專題02建立f(a，b，c)＝0模型1．f(a，b，c)＝0型(明顯)所謂明顯型就是題目中有明顯的等量關(guān)系，在計(jì)算離心率的大小時(shí)，根據(jù)題目中的條件，建立a，b，c之間的齊次等量關(guān)系f(a，b，c)＝0，再化歸為關(guān)于離心率e的方程求解．【例題選講】[例6](27)(2016·全國(guó)Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的eq\f(1,4)，則該橢圓的離心率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)答案B解析不妨設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦點(diǎn)F(c，0)，則直線l的方程為eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0．由題意eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(1,2)b，且a2＝b2＋c2，得b2c2＝eq\f(1,4)b2a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)．(28)(2018·全國(guó)Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)答案D解析由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|＝2c，∵△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(c＋2ccos60°，2csin60°)，即點(diǎn)P(2c，eq\r(3)c)．∵點(diǎn)P在過點(diǎn)A，且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，∴eq\f(\r(3)c,2c＋a)＝eq\f(\r(3),6)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，∴e＝eq\f(1,4)，故選D.(29)已知雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過雙曲線Γ的右焦點(diǎn)F，且傾斜角為eq\f(π,2)的直線l與雙曲線Γ交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOB＝∠OAB，則雙曲線Γ的離心率為()A．eq\f(\r(3)＋\r(7),2)B．eq\f(\r(11)＋\r(33),2)C．eq\f(\r(3)＋\r(39),6)D．eq\f(1＋\r(17),4)答案C解析由題意可知AB是通徑，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性和∠AOB＝∠OAB，可知△AOB為等邊三角形，所以tan∠AOF＝eq\f(\f(b2,a),c)＝eq\f(\r(3),3)，整理得b2＝eq\f(\r(3),3)ac，由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋eq\f(\r(3),3)ac，兩邊同時(shí)除以a2，得e2－eq\f(\r(3),3)e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(3)＋\r(39),6)．故選C．(30)(2016·江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，直線y＝eq\f(b,2)與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________．答案eq\f(\r(6),3)解析由已知條件易得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，F(xiàn)(c，0)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝c＋eq\f(\r(3),2)a，－eq\f(b,2)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝c－eq\f(\r(3),2)a，－eq\f(b,2)，由∠BFC＝90°，可得eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(\r(3),2)a))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(\r(3),2)a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))2＝0，c2－eq\f(3,4)a2＋eq\f(1,4)b2＝0，即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，亦即3c2＝2a2，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)．(31)已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)F，若點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)關(guān)于直線l對(duì)稱，則雙曲線C的離心率為()A．eq\f(\r(3)＋1,2)B．eq\f(\r(2)＋1,2)C．eq\r(3)＋1D．eq\r(2)＋1答案C解析由點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)關(guān)于直線l對(duì)稱，可得直線l為線段AB的垂直平分線，線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b,2)))，直線AB的斜率為－eq\f(b,a)，可得直線l的方程為y－eq\f(b,2)＝eq\f(a,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))，令y＝0，可得x＝eq\f(1,2)a－eq\f(b2,2a)，由題意可得－c＝eq\f(1,2)a－eq\f(b2,2a)，即有a(a＋2c)＝b2＝c2－a2，即c2－2ac－2a2＝0，由e＝eq\f(c,a)，可得e2－2e－2＝0，解得e＝1＋eq\r(3)(e＝1－eq\r(3)舍去)，故選C．(32)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，|OP|＝eq\f(\r(2),4)a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為()A．eq\f(\r(2),4)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(6),3)D．eq\f(\r(6),4)答案D解析設(shè)P(x，y)，則|OP|2＝x2＋y2＝eq\f(a2,8)，由橢圓定義得，|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數(shù)列，∴|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2＝4c2，則|PF1|2＋|PF2|2＋8c2＝4a2，∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＋8c2＝4a2，整理得x2＋y2＋5c2＝2a2，即eq\f(a2,8)＋5c2＝2a2，整理得eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,8)，∴橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),4)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】23．P是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的一點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，PF⊥x軸，若tan∠PAF＝eq\f(1,2)，則橢圓的離心率e為()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(1,2)23．答案D解析不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，因?yàn)镻F⊥x軸，所以xP＝c，將xP＝c代入橢圓方程得yP＝eq\f(b2,a)，即|PF|＝eq\f(b2,a)，則tan∠PAF＝eq\f(|PF|,|AF|)＝eq\f(\f(b2,a),a＋c)＝eq\f(1,2)，結(jié)合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，兩邊同時(shí)除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(1,2)或e＝－1(舍去)．故選D．24．已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．24．答案2解析如圖，由題意知|AB|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝2c．又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負(fù)值舍去)．25．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為M，上頂點(diǎn)為N，右焦點(diǎn)為F，若eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NF,\s\up6(→))＝0，則橢圓的離心率為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2)－1,2)C．eq\f(\r(3)－1,2)D．eq\f(\r(5)－1,2)25．答案D解析由題意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(xiàn)(c，0)，∴eq\o(NM,\s\up6(→))＝(－a，－b)，eq\o(NF,\s\up6(→))＝(c，－b)．∵eq\o(NM,\s\up6(→))·eq\o(NF,\s\up6(→))＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac．又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac．∴e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(5)－1,2)或e＝eq\f(－\r(5)－1,2)(舍去)．∴橢圓的離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，故選D．26．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1(－c，0)，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，現(xiàn)過A點(diǎn)作直線F1B的垂線，垂足為T，若直線OT(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為－eq\f(3b,c)，則該橢圓的離心率為________．26．答案eq\f(1,2)解析因?yàn)闄E圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，A，B和F1點(diǎn)坐標(biāo)分別為(a，0)，(0，b)，(－c，0)，所以直線BF1的方程是y＝eq\f(b,c)x＋b，OT的方程是y＝－eq\f(3b,c)x．聯(lián)立解得T點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,4)，\f(3b,4)))，直線AT的斜率為－eq\f(3b,4a＋c)．由AT⊥BF1得，－eq\f(3b,4a＋c)×eq\f(b,c)＝－1，∴3b2＝4ac＋c2，∴3(a2－c2)＝4ac＋c2，∴4e2＋4e－3＝0，又0＜e＜1，所以e＝eq\f(1,2)．27．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線的焦點(diǎn)，過F2作垂直于實(shí)軸的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，BF1交y軸于點(diǎn)C，若AC⊥BF1，則雙曲線的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)27．答案B解析不妨設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由AC⊥BF1知eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BF1,\s\up6(→))＝0，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(3b2,2a)))，eq\o(BF1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，\f(b2,a)))，可得2c2－eq\f(3b4,2a2)＝0，又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，則有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或eq\f(1,3)，又e>1，所以e＝eq\r(3)．故選B．28．(2018·浙江)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F1關(guān)于直線y＝－eq\r(3)c的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是()A．eq\r(3)－1B．eq\f(\r(3)＋1,2)C．2－eq\r(3)D．eq\f(\r(3),3)28．答案C解析∵左焦點(diǎn)F1關(guān)于直線y＝－eq\r(3)c的對(duì)稱點(diǎn)為Q，∴|F1Q|＝2eq\r(3)c．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，則|F1F2|＝2c．由橢圓定義知，|F2Q|＝2a－|F1Q|＝2a－2eq\r(3)c．在Rt△F1QF2中，|F1F2|2＋|F1Q|2＝|F2Q|2，即(2c)2＋(2eq\r(3)c)2＝(2a－2eq\r(3)c)2，∴c2＋2eq\r(3)ac－a2＝0，故e2＋2eq\r(3)e－1＝0，∴e＝2－eq\r(3)(負(fù)值舍去)．故選C．29．(2018·浙江)已知雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為M．若點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為eq\f(2\r(5),5)，則雙曲線的離心率是________．29．答案eq\r(5)解析∵點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為eq\f(2\r(5),5)，∴點(diǎn)M在漸近線y＝eq\f(b,a)x上．∵雙曲線方程為x2－eq\f(y2,b2)＝1，∴a＝1，F(xiàn)(c，0)，漸近線方程為y＝±bx．則|FM|＝eq\f(|bc|,\r(1＋b2))，∵c2＝a2＋b2＝1＋b2，∴|FM|＝b．∵△OMF為直角三角形，∴OM＝eq\r(OF2－FM2)＝eq\r(c2－b2)＝a．∴OM×FM＝OF×yM，即cyM＝ab，∴c2yeq\o\al(2,M)＝b2．∵yM＝eq\f(2\r(5),5)，∴b2＝eq\f(4,5)c2．又∵c2＝a2＋b2，∴a2＝eq\f(1,5)c2，∴e＝eq\r(5)．30．已知直線l的傾斜角為45°，直線l與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，且MF1，NF2都垂直于x軸(其中F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為()A．eq\r(3)B．eq\r(5)C．eq\r(5)－1D．eq\f(\r(5)＋1,2)30．答案D解析根據(jù)題意及雙曲線的對(duì)稱性，可知直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，|MF1|＝|NF2|．設(shè)點(diǎn)M(－c，y0)，則N(c，－y0)，eq\f(c2,a2)－eq\f(yeq\o\al(2,0),b2)＝1，即|y0|＝eq\f(c2－a2,a)．由直線l的傾斜角為45°，且|MF1|＝|NF2|＝|y0|，得|y0|＝c，即eq\f(c2－a2,a)＝c，整理得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，故選D．31．從橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是________．31．答案eq\f(\r(2),2)解析由題意可設(shè)P(－c，y0)(c為半焦距)，kOP＝－eq\f(y0,c)，kAB＝－eq\f(b,a)，由于OP∥AB，所以－eq\f(y0,c)＝－eq\f(b,a)，y0＝eq\f(bc,a)，把Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(bc,a)))代入橢圓方程得eq\f(（－c）2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)))\s\up12(2),b2)＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).32．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，若直線y＝eq\f(b,a)x恰為線段PF2的垂直平分線，則雙曲線C的離心率為()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\r(5)D．eq\r(6)32．答案C解析如圖，直線PF2的方程為y＝－eq\f(a,b)(x－c)，設(shè)直線PF2與直線y＝eq\f(b,a)x的交點(diǎn)為N，易知Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))．又線即5a2＝c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)．故選C．33．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A，經(jīng)過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，則橢圓C的離心率為________．33．答案eq\f(2\r(5),5)解析不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由對(duì)稱性可得|OP|＝eq\f(|PQ|,2)＝eq\f(a,2)，因?yàn)锳P⊥PQ，所以在Rt△POA中，cos∠POA＝eq\f(|OP|,|OA|)＝eq\f(1,2)，故∠POA＝60°，易得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(\r(3)a,4)))，代入橢圓方程得eq\f(1,16)＋eq\f(3a2,16b2)＝1，故a2＝5b2＝5(a2－c2)，所以橢圓C的離心率e＝eq\f(2\r(5),5)．34．(2018·全國(guó)Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝eq\r(6)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))，則C的離心率為()A．eq\r(5)B．2C．eq\r(3)D．eq\r(2)34．答案C解析方法一：設(shè)漸近線的方程為bx－ay＝0，則直線PF2的方程為ax＋by－ac＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by－ac＝0，,bx－ay＝0，))可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，由F1(－c，0)及|PF1|＝eq\r(6)|OP|，得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)＋c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ab,c)))2)＝eq\r(6)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ab,c)))2)，化簡(jiǎn)可得3a2＝c2，即e＝eq\r(3)．方法二：因?yàn)閨PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a，在Rt△POF2中，設(shè)∠PF2O＝θ，則有cosθ＝eq\f(|PF2|,|OF2|)＝eq\f(b,c)；∵在△PF1F2中，cosθ＝eq\f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2·|PF2|·|F1F2|)＝eq\f(b,c)，∴eq\f(b2＋4c2－\r(6)a2,2b·2c)＝eq\f(b,c)?b2＋4c2－6a2＝4b2?4c2－6a2＝3c2－3a2?c2＝3a2?e＝eq\r(3)．35．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為M，交另一條漸近線于N，若2eq\o(MF,\s\up8(→))＝eq\o(FN,\s\up8(→))，則雙曲線的離心率為________．35．答案eq\f(2\r(3),3)解析設(shè)右焦點(diǎn)F(c，0)，漸近線OM，ON的方程分別為y＝eq\f(b,a)x，y＝－eq\f(b,a)x．不失一般性，設(shè)過F的垂線為x＝－eq\f(b,a)y＋c．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(b,a)x，,x＝－\f(b,a)y＋c))得yN＝eq\f(－\f(bc,a),1－\f(b2,a2))．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,x＝－\f(b,a)y＋c))得yM＝eq\f(\f(bc,a),1＋\f(b2,a2))．因?yàn)?eq\o(MF,\s\up8(→))＝eq\o(FN,\s\up8(→))，所以－2yM＝y(tǒng)N，即eq\f(－2\f(bc,a),1＋\f(b2,a2))＝eq\f(－\f(bc,a),1－\f(b2,a2))，易解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(1,3))＝eq\f(2\r(3),3)．36．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2(1，0)且斜率為1的直線交橢圓于A，B，若三角形F1AB的面積等于eq\r(2)b2，則該橢圓的離心率為________．36．答案eq\r(3)－1解析設(shè)橢圓的焦距為2c，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意得直線AB的方程為y＝x－1，與橢圓方程聯(lián)立，消去x化簡(jiǎn)得(a2＋b2)y2＋2b2y＋b2－a2b2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，y1＋y2＝eq\f(－2b2,a2＋b2)，y1·y2＝eq\f(b2－a2b2,a2＋b2)，則△F1AB的面積為eq\f(1,2)×2c|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2b2,a2＋b2)))2－\f(4b2－a2b2,a2＋b2))＝eq\r(2)b2，化簡(jiǎn)得－2a2＋2a4＋2a2b2＝b2(a2＋b2)2，又因?yàn)閎2＝a2－1，所以4a4－8a2＋1＝0，解得a＝eq\f(1＋\r(3),2)，則橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1．2．f(a，b，c)＝0型(隱含)所謂隱含型就是題目中沒有明顯的等量關(guān)系，在計(jì)算離心率的大小時(shí)，根據(jù)題目中的條件，利用圖形中存在的幾何特征掘幾何關(guān)系，運(yùn)用點(diǎn)在曲線上或垂直關(guān)系或用余弦定理等，建立a，b，c之間的齊次等量關(guān)系f(a，b，c)＝0，再化歸為關(guān)于離心率e的方程求解．【例題選講】[例7(33)過雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)左焦點(diǎn)F的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，且eq\o(FN,\s\up8(→))＝3eq\o(FM,\s\up8(→))，若OM⊥FN，則C的離心率為()A．2B．eq\r(7)C．3D．eq\r(10)答案B解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，取MN的中點(diǎn)P，連接F′P，F(xiàn)′M，F(xiàn)′N，如圖所示，由eq\o(FN,\s\up8(→))＝3eq\o(FM,\s\up8(→))，可知|MF|＝|MP|＝|NP|．又O為FF′的中點(diǎn)，可知OM∥PF′．∵OM⊥FN，∴PF′⊥FN．∴PF′為線段MN的垂直平分線．∴|NF′|＝|MF′|．設(shè)|MF|＝t，由雙曲線定義可知|NF′|＝3t－2a，|MF′|＝2a＋t，則3t－2a＝2a＋t，解得t＝2a．在Rt△MF′P中，|PF′|＝eq\r(|MF′|2－|MP|2)＝eq\r(16a2－4a2)＝2eq\r(3)a，∴|OM|＝eq\f(1,2)|PF′|＝eq\r(3)a．在Rt△MFO中，|MF|2＋|OM|2＝|OF|2，∴4a2＋3a2＝c2?e＝eq\r(7)．故選B．(34)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，若F1關(guān)于∠F1PF2平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上，則該橢圓的離心率為________．答案eq\f(\r(3),3)解析如圖，∵F1關(guān)于∠F1PF2平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上，∴P，F(xiàn)2，M三點(diǎn)共線，設(shè)|PF1|＝m，則|PM|＝m，|MF1|＝m．又|PF1|＋|PM|＋|MF1|＝4a＝3m．∵|PF1|＝eq\f(4,3)a，|PF2|＝eq\f(2,3)a．由余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|coseq\f(π,3)＝|F1F2|2，∴a2＝3c2，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)．(35)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．P是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線PO，PF2分別交雙曲線C左、右支于M，N．若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，則雙曲線C的離心率為________．答案eq\r(3)解析由題意，|PF1|＝2|PF2|，由雙曲線的定義可得，|PF1|－|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，又|F1O|＝|F2O|，|PO|＝|MO|，得四邊形PF1MF2為平行四邊形，又∠MF2N＝60°，可得∠F1PF2＝60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得，4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°，即4c2＝20a2－8a2，c2＝3a2，可得c＝eq\r(3)a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)．(36)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線QUOTEx2a2－QUOTEy2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，且QUOTEAF2→＝QUOTE13F2B→，則該雙曲線的離心率為()A．QUOTE62B．QUOTE52C．QUOTE3D．2答案A解析由F2(c，0)到漸近線y＝QUOTEbax的距離為d＝QUOTEbca2+b2＝b，即有|QUOTEAF2→|＝b，則|QUOTEBF2→|＝3b，在△AF2O中，|QUOTEOA→|＝a，|QUOTEOF2→|＝c，tan∠F2OA＝QUOTEba，又有∠AOB＝2∠F2OA，則tan∠AOB=QUOTE4ba=QUOTE2×ba1-(ba)

2，化簡(jiǎn)可得a2＝2b2，即有c2＝a2＋b2＝QUOTE32a2，即有e＝QUOTEca＝QUOTE62．故選A．(37)設(shè)橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B為橢圓在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，直線BO交橢圓于點(diǎn)C，O為原點(diǎn)，若直線BF平分線段AC，則橢圓的離心率為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,5)答案B解析如圖，設(shè)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM為△ABC的中位線，于是△OFM∽△AFB，且eq\f(|OF|,|FA|)＝eq\f(|OM|,|AB|)＝eq\f(1,2)，即eq\f(c,a－c)＝eq\f(1,2)，解得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)．故選B．(38)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝6，P是雙曲線E右支上一點(diǎn)，PF1與y軸交于點(diǎn)A，△PAF2的內(nèi)切圓與AF2相切于點(diǎn)Q．若|AQ|＝eq\r(3)，則雙曲線E的離心率是()A．2eq\r(3)B．eq\r(5)C．eq\r(3)D．eq\r(2)答案C解析如圖，設(shè)△PAF2的內(nèi)切圓與PF2相切于點(diǎn)M．依題意知，|AF1|＝|AF2|，根據(jù)雙曲線的定義，以及P是雙曲線E右支上一點(diǎn)，得2a＝|PF1|－|PF2|，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，得|PF1|＝|AF1|＋|PA|＝|AF1|＋(|PM|＋|AQ|)，|PF2|＝|PM|＋|MF2|＝|PM|＋|QF2|＝|PM|＋(|AF2|－|AQ|)．所以2a＝2|AO|＝2eq\r(3)，即a＝eq\r(3)．因?yàn)閨F1F2|＝6，所以c＝3，所以雙曲線E的離心率是e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3)，故選C．(39)已知F是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，直線y＝eq\f(b,a)x交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若cos∠AFB＝eq\f(1,3)，則橢圓的離心率是________．答案eq\f(2\r(5),5)解析令A(yù)在第三象限，B在第一象限，將直線方程代入橢圓方程，求得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，－\f(\r(2),2)b))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)b))，故|AB|＝eq\r(2)a·eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)．在△ABF中運(yùn)用面積公式得eq\f(1,2)·|AF|·|BF|·sin∠AFB＝eq\f(1,2)·|OF|·|yA－yB|，①．再運(yùn)用余弦定理得|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF|·|BF|·cos∠AFB，②．聯(lián)立①②解得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(5),5)．(40)在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝λ，當(dāng)λ＞0且λ≠1時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，現(xiàn)有橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，C，D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝2，△PAB的面積最大值為eq\f(16,3)，△PCD面積的最小值為eq\f(2,3)，則橢圓的離心率為________．答案eq\f(\r(3),2)解析依題意A(－a，0)，B(a，0)，設(shè)P(x，y)，依題意得|PA|＝2|PB|，eq\r((x＋a)2＋y2)＝2eq\r((x－a)2＋y2)，兩邊平方化簡(jiǎn)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3)a))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))2，故圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5a,3)，0))，半徑r＝eq\f(4a,3)．所以△PAB的最大面積為eq\f(1,2)·2a·eq\f(4,3)a＝eq\f(16,3)，解得a＝2，△PCD的最小面積為eq\f(1,2)·2b·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5a,3)－\f(4a,3)))＝b·eq\f(a,3)＝eq\f(2,3)，解得b＝1．故橢圓的離心率為e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\f(1,4))＝eq\f(\r(3),2)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】37．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上位于第二象限內(nèi)的點(diǎn)，延長(zhǎng)PF1交橢圓于點(diǎn)Q，若PF2⊥PQ，且|PF2|＝|PQ|，則橢圓的離心率為()A．eq\r(6)－eq\r(3)B．eq\r(2)－1C．eq\r(3)－eq\r(2)D．2－eq\r(2)37．答案A解析PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2為等腰直角三角形，設(shè)|PF2|＝t，則|QF2|＝eq\r(2)t，由橢圓的定義可得|PF1|＝2a－t，2t＋eq\r(2)t＝4a，則t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\r(2)))a，在直角三角形PF1F2中，可得t2＋(2a－t)2＝4c2,4(6－4eq\r(2))a2＋(12－8eq\r(2))a2＝4c2，化為c2＝(9－6eq\r(2))a2，可得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3)．故選A．38．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)B，A，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為()A．eq\r(7)B．4C．eq\f(2\r(3),3)D．eq\r(3)38．答案A解析因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形，所以不妨設(shè)|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，因?yàn)锳為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，因?yàn)锽為雙曲線左支上一點(diǎn)，所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos120°，得c2＝7a2，則e2＝7，又e>1，所以e＝eq\r(7)．故選A．39．已知F是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，則橢圓E的離心率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(2),2)39．答案C解析解法一：設(shè)F1是橢圓E的右焦點(diǎn)，如圖，連接PF1，QF1.根據(jù)對(duì)稱性，線段FF1與線段PQ在點(diǎn)O處互相平分，所以四邊形PFQF1是平行四邊形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根據(jù)橢圓的定義，|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，所以|PF1|＝eq\f(2,3)a，|PF|＝eq\f(4,3)a，而|F1F|＝2c，在△F1PF中，由余弦定理，得(2c)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)a))2－2×eq\f(2,3)a×eq\f(4,3)a×cos60°，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，所以橢圓E的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)．故選C．解法二：設(shè)F1是橢圓E的右焦點(diǎn)，連接PF1，QF1.根據(jù)對(duì)稱性，線段FF1與線段PQ在點(diǎn)O處互相平分，所以四邊形PFQF1是平行四邊形，|FQ|＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，又|FP|＝2|PF1|，所以△FPF1是直角三角形，∠FF1P＝90°，不妨設(shè)|PF1|＝1，則|FP|＝2，|FF1|＝2c＝eq\r(|PF|2－|PF1|2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，根據(jù)橢圓的定義，2a＝|PF|＋|PF1|＝1＋2＝3，所以橢圓E的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)．故選C．40．已知F是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，若F為過AF的橢圓的弦的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)40．答案B解析延長(zhǎng)AF交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′．根據(jù)題意|AF|＝eq\r(b2＋c2)＝a，|AF|＝2|FB|，所以|FB|＝eq\f(a,2)．根據(jù)橢圓定義|BF′|＋|BF|＝2a，所以|BF′|＝eq\f(3a,2)．在△AFF′中，由余弦定理得cos∠F′AF＝eq\f(|F′A|2＋|FA|2－|F′F|2,2|F′A|·|FA|)＝eq\f(2a2－4c2,2a2)．在△AF′B中，由余弦定理得cos∠F′AB＝eq\f(|F′A|2＋|AB|2－|BF′|2,2|F′A|·|AB|)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(2a2－4c2,2a2)＝eq\f(1,3)，解得a＝eq\r(3)c，所以橢圓離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)．故選B．41．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若△AF1F2的面積是△BF1F2面積的三倍，cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，則橢圓E的離心率為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(2),2)41．答案D解析設(shè)|F1B|＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k>0))，依題意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．∵cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq\f(6,5)(2a－3k)(2a－k)，化簡(jiǎn)可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形．∴c＝eq\f(\r(2),2)a，橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)．42．在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)，且△OPF為正三角形，則雙曲線C的離心率為()A．eq\r(3)B．eq\f(2\r(3),3)C．1＋eq\r(3)D．2＋eq\r(3)42．答案C解析設(shè)F′為雙曲線的左焦點(diǎn)，|F′F|＝2c，依題意可得|PO|＝|PF|＝c，連接PF′，由雙曲線的定義可得|PF′|－|PF|＝2a，故|PF′|＝2a＋c，在△PF′O中，∠POF′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝eq\f(c2＋c2－2a＋c2,2c2)，化簡(jiǎn)可得c2－2ac－2a2＝0，即(eq\f(c,a))2－2×eq\f(c,a)－2＝0，解得eq\f(c,a)＝1＋eq\r(3)或eq\f(c,a)＝1－eq\r(3)(不合題意，舍去)，故雙曲線的離心率e＝1＋eq\r(3)，故選C．43．已知雙