空間站由于質(zhì)量增大，軌道半徑將變小 D．入軌后飛船內(nèi)的宇航員所受地球的萬(wàn)有引力大小約為他在地面時(shí)的(1617)23．（2023?豐臺(tái)區(qū)二模）兩個(gè)天體組成雙星系統(tǒng)，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。科學(xué)家在地球上用望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)由兩個(gè)小行星構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，看到一個(gè)亮度周期性變化的光點(diǎn)，這是因?yàn)楫?dāng)其中一個(gè)天體擋住另一個(gè)天體時(shí)，光點(diǎn)亮度會(huì)減弱。科學(xué)家用航天器以某速度撞擊該雙星系統(tǒng)中較小的小行星，撞擊后，科學(xué)家觀測(cè)到光點(diǎn)明暗變化的時(shí)間間隔變短。不考慮撞擊后雙星系統(tǒng)的質(zhì)量變化。根據(jù)上述材料，下列說(shuō)法正確的是（）A．被航天器撞擊后，雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期變大 B．被航天器撞擊后，兩個(gè)小行星中心連線的距離增大 C．被航天器撞擊后，雙星系統(tǒng)的引力勢(shì)能減小 D．小行星質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)的軌道越容易被改變4．（2023?重慶模擬）圖1為電影《流浪地球2》中的太空電梯，又稱為“斯科拉門德快速電梯”，是一種可以在地球表面和太空間來(lái)回運(yùn)輸人員和物資的巨型結(jié)構(gòu)。圖2為其簡(jiǎn)易圖，固定在空間站和地球間的剛性“繩索”與空間站一起和地球保持相對(duì)靜止，電梯可沿“繩索”升降，則（）A．空間站繞地球運(yùn)行的向心力小于地球?qū)λ娜f(wàn)有引力 B．空間站繞地球運(yùn)行的向心力等于地球?qū)λ娜f(wàn)有引力 C．若連接空間站處的“繩索”斷裂，空間站將落回地面 D．若連接空間站處的“繩索”斷裂，空間站做離心運(yùn)動(dòng)5．（2023?滄州一模）科幻電影《流浪地球》中，地球需借助木星的“引力彈弓”效應(yīng)加速才能成功逃離太陽(yáng)系。然而由于行星發(fā)動(dòng)機(jī)發(fā)生故障使得地球一度逼近木星的“洛希極限”，險(xiǎn)象環(huán)生。“洛希極限”是一個(gè)距離，可粗略認(rèn)為當(dāng)?shù)厍蚺c木星的球心間距等于該值時(shí)，木星對(duì)地球上物體的引力約等于其在地球上的重力，地球?qū)?huì)傾向碎散。已知木星的“洛希極限”??≈32??木，其中R木為木星的半徑，約為地球半徑R的11倍。則根據(jù)上述條件可估算出（）A．木星的第一宇宙速度約為7.9km/s B．木星的第一宇宙速度約為16.7km/s C．木星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的94倍 D．木星的密度約為地球密度的944倍6．（2023?上饒一模）北京時(shí)間2023年1月15日11時(shí)14分，我國(guó)在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)丁運(yùn)載火箭，以“一箭十四星”發(fā)射方式，成功將齊魯二號(hào)/三號(hào)衛(wèi)星及珞珈三號(hào)01星、吉林一號(hào)高分03D34星等4顆衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功．假設(shè)其中的甲、乙兩顆衛(wèi)星均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，甲的軌道半徑是乙的2倍，甲的質(zhì)量也是乙的2倍．則（）A．由v=????可知，甲的速度是乙的2倍 B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍 C．由F＝G??????2可知，甲的向心力是乙的14 D．由??3??2=k可知，甲的周期是乙的22倍7．（2023?安慶模擬）中國(guó)原創(chuàng)科幻電影《流浪地球2》近期火爆全球，片中高聳入云、連接天地的太空電梯運(yùn)行場(chǎng)景令人震撼，其通過高強(qiáng)度纜繩將地球同步軌道上的空間站與其正下方赤道上的固定物連接在一起，在引力的作用下，纜繩處于緊繃狀態(tài)。若載滿乘客的太空電梯因機(jī)械故障懸停在纜繩中間處，下列說(shuō)法正確的是（）A．懸停時(shí)太空電梯所受合外力為零 B．懸停時(shí)電梯內(nèi)乘客處于完全失重狀態(tài) C．懸停時(shí)太空電梯的速度大于空間站的速度 D．懸停時(shí)太空電梯的速度小于在同樣高度繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的速度8．（2023?通州區(qū)一模）2022年6月5日，我國(guó)的神舟十四號(hào)載人飛船與距地表約400km的空間站完成徑向交會(huì)對(duì)接。徑向交會(huì)對(duì)接是指飛船沿與空間站運(yùn)動(dòng)方向垂直的方向和空間站完成對(duì)接。對(duì)接前，飛船在空間站正下方200米的“保持點(diǎn)”處調(diào)整為垂直姿態(tài)（如圖所示），并保持相對(duì)靜止。準(zhǔn)備好后，再逐步上升到“對(duì)接點(diǎn)”與空間站完成對(duì)接。飛船和空間站對(duì)接后，組合體繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知地球同步衛(wèi)星位于地面上方高度約36000km處。下列說(shuō)法正確的是（）A．飛船維持在“保持點(diǎn)”的狀態(tài)時(shí)，它的運(yùn)動(dòng)速度大于空間站運(yùn)動(dòng)速度 B．飛船維持在“保持點(diǎn)”的狀態(tài)時(shí)，需要開動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)給飛船提供一個(gè)背離地心的推力 C．與地球同步衛(wèi)星相比，組合體的運(yùn)動(dòng)周期更大 D．飛船一直加速才能從“保持點(diǎn)”上升到“對(duì)接點(diǎn)”9．（2023?黃山模擬）三月春來(lái)早，北斗農(nóng)機(jī)來(lái)報(bào)到，基于北斗的自動(dòng)駕駛農(nóng)機(jī)能夠按照既定路線進(jìn)行精準(zhǔn)春耕作業(yè)，精細(xì)化程度顯著提升，雖然我國(guó)的北斗系統(tǒng)起步最晚，但“后來(lái)居上”，成為可與美國(guó)GPS媲美的最先進(jìn)的全球?qū)Ш蕉ㄎ幌到y(tǒng)。如圖是北斗三號(hào)衛(wèi)星系統(tǒng)三種衛(wèi)星的參數(shù)，地球球體半徑為6400km，以下說(shuō)法正確的是（）表1北斗三號(hào)衛(wèi)星功能特點(diǎn)北斗衛(wèi)星MEO衛(wèi)星（24）GEO衛(wèi)星（3）IGSO衛(wèi)星（3）名稱中圓軌道衛(wèi)星地球靜止軌道衛(wèi)星傾斜地球同步軌道衛(wèi)星軌道高度2萬(wàn)公里左右，三個(gè)軌道面，保持55°的傾角3.6萬(wàn)公里左右3.6萬(wàn)公里左右星下點(diǎn)估計(jì)繞著地區(qū)劃波浪投影一個(gè)點(diǎn)鎖定區(qū)域畫8字功能特點(diǎn)環(huán)繞地球運(yùn)行實(shí)現(xiàn)全球?qū)Ш蕉ㄎ弧⒍虉?bào)文通信、國(guó)際救援承載區(qū)域短報(bào)文通信與GEO互補(bǔ)，對(duì)亞太區(qū)域可重點(diǎn)服務(wù)A．MEO衛(wèi)星速度大于7.9km/s B．GEO衛(wèi)星可以相對(duì)靜止在我國(guó)某地上空 C．GEO衛(wèi)星和IGSO衛(wèi)星24h一定會(huì)相遇一次 D．MEO衛(wèi)星周期T一定小于24h10．（2023?凱里市校級(jí)模擬）北京時(shí)間2022年11月29日23點(diǎn)08分，我國(guó)成功發(fā)射神舟十五號(hào)載人飛船，在太空與在軌的神舟十四號(hào)乘組對(duì)接，這是我國(guó)航天史上首次實(shí)現(xiàn)兩載人飛船在太空中對(duì)接。神舟十五號(hào)載人飛船和在軌的神舟十四號(hào)載人飛船對(duì)接前運(yùn)行可簡(jiǎn)化為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，神舟十五飛船繞A軌道運(yùn)行的周期為T1，神舟十四號(hào)飛船繞B軌道運(yùn)行的周期為T2，在某時(shí)刻兩飛船相距最近，軌道B離地高度約為400km。下列說(shuō)法正確的是（）A．兩飛船下一次相距最近需經(jīng)過時(shí)間??=??1??2??1+??2 B．神舟十五、十四兩飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之比為(??1??2)23 C．神舟十五號(hào)飛船要與在軌的神舟十四號(hào)飛船對(duì)接，需要向其運(yùn)動(dòng)方向噴氣 D．神舟十五號(hào)飛船對(duì)接后的向心加速度小于地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度二．計(jì)算題（共3小題）11．（2023?西城區(qū)二模）建立物理模型是解決實(shí)際問題的重要方法。（1）如圖1所示，圓和橢圓是分析衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)常用的模型。已知，地球質(zhì)量為M，半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G。a．衛(wèi)星在近地軌道Ⅰ上圍繞地球的運(yùn)動(dòng)，可視做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑近似等于地球半徑。求衛(wèi)星在近地軌道Ⅰ上的運(yùn)行速度大小v。b．在P點(diǎn)進(jìn)行變軌操作，可使衛(wèi)星由近地軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的情況較為復(fù)雜，研究時(shí)我們可以把橢圓分割為許多很短的小段，衛(wèi)星在每小段的運(yùn)動(dòng)都可以看作是圓周運(yùn)動(dòng)的一部分（如圖2所示）。這樣，在分析衛(wèi)星經(jīng)過橢圓上某位置的運(yùn)動(dòng)時(shí)，就可以按其等效的圓周運(yùn)動(dòng)來(lái)分析和處理。衛(wèi)星在橢圓軌道Ⅱ的近地點(diǎn)P的速度為v1，在遠(yuǎn)地點(diǎn)D的速度為v2，遠(yuǎn)地點(diǎn)D到地心的距離為r。根據(jù)開普勒第二定律（對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等）可知v1R＝v2r，請(qǐng)你根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律推導(dǎo)這一結(jié)論。（2）在科幻電影《流浪地球》中有這樣一個(gè)場(chǎng)景：地球在木星的強(qiáng)大引力作用下，加速向木星靠近，當(dāng)?shù)厍蚺c木星球心之間的距離小于某個(gè)值d時(shí)，地球表面物體就會(huì)被木星吸走，進(jìn)而導(dǎo)致地球可能被撕裂。這個(gè)臨界距離d被稱為“洛希極限”。已知，木星和地球的密度分別為ρ0和ρ，木星和地球的半徑分別為R0和R，且d?R。請(qǐng)據(jù)此近似推導(dǎo)木星使地球產(chǎn)生撕裂危險(xiǎn)的臨界距離d—“洛希極限”的表達(dá)式。【提示：當(dāng)x很小時(shí)，（1+x）n≈1+nx。】12．（2023?銅仁市模擬）我國(guó)航天技術(shù)水平在世界處于領(lǐng)先地位，對(duì)于人造衛(wèi)星的發(fā)射，有人提出了利用“地球隧道”發(fā)射人造衛(wèi)星的構(gòu)想：沿地球的一條弦挖一通道，在通道的兩個(gè)出口處分別將等質(zhì)量的待發(fā)射衛(wèi)星部件同時(shí)釋放，部件將在通道中間位置“碰撞組裝”成衛(wèi)星并靜止下來(lái)；另在通道的出口處由靜止釋放一個(gè)大質(zhì)量物體，大質(zhì)量物體會(huì)在通道與待發(fā)射的衛(wèi)星碰撞，只要物體質(zhì)量相比衛(wèi)星質(zhì)量足夠大，衛(wèi)星獲得足夠速度就會(huì)從對(duì)向通道口射出。（以下計(jì)算中，已知地球的質(zhì)量為M0，地球半徑為R0，引力常量為G，可忽略通道AB的內(nèi)徑大小和地球自轉(zhuǎn)影響。）（1）如圖甲所示，將一個(gè)質(zhì)量為m0的質(zhì)點(diǎn)置于質(zhì)量分布均勻的球形天體內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)離球心O的距離為r。已知天體內(nèi)部半徑在r～R之間的“球殼”部分（如甲示陰影部分）對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為零，求質(zhì)點(diǎn)所受萬(wàn)有引力的大小Fr。（2）如圖乙所示，設(shè)想在地球上距地心h處沿弦長(zhǎng)方向挖了一條光滑通道AB，一個(gè)質(zhì)量為m。的質(zhì)點(diǎn)在離通道中心O'的距離為x處，求質(zhì)點(diǎn)所受萬(wàn)有引力沿弦AB方向的分力Fx；將該質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)靜止釋放，求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)通道中心O'處時(shí)的速度大小v0。（3）如圖丙所示，如果質(zhì)量為m的待發(fā)射衛(wèi)星已靜止在通道中心O'處，由A處?kù)o止釋放另一質(zhì)量為M的物體，物體到達(dá)O'處與衛(wèi)星發(fā)生彈性正碰，設(shè)M遠(yuǎn)大于m，計(jì)算時(shí)可取????≈0。衛(wèi)星從圖丙示通道右側(cè)B處飛出，為使飛出速度達(dá)到地球第一宇宙速度，h應(yīng)為多大？13．（2022?西城區(qū)校級(jí)四模）“星空浩瀚無(wú)比，探索永無(wú)止境。”人類從未停止對(duì)宇宙的探索，中國(guó)航天事業(yè)正在創(chuàng)造更大的輝煌。（1）變軌技術(shù)是航天器入軌過程中的重要一環(huán)。實(shí)際航行中的變軌過程較為復(fù)雜，為方便研究我們將航天器的變軌過程簡(jiǎn)化為如圖1所示的模型：①將航天器發(fā)射到近地圓軌道1上；②在A點(diǎn)點(diǎn)火加速使航天器沿橢圓軌道2運(yùn)行，軌道1和軌道2相切于A點(diǎn)，A、B分別為軌道2的近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)，地球的中心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)；③在遠(yuǎn)地點(diǎn)B再次點(diǎn)火加速，航天器沿圓軌道3運(yùn)行，軌道2和軌道3相切于B點(diǎn)。已知引力常量為G，地球的質(zhì)量為M，軌道1半徑為R，軌道3半徑為3R，質(zhì)量為m的物體與地球間的引力勢(shì)能????=?????????（r為物體到地心的距離，取無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零）。a.求航天器在圓軌道1上運(yùn)行時(shí)的速度大小v；b.開普勒第二定律表明：航天器在橢圓軌道2上運(yùn)行時(shí)，它與地球中心的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。請(qǐng)根據(jù)開普勒第二定律和能量守恒定律，求航天器在橢圓軌道2近地點(diǎn)A的速度大小vA。（2）在航天器到達(dá)預(yù)定高度后，通常使用離子推進(jìn)器作為動(dòng)力裝置再進(jìn)行姿態(tài)和軌道的微小修正。如圖2所示，推進(jìn)劑從P處注入，在A處電離出正離子，B、C之間加有恒定電壓U，正離子進(jìn)入B時(shí)的速度忽略不計(jì)，經(jīng)加速形成電流為I的離子束后噴出。已知單位時(shí)間內(nèi)噴出的離子質(zhì)量為m0。為研究方便，假定離子推進(jìn)器在太空飛行時(shí)不受其它外力，忽略推進(jìn)器運(yùn)動(dòng)的速度。求推進(jìn)器獲得的推力的大小F。第11講萬(wàn)有引力定律目錄考點(diǎn)一天體質(zhì)量和密度的計(jì)算 1考點(diǎn)二衛(wèi)星運(yùn)行參量的比較與計(jì)算 2考點(diǎn)三衛(wèi)星變軌問題分析 6考點(diǎn)四宇宙速度的理解與計(jì)算 11考點(diǎn)五雙星或多星模型 16練出高分 22考點(diǎn)一天體質(zhì)量和密度的計(jì)算1．解決天體(衛(wèi)星)運(yùn)動(dòng)問題的基本思路(1)天體運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源于天體之間的萬(wàn)有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝man＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)(2)在中心天體表面或附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力近似等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg(g表示天體表面的重力加速度)．2．天體質(zhì)量和密度的計(jì)算(1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.由于Geq\f(Mm,R2)＝mg，故天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).(2)通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r.①由萬(wàn)有引力等于向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得出中心天體質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)；②若已知天體半徑R，則天體的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)；③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2).可見，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度．（2023?昌平區(qū)二模）卡文迪什在1798年17卷《哲學(xué)學(xué)報(bào)》中發(fā)表他關(guān)于引力常量的測(cè)量時(shí)，曾提到他的實(shí)驗(yàn)是為了確定出地球的密度。已知引力常量為G，要想估測(cè)地球的密度，只需測(cè)得（）A．地球的質(zhì)量 B．地球的半徑 C．近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期 D．地球表面的重力加速度【解答】解：ABD、根據(jù)萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系有????????2=mg解得M=????2??可解得：ρ=????=??43????3，或ρ=3??4??????可知只測(cè)得地球的質(zhì)量、或地球的半徑、或地球表面的重力加速度，均不能估測(cè)地球的密度，故ABD錯(cuò)誤；C、對(duì)于質(zhì)量為m的近地衛(wèi)星，設(shè)其運(yùn)行周期為T，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：????????2=??(2????)2??結(jié)合ρ=????=??43????3，可得ρ=3??????2，可知已知G，只需測(cè)得近地衛(wèi)星的運(yùn)行周期，就能估測(cè)地球的密度，故C正確。故選：C。（2023?茂名二模）2022年11月29日我國(guó)“神舟十五號(hào)”載人飛船發(fā)射成功，并通過一系列加速變軌后與距離地面400km的空間站交匯對(duì)接，萬(wàn)有引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是（）A．變軌前A是空間站，B是飛船 B．飛船的發(fā)射速度可能小于7.9km/s C．完成對(duì)接后，飛船和空間站的運(yùn)行周期大于24小時(shí) D．若已知空間站的運(yùn)行周期和地球半徑，可以測(cè)量地球密度【解答】解：A、飛船加速后將做離心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑增大，則變軌前A是飛船，B是空間站，故A錯(cuò)誤；B、7.9km/s是最小的發(fā)射速度，可知飛船的發(fā)射速度大于7.9km/s，故B錯(cuò)誤；C、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得G??????2=m4??2??2r，得T＝2π??3????，完成對(duì)接后，飛船和空間站的軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以完成對(duì)接后，飛船和空間站的運(yùn)行周期小于地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期24h，故C錯(cuò)誤；D、根據(jù)地球半徑和空間站距離地面的高度，可以得到空間站的軌道半徑，由G??????2=m4??2??2r，得M=4??2??3????2，即可以求出地球的質(zhì)量。由地球半徑能求出地球的體積，因而能求出地球的密度，故D正確。故選：D。（2023?邢臺(tái)模擬）宇宙飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它的軌道距地心的距離等于地球半徑的k倍，它的運(yùn)動(dòng)周期為T，引力常量為G，則地球的平均密度ρ的表達(dá)式為（）A．??=3????3????2 B．??=3????3??2?? C．??=3??(??+1)3????2 D．??=3??(??+1)3????【解答】解：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得：????????2=mr4??2??2，解得中心天體的質(zhì)量為：M=4??2??3????2，其中r＝kR根據(jù)密度的計(jì)算公式ρ=????，其中V=43????3聯(lián)立解得：??=3????3????2，故A正確、BCD錯(cuò)誤。故選：A。（2023?贛州二模）2022年10月9日，我國(guó)將衛(wèi)星“夸父一號(hào)”成功送入太陽(yáng)同步晨昏軌道。從宇宙中看，衛(wèi)星一方面可視為繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道平面與地球的晨昏分界線共面，衛(wèi)星軌道離地高度h≈720km，周期T1≈100分鐘。另一方面衛(wèi)星隨地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期T2＝1年，衛(wèi)星軌道平面能保持垂直太陽(yáng)光線，如圖所示。已知地球的半徑為R，引力常量為G，則下列表述正確的是（）A．晨昏軌道平面與地球同步衛(wèi)星軌道平面重合 B．根據(jù)以上信息可以估算出地球的質(zhì)量 C．“夸父一號(hào)”的發(fā)射速度大于11.2km/s D．根據(jù)??3??23=(??+?)3??12可估算出地球到太陽(yáng)的距離r【解答】解：A、晨昏軌道與地球經(jīng)線平面重合，同步衛(wèi)星軌道與赤道平面重合，所以兩個(gè)軌道平面不重合，故A錯(cuò)誤；B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：??????(??+?)=??(??+?)4??2??2，可計(jì)算地球質(zhì)量，故B正確；C、“夸父一號(hào)”的發(fā)射速度大于第一宇宙速度，即7.9km/s，小于第二宇宙速度，即11.2km/s，故C錯(cuò)誤；D、因?yàn)樾l(wèi)星環(huán)繞的中心天體是地球，地球環(huán)繞的中心天體是太陽(yáng)，所以D選項(xiàng)公式兩邊不相等，故D錯(cuò)誤。故選：B。（2023?河南模擬）如圖所示，某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從衛(wèi)星觀測(cè)地球的最大張角為θ，已知地球的半徑為R，引力常量未知，忽略地球的自轉(zhuǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．θ越大，衛(wèi)星的運(yùn)行周期越長(zhǎng) B．θ越小，衛(wèi)星的線速度越大 C．若衛(wèi)星的周期已知，則可測(cè)得地球的質(zhì)量 D．若衛(wèi)星的線速度已知，則可測(cè)得地球表面的重力加速度【解答】解：A．由幾何關(guān)系可知衛(wèi)星運(yùn)行的半徑為r=??????????2故θ越大，衛(wèi)星運(yùn)行的半徑越小，又由開普勒第三定律可知??3??2=k因此θ越大，衛(wèi)星運(yùn)行的半徑越小，周期也越小，故A錯(cuò)誤；B．由萬(wàn)有引力提供向心力有????????2=m??2??可得衛(wèi)星的線速度為v=??????可知θ越小，飛行軌道半徑越大，速度越小，故B錯(cuò)誤；C．設(shè)地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，周期為T。對(duì)于衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得????????2=mr4??2??2由于r=??????????2代入可得M=4??2??3????2(????????2)3由于引力常量G未知，因此不能測(cè)得地球的質(zhì)量，故C錯(cuò)誤；D．由萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系有????????2=mg可得v=????????????2已知飛行器線速度v可以得到重力加速度g，故D正確。故選：D。考點(diǎn)二衛(wèi)星運(yùn)行參量的比較與計(jì)算1．衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律2．極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋．(2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9km/s.(3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心．（2023?漳州模擬）2022年7月24日，中國(guó)空間站間天實(shí)驗(yàn)艙發(fā)射成功。中國(guó)空間站組建完成后，將從空間站中釋放伴隨衛(wèi)星。如圖所示，空間站在離地高度約400km的圓軌道繞地球運(yùn)行，伴隨衛(wèi)星在橢圓軌道上繞地球運(yùn)行，P、Q分別為伴隨衛(wèi)星軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)，伴隨衛(wèi)星在P處時(shí)位于空間站正上方，伴隨衛(wèi)星軌道半長(zhǎng)軸與空間站軌道半徑相等，僅考慮地球的引力作用。則（）A．空間站的角速度小于地球同步衛(wèi)星的角速度 B．空間站的線速度介于7.9km/s到11.2km/s之間 C．伴隨衛(wèi)星運(yùn)行到P點(diǎn)時(shí)，線速度比空間站的大 D．伴隨衛(wèi)星繞地球的運(yùn)行周期與空間站繞地球的運(yùn)行周期相等【解答】解：A、衛(wèi)星繞地球運(yùn)行時(shí)，由????????2=????2??可得，??=??????3知軌道半徑越小，角速度越大，因此空間站的角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度，故A錯(cuò)誤；B、第一宇宙速度是最大運(yùn)行速度，因此空間站的線速度小于7.9km/s，故B錯(cuò)誤；C、伴隨衛(wèi)星過P點(diǎn)做近心運(yùn)動(dòng)，所以伴隨衛(wèi)星在P點(diǎn)線速度小于過P點(diǎn)的外切圓軌道的線速度。由????????2=????2??，可得??=??????可知外切圓軌道的線速度小于空間站的線速度。所以伴隨衛(wèi)星運(yùn)行到P點(diǎn)時(shí)，線速度比空間站的小，故C錯(cuò)誤；D、由開普勒第三定律??3??2=??可知，伴隨衛(wèi)星繞地球的運(yùn)行周期與空間站繞地球的運(yùn)行周期相等，故D正確。故選：D。（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）2022年10月7日，中國(guó)太原衛(wèi)星發(fā)射中心在黃海海域使用長(zhǎng)征十一號(hào)海射運(yùn)載火箭，采用“一箭雙星”方式，成功將微厘空間低軌導(dǎo)航試驗(yàn)衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道。設(shè)兩顆衛(wèi)星軌道在赤道平面上，運(yùn)行方向相同，運(yùn)動(dòng)周期也相同，其中a衛(wèi)星為圓軌道，距離地面高度ha＝2R，b衛(wèi)星為橢圓軌道，近地點(diǎn)M距離地面高度為遠(yuǎn)地點(diǎn)N距離地面高度的一半，地球表面的重力加速度為g，a衛(wèi)星線速度大小為v1，b衛(wèi)星在近地點(diǎn)M時(shí)線速度大小為v2，在遠(yuǎn)地點(diǎn)N時(shí)線速度大小為v3，地球半徑為R，P點(diǎn)為兩個(gè)軌道的交點(diǎn)。下列說(shuō)法正確的是（）A．b衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)N距離地心距離為83R B．b衛(wèi)星從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的時(shí)間為3??3???? C．v1＞v2＞v3 D．a(chǎn)衛(wèi)星在P點(diǎn)受到地球的引力大于b衛(wèi)星在N點(diǎn)受到地球的引力【解答】解：A、設(shè)b衛(wèi)星運(yùn)行的橢圓軌道半長(zhǎng)軸為a0，根據(jù)開普勒第三定律有：(2??+??)3??2=??03??2解得：a0＝3R設(shè)近地點(diǎn)M距離地面高度為h0，由幾何關(guān)系有：h0+2h0+2R＝2a0＝6R代入數(shù)據(jù)解得：?0=43??，故b衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)N距離地面高度為83??，故A錯(cuò)誤；B、對(duì)衛(wèi)星a有：??????(3??)2=m?(2????)2?3R在地球表面上的物體m′有：??????'??2=??'??聯(lián)立以上幾式解得：??=2??27????故b衛(wèi)星從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)間為：??=12??=??27????=3??3????，故B正確；C、同一橢圓軌道上從N點(diǎn)到M點(diǎn)，根據(jù)開普勒第二定律可知v2＞v3。按離心運(yùn)動(dòng)的原理，衛(wèi)星b由N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)速度在增大，分析可知若在P點(diǎn)點(diǎn)火加速可進(jìn)入圓形a軌道，可得v1＞v3；同理，根據(jù)近心運(yùn)動(dòng)的原理，衛(wèi)星b在近地點(diǎn)M減速可進(jìn)入以M點(diǎn)高度所在處的圓軌道，根據(jù)萬(wàn)有引力公式可知當(dāng)衛(wèi)星圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)軌道越高，速度越小，所以可知衛(wèi)星a的速度小于M點(diǎn)高度所在處的圓軌道的速度。即衛(wèi)星b在近地點(diǎn)M的速度大于衛(wèi)星a的速度，所以有v2＞v1＞v3，故C錯(cuò)誤；D、根據(jù)萬(wàn)有引力公式，a、b兩衛(wèi)星在P點(diǎn)時(shí)到地球的距離相等，由于兩衛(wèi)星的質(zhì)量關(guān)系未知，所以無(wú)法判斷受到地球引力大小關(guān)系，故D錯(cuò)誤。故選：B。（2023?遂寧三模）“神舟十三號(hào)”飛船開始在半徑為r1的圓軌道Ⅰ上運(yùn)行，運(yùn)行周期為T1，在A點(diǎn)通過變軌操作后進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)，沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)地點(diǎn)C時(shí)正好與處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ上的核心艙對(duì)接，A為橢圓軌道Ⅱ的近地點(diǎn)，BD為橢圓軌道Ⅱ的短軸。假設(shè)飛船質(zhì)量始終不變，關(guān)于飛船的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是（）A．沿軌道Ⅰ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能等于沿軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能 B．沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A時(shí)的速率大于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到C時(shí)的速率 C．沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為??12(??1+??32??1)3 D．沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的加速度小于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的加速度【解答】解：A、飛船從軌道Ⅰ轉(zhuǎn)移到軌道Ⅱ，需要在A點(diǎn)加速，機(jī)械能增加，則沿軌道Ⅰ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能小于沿軌道Ⅱ運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能，故A錯(cuò)誤；B、飛船在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ上運(yùn)行時(shí)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有G??????2=m??2??，解得v=??????，則知vⅠ＞vⅢ。飛船從軌道Ⅱ轉(zhuǎn)移到軌道Ⅲ，需要在C點(diǎn)加速，則沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到C時(shí)的速率vⅡC＜vⅢ，則vⅠ＞vⅡC，即知沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A時(shí)的速率大于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到C時(shí)的速率，故B正確；C、根據(jù)開普勒第三定律有：??13??12=(??1+??32)3??22，解得沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為T2＝T1(??1+??32??1)3，故C錯(cuò)誤；D、由牛頓第二定律有G??????2=ma，得加速度a=??????2，A點(diǎn)到地心的距離比B點(diǎn)的小，所以沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的加速度大于沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的加速度，故D錯(cuò)誤。故選：B。（2023?虹口區(qū)二模）探測(cè)器“夸父A”在距地球約150萬(wàn)公里的拉格朗日L1點(diǎn)，與地球一起以相同的公轉(zhuǎn)周期繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用以監(jiān)測(cè)太陽(yáng)活動(dòng)的發(fā)生及其伴生現(xiàn)象，則（）A．“夸父A”處于平衡狀態(tài) B．在相同時(shí)間內(nèi)，“夸父A”的位移相同 C．“夸父A”、地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的向心加速度相同 D．“夸父A”繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)的加速度【解答】解：A、“夸父A”繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由合力提供向心力，處于非平衡狀態(tài)，故A錯(cuò)誤；B、在相同時(shí)間內(nèi)，“夸父A”的位移大小相等，但方向不一定相同，所以位移不一定相同，故B錯(cuò)誤；CD、“夸父A”在“拉格朗日L1點(diǎn)”和地球一起以相同的公轉(zhuǎn)周期繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故“夸父A”和地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，由向心加速度公式a＝rω2，可知“夸父A”的公轉(zhuǎn)半徑比地球的小，則“夸父A”繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)的加速度，故C錯(cuò)誤，D正確。故選：D。（2023?包頭一模）如圖甲，兩小行星在同一平面內(nèi)繞中心天體的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得兩小行星之間的距離Δr隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖乙所示。下列說(shuō)法正確的是（）（不考慮兩小行星之間的作用力）A．a(chǎn)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T B．兩星的周期之比Ta：Tb＝1：4 C．兩星的線速度之比va：vb＝4：1 D．兩星的加速度之比aa：ab＝4：1【解答】解：B、設(shè)a星距太陽(yáng)的距離為r1，b星距太陽(yáng)的距離為r2，ra＜rb，根據(jù)圖像有ra+rb＝6r，rb﹣ra＝2r，解得ra＝2r，rb＝4r兩小行星均繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)a星與b星的周期分別為Ta、Tb，根據(jù)開普勒第三定律有??13????2=??23????2，解得????????=122，故B錯(cuò)誤；C、根據(jù)??=2??????，可得????????=?????????????????=12×221=21，故C錯(cuò)誤；A、根據(jù)圖像可知，經(jīng)過時(shí)間T兩小行星再次相距最近，a星比b星多轉(zhuǎn)2π角度，則有2??????T?2??????T＝2π，結(jié)合????????=122，聯(lián)立解得????=(1?24)??，故A錯(cuò)誤；D、根據(jù)????????2=????，可得??=??????2，可得aa：ab＝4：1，故D正確。故選：D。考點(diǎn)三衛(wèi)星變軌問題分析1．當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增大時(shí)，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，即萬(wàn)有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運(yùn)動(dòng)，脫離原來(lái)的圓軌道，軌道半徑變大，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)減小．2．當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時(shí)，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即萬(wàn)有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運(yùn)動(dòng)，脫離原來(lái)的圓軌道，軌道半徑變小，當(dāng)衛(wèi)星進(jìn)入新的軌道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)由v＝eq\r(\f(GM,r))可知其運(yùn)行速度比原軌道時(shí)增大．衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理．（2023?房山區(qū)一模）我國(guó)一箭多星技術(shù)居世界前列，一箭多星是用一枚運(yùn)載火箭同時(shí)或先后將數(shù)顆衛(wèi)星送入軌道的技術(shù)。某兩顆衛(wèi)星釋放過程簡(jiǎn)化為如圖所示，火箭運(yùn)行至P點(diǎn)時(shí)，同時(shí)將A、B兩顆衛(wèi)星送入預(yù)定軌道。A衛(wèi)星進(jìn)入軌道1做圓周運(yùn)動(dòng)，B衛(wèi)星進(jìn)入軌道2沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)為橢圓軌道的近地點(diǎn)，Q點(diǎn)為遠(yuǎn)地點(diǎn)，B衛(wèi)星在Q點(diǎn)噴氣變軌到軌道3，之后繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)。下列說(shuō)法正確的是（）A．A衛(wèi)星在P點(diǎn)的加速度大于B衛(wèi)星在P點(diǎn)的加速度 B．A衛(wèi)星在軌道1的速度小于B衛(wèi)星在軌道3的速度 C．B衛(wèi)星從軌道2上Q點(diǎn)變軌進(jìn)入軌道3時(shí)需要噴氣減速 D．B衛(wèi)星沿軌道2從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)過程中引力做負(fù)功【解答】解：A、兩衛(wèi)星在P點(diǎn)時(shí)，根據(jù)萬(wàn)有引力產(chǎn)生加速度，????????2=????整理可得：??=??????2由于兩衛(wèi)星在P點(diǎn)到地心的距離相等，顯然兩衛(wèi)星的加速度相同，故A錯(cuò)誤；B、由題知，軌道1和軌道3都是圓軌道，則有：????????2=????2??整理可得：??=??????由于B衛(wèi)星在軌道3上運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大于A衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，所以B衛(wèi)星在軌道3上運(yùn)動(dòng)的速度小于A衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)動(dòng)的速度，故B錯(cuò)誤；C、衛(wèi)星從低軌道運(yùn)動(dòng)到高軌道，需要做離心運(yùn)動(dòng)，即在軌道相切點(diǎn)點(diǎn)火加速實(shí)現(xiàn)，所以B衛(wèi)星在Q點(diǎn)變軌進(jìn)入軌道3時(shí)需要向后噴氣加速，故C錯(cuò)誤；D、B衛(wèi)星沿軌道2從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)過程中速度減少，則動(dòng)能減小，故引力做負(fù)功，故D正確。故選：D。（2023?道里區(qū)校級(jí)三模）“天問一號(hào)”從地球發(fā)射后，在如圖甲所示的P點(diǎn)沿地火轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，再依次進(jìn)入如圖乙所示的調(diào)相軌道和停泊軌道，地球、火星繞太陽(yáng)軌道可視為圓軌道。則“天問一號(hào)”（）A．發(fā)射速度介于7.9km/s與11.2km/s之間 B．從P點(diǎn)轉(zhuǎn)移到O點(diǎn)的時(shí)間小于6個(gè)月 C．在地火轉(zhuǎn)移軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度均大于地球繞太陽(yáng)的速度 D．在環(huán)繞火星的停泊軌道運(yùn)行的周期比在調(diào)相軌道上的周期小【解答】解：A．“天問一號(hào)”發(fā)射后脫離了地球引力的束縛，所以發(fā)射速度大于第二宇宙速度，故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)開普勒第三定律??3??2=??，地球公轉(zhuǎn)周期為12個(gè)月，“天問一號(hào)”在地火轉(zhuǎn)移軌道的長(zhǎng)軸軌道半徑大于地球公轉(zhuǎn)軌道半徑，則其運(yùn)行周期大于12個(gè)月，所以從P點(diǎn)轉(zhuǎn)移到O點(diǎn)的時(shí)間大于6個(gè)月，故B錯(cuò)誤；C．地火轉(zhuǎn)移軌道Q點(diǎn)速度小于火星軌道Q點(diǎn)速度，而火星軌道Q點(diǎn)速度小于地球繞太陽(yáng)的速度，故C錯(cuò)誤；D．根據(jù)開普勒第三定律??3??2=??可知，環(huán)繞火星的停泊軌道長(zhǎng)軸半徑小于調(diào)相軌道長(zhǎng)軸半徑，故在環(huán)繞火星的停泊軌道運(yùn)行的周期比在調(diào)相軌道上的周期小，故D正確。故選：D。（2023?杭州二模）如圖所示，是某火星探測(cè)器簡(jiǎn)化飛行路線圖，其地火轉(zhuǎn)移軌道是橢圓軌道。假設(shè)探測(cè)器在近日點(diǎn)P點(diǎn)進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道，在遠(yuǎn)日點(diǎn)Q，被火星俘獲。已知火星的軌道半徑是地球地火軌道半徑的1.5倍，則轉(zhuǎn)軌道（）A．地球公轉(zhuǎn)的周期大于火星公轉(zhuǎn)的周期 B．探測(cè)器進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道后，速度逐漸增大 C．探測(cè)器在地火轉(zhuǎn)移軌道上的周期大于火星的公轉(zhuǎn)周期 D．探測(cè)器從發(fā)射到被火星俘獲，經(jīng)歷的時(shí)間約255天【解答】解：A．根據(jù)開普勒第三定律有??地3??地2=??火3??火2因?yàn)閞地＜r火，可知地球公轉(zhuǎn)的周期小于火星公轉(zhuǎn)的周期，故A錯(cuò)誤；B．探測(cè)器進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道后，萬(wàn)有引力做負(fù)功，速度逐漸減小，故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)開普勒第三定律有(??火+??地2)3??探2=??火3??火2因?yàn)???火+??地2＜r火，可知探測(cè)器在地火轉(zhuǎn)移軌道上的周期小于火星公轉(zhuǎn)周期，故C錯(cuò)誤；D．根據(jù)開普勒第三定律有(??火+??地2)3??探2=??地3??地2整理得，探測(cè)器在地火轉(zhuǎn)移軌道上的周期??探=(??火+??地2??地)3??地探測(cè)器從發(fā)射到被火星俘獲，經(jīng)歷的時(shí)間??=??探2其中T地＝365天聯(lián)立上述各式，代入數(shù)據(jù)得t≈255天，故D正確。故選：D。（2023?南京模擬）2023年1月21日，神舟十五號(hào)3名航天員在400km高的空間站向祖國(guó)人民送上新春祝福，空間站的運(yùn)行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ，設(shè)地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，橢圓軌道Ⅱ?yàn)檩d人飛船運(yùn)行軌道，兩軌道相切于A點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．在A點(diǎn)時(shí)神舟十五號(hào)經(jīng)過點(diǎn)火加速才能從軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ B．飛船在A點(diǎn)的加速度小于空間站在A點(diǎn)的加速度 C．空間站在軌道Ⅰ上的速度小于???? D．軌道Ⅰ上的神舟十五號(hào)飛船想與前方的空間站對(duì)接，只需要沿運(yùn)動(dòng)方向加速即可【解答】解：A、從軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ，神舟十五號(hào)做近心運(yùn)動(dòng)，應(yīng)在A點(diǎn)減速，故A錯(cuò)誤；B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：????????2=ma，解得a=??????2，所以飛船在A點(diǎn)的加速度等于空間站在A點(diǎn)的加速度，故B錯(cuò)誤；C、根據(jù)第一宇宙速度的計(jì)算可知mg=????2??，解得：v=????，該速度是最大的環(huán)繞速度，所以空間站在軌道Ⅰ上的速度小于????，故C正確；D、軌道Ⅰ上的神舟十五號(hào)飛船想與前方的空間站對(duì)接，只沿運(yùn)動(dòng)方向加速，會(huì)變到更高軌道，故D錯(cuò)誤；故選：C。（2023?湛江一模）2022年11月30日，神舟十五號(hào)載人飛船與“天和核心艙”完成對(duì)接，航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸進(jìn)入“天和核心艙”。對(duì)接過程的示意圖如圖所示，“天和核心艙”處于半徑為r3的圓軌道Ⅲ；神舟十五號(hào)飛船處于半徑為r1的圓軌道Ⅰ，運(yùn)行周期為T1，通過變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到B處與“天和核心艙”對(duì)接。則神舟十五號(hào)飛船（）A．由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ需在A點(diǎn)減速 B．沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期為T2＝T1(2??1??1+??3)3 C．在軌道Ⅰ上A點(diǎn)的加速度大于在軌道Ⅱ上A點(diǎn)的加速度 D．在軌道Ⅲ上B點(diǎn)的線速度大于在軌道Ⅱ上B點(diǎn)的線速度【解答】解：A、由低軌道進(jìn)入高軌道需要點(diǎn)火加速，所以由軌道Ⅰ進(jìn)入軌道Ⅱ需在A點(diǎn)加速，故A錯(cuò)誤；B、根據(jù)開普勒第三定律，有??13??12=(??1+??32)3??22，解得T2＝T1(??1+??32??1)3，故B錯(cuò)誤；C、根據(jù)牛頓第二定律可得????????2=ma，解得a=??????2，所以在軌道Ⅰ上A點(diǎn)的加速度等于在軌道Ⅱ上A點(diǎn)的加速度，故C錯(cuò)誤；D、由軌道Ⅱ進(jìn)入軌道Ⅲ需在B點(diǎn)加速，所以在軌道Ⅲ上B點(diǎn)的線速度大于在軌道Ⅱ上B點(diǎn)的線速度，故D正確。故選：D。考點(diǎn)四宇宙速度的理解與計(jì)算1．第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度．推導(dǎo)過程為：由mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)＝eq\f(GMm,R2)得：v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝7.9km/s.2．第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)具有的速度．3．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度．注意(1)兩種周期——自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的不同．(2)兩種速度——環(huán)繞速度與發(fā)射速度的不同，最大環(huán)繞速度等于最小發(fā)射速度．(3)兩個(gè)半徑——天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的不同．(4)第二宇宙速度(脫離速度)：v2＝11.2km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度．(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7km/s，使物體掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度．（2023?滁州二模）地球環(huán)境的變化，大家都是有目共睹的，也許將來(lái)有一天真的不再適合人類居住，電影《流浪地球》里的選擇是帶著地球一起流浪，而現(xiàn)實(shí)中，有人選擇移居火星。火星是靠近地球的類地行星，已知地球質(zhì)量約為火星質(zhì)量的10倍，地球半徑約為火星半徑的2倍；設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周期為T、地球表面的重力加速度為g、地球的第一宇宙速度為v、地球的密度為ρ，則（）A．火星的公轉(zhuǎn)周期為22?? B．火星表面的重力加速度約為25?? C．火星的第一宇宙速度約為15?? D．火星的密度約為54??【解答】解：A、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得：????????2=??(2????')2??，解得??'=2????3????，由于火星的公轉(zhuǎn)半徑不知道所以其公轉(zhuǎn)周期無(wú)法確定，故A錯(cuò)誤；B、根據(jù)地表物體受到的萬(wàn)有引力等于重力得：????????2=????，則??=??????2，可得：??火??=??火??地???地2??火2=110×2212=25，火星表面的重力加速度為25??，故B正確；C、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力????????2=????2??，可得第一宇宙速度為：??=??????，可得：??火??=??火??地???地??火=110×21=55，火星的第一宇宙速度約為55??，故C錯(cuò)誤；D、由密度與質(zhì)量的公式??=3??4????3，可得：??火??=??火??地???地3??火3=110×2313=45，所以火星的密度約為45??，故D錯(cuò)誤。故選：B。（2023?聊城一模）材料的力學(xué)強(qiáng)度是材料眾多性能中被人們極為看重的一種性能，目前已發(fā)現(xiàn)的高強(qiáng)度材料碳納米管的抗拉強(qiáng)度是鋼的100倍，密度是鋼的16，這使得人們有望在赤道上建造垂直于水平面的“太空電梯”。當(dāng)航天員乘坐“太空電梯”時(shí)，地球引力對(duì)航天員產(chǎn)生的加速度a與r的關(guān)系用圖乙中圖線A表示，航天員由于地球自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的向心加速度大小與r的關(guān)系用圖線B表示，其中r為航天員到地心的距離，R為地球半徑。關(guān)于相對(duì)地面靜止在不同高度的航天員，下列說(shuō)法正確的是（）A．航天員在r＝R處的線速度等于第一宇宙速度 B．圖中r0為地球同步衛(wèi)星的軌道半徑 C．隨著r增大，航天員運(yùn)動(dòng)的線速度一直減小 D．隨著r增大，航天員受到電梯艙的彈力減小【解答】解：A、電梯艙內(nèi)的航天員與地球一起同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)r＝R時(shí)電梯中的航天員受到萬(wàn)有引力和電梯的彈力的合力提供向心力????????2?????=????2??，又因?yàn)榈谝挥钪嫠俣仁琴N近星球表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力全部提供向心力時(shí)的線速度，即上式中FN＝0時(shí)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，因此航天員在r＝R處的線速度小于第一宇宙速度；故A錯(cuò)誤；B、由公式????????2?????=????2??可知，隨著r增大，航天員受到電梯艙的彈力減小；當(dāng)????????2=????2??，此時(shí)電梯艙對(duì)航天員的彈力為零，只由萬(wàn)有引力提供向心力，r＝r0，r0為同步衛(wèi)星的軌道半徑；故B正確；C、由于電梯艙內(nèi)的航天員與地球一起同軸轉(zhuǎn)動(dòng)，所以角速度相等，根據(jù)v＝ωr，可知隨著r增大，線速度增大；故C錯(cuò)誤；D、當(dāng)r＞r0時(shí)，隨著r繼續(xù)增大，宇航員需要的向心力增大，由????????2+????=????2??，可知FN反向增大，所以隨著r從小于r0到大于r0逐漸增大的過程中，航天員受到電梯艙的彈力先減小為零后反向增大；故D錯(cuò)誤。故選：B。（多選）（2023?蚌埠模擬）2021年5月15日，我國(guó)“祝融號(hào)”火星車在火星表面軟著陸時(shí)，豎直向下經(jīng)t時(shí)間由速度v0勻減速到零完成平穩(wěn)降落。已知火星車的質(zhì)量為m，火星質(zhì)量是地球的a倍，火星半徑是地球的b倍，地球表面重力加速度為g，不計(jì)火星的大氣阻力，則（）A．減速過程著陸器的位移為v0t B．火星的平均密度是地球的????2倍 C．火星的第一宇宙速度是地球的????倍 D．減速過程中著陸器受到的制動(dòng)力大小為??(????2??+??0??)【解答】解：A、由平均速度公式得，減速過程著陸器的位移為??=??02??=??0??2故A錯(cuò)誤；B、由密度公式得：??=??43????3則火星、地球平均密度之比??1??2=??1??2?(??2??1)3=????3故B錯(cuò)誤；C、第一宇宙速度為最大環(huán)繞速度，萬(wàn)有引力提供向心力，有：G??????2=m??2??解得：v=??????則火星表面第一宇宙速度與地球表面第一宇宙速度的比值為：??1??2=????1??1????2??2=??1??2???2??1=????故C正確；D、在天體表面，萬(wàn)有引力等于重力，有：G??????2=mg火星表面重力加速度和地球表面重力加速度之比為??'??=????1??12????2??22=????2則火星表面重力加速度為??'=????2??減速過程中著陸器加速度大小為??=??0??設(shè)著陸器受到的制動(dòng)力大小為F，由牛頓第二定律得：F﹣mg'＝ma聯(lián)立解得：??=????'+????=??(????2??+??0??)故D正確。故選：CD。（多選）（2023?山西模擬）“祝融號(hào)”火星探測(cè)器于2021年5月22日成功著陸火星，至今依然活躍。若測(cè)得火星表面赤道位置的重力加速度為g，而兩極的重力加速度為g0，且知火星自轉(zhuǎn)周期T，并將火星視為理想勻質(zhì)球體，則下列判斷中正確的有（）A．火星的半徑為(??0???)??24??2 B．火星的半徑為(?????0)??24??2 C．火星的第一宇宙速度為??2????0(??0???) D．火星的第一宇宙速度為??2????(?????0)【解答】解：AB、設(shè)火星質(zhì)量為M，半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，質(zhì)量為m的物體在火星表面隨火星自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，物體在赤道位置時(shí)，有：????????2=????+??4??2??2??位于極地時(shí)，有：????????2=????0聯(lián)立解得，火星的半徑為??=(??0???)??24??2故A正確，B錯(cuò)誤；CD、第一宇宙速度即衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，有：????????2=????12??在火星兩極處有：????????2=????0聯(lián)立解得：??1=??2????0(??0???)故C正確，D錯(cuò)誤。故選：AC。（多選）（2020?岳陽(yáng)一模）在星球M上將一輕彈簧豎直固定在水平桌面上，把物體P輕放在彈簧上端，由靜止向下運(yùn)動(dòng)，物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系如圖中P線所示．在另一星球N上用完全相同的彈簧，改用物體Q完成同樣的過程，其a﹣x關(guān)系如圖中Q線所示．已知M、N兩星球的半徑相等，不計(jì)星球表面的氣體阻力，則（）A．M、N星球表面的重力加速度大小之比是2：1 B．P、Q的質(zhì)量大小之比是1：5 C．P、Q下落的最大速度之比是2：1 D．M、N兩星球的第一宇宙速度之比是2：1【解答】解：A、由牛頓第二定律可知，物體下落的加速度a=???????????=g?????x，當(dāng)x＝0時(shí)，a＝g；可知兩星球表面的重力加速度之比為????????=4??0??0=4：1，故A錯(cuò)誤；B．a(chǎn)﹣x關(guān)系圖線的斜率表示????，則有：??????=4??0??0，??????=??02??0，解得：????????=21，故B錯(cuò)誤；C．由物體的加速度a與彈簧的壓縮量x間的關(guān)系圖，結(jié)合公式v2＝2ax可知ax=??22，即圖象面積表示??22，根據(jù)圖象可知：????22：????22=（12×4??0??0）：（12×2??0??0）＝2：1，所以P、Q下落的最大速度之比是2：1，故C正確；D．已知M、N兩星球的半徑相等，設(shè)為R，根據(jù)第一宇宙速度表達(dá)式v1=????可知，M、N兩星球的第一宇宙速度之比是2：1，故D正確。故選：CD。考點(diǎn)五雙星或多星模型繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖6所示，雙星系統(tǒng)模型有以下特點(diǎn)：圖6(1)各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力相互提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2(2)兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L(4)兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)(5)雙星的運(yùn)動(dòng)周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))(6)雙星的總質(zhì)量公式m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)（2023?河北模擬）科學(xué)家觀測(cè)發(fā)現(xiàn)銀河系的“MAXIJ1820+070”是一個(gè)由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，若系統(tǒng)中黑洞與恒星的中心距離為L(zhǎng)，黑洞做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度為a，恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度為a?，則黑