浦東新區2018學年度第一學期教學質量檢測高三數學試卷2018.12注意：1.答卷前，考生務必在答題紙上指定位置將姓名、學校、考號填寫清楚.2.本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）只要求直接填寫結果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1.已知全集，集合，則______________.2.拋物線的焦點坐標為_________.3.不等式的解為____________.4.已知復數滿足（為虛數單位），則的模為_________.5.若函數的圖像恒過點，則函數的圖像一定經過定點_______.6.已知數列為等差數列，其前項和為.若，則________.127.在中，內角的對邊是.若，，則_____________.8.已知圓錐的體積為，母線與底面所成角為，則該圓錐的表面積為．9.已知二項式的展開式中，前三項的二項式系數之和為，則展開式中的第五項為________.10.已知函數有三個不同的零點，則實數的取值范圍為_____.11.已知數列滿足：，且若則___________.100912.已知函數，若對任意的，都存在唯一的，滿足，則實數的取值范圍為_________.解：當時，.當時，（1）若，則在上是單調遞增函數，所以.若滿足題目要求，則，所以.又，所以.（2）若，則，在上是單調遞增函數，此時；在上是單調遞減函數，此時.若滿足題目要求，則，又，所以.綜上，.二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分)13.“”是“一元二次方程有實數解”的（）A（A）充分非必要條件（B）充分必要條件（C）必要非充分條件（D）非充分非必要條件14.下列命題正確的是（）D（A）如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行（B）如果一條直線垂直于一個平面內的兩條直線，那么這條直線垂直于這個平面（C）如果一條直線平行于一個平面內的一條直線，那么這條直線平行于這個平面（D）如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行15.將位志愿者分配到進博會的個不同場館服務，每個場館至少人，不同的分配方案有（）種.B（A）（B）（C）（D）16.已知點，為曲線上任意一點，則的取值范圍為（）A（A）（B）（C）（D）三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須寫出必要的步驟．17．（本小題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分已知直三棱柱中，.（1）求異面直線與所成角；（2）求點到平面的距離．解：（1）在直三棱柱中，，,所以，．…………2分因為，，所以，為異面直線與所成的角或補角．……4分在中，因為，，所以，異面直線與所成角為．…………7分（2）設點到平面的距離為，由（1）得，…………9分，…………11分因為，，…………12分所以，，解得，．所以，點到平面的距離為．…………14分或者用空間向量：（1）設異面直線與所成角為，如圖建系，則，，…………4分因為，所以，異面直線與所成角為．…………7分（2）設平面的法向量為，則．又，，……………9分所以，由，得．…………12分所以，點到平面的距離．…………14分18．（本小題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分）已知函數.（1）若角的終邊與單位圓交于點，求的值；（2）當時，求的單調遞增區間和值域.解：（1）∵角的終邊與單位圓交于點，∴……2分…4分（2）…………6分…………8分由得，又，所以的單調遞增區間是；………………10分∵，∴…………12分∴，的值域是.………………14分19．（本小題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）某游戲廠商對新出品的一款游戲設定了“防沉迷系統”，規則如下：①3小時以內（含3小時）為健康時間，玩家在這段時間內獲得的累積經驗值（單位：）與游玩時間（小時）滿足關系式：；②3到5小時（含5小時）為疲勞時間，玩家在這段時間內獲得的經驗值為0（即累積經驗值不變）；③超過5小時為不健康時間，累積經驗值開始損失，損失的經驗值與不健康時間成正比例關系，比例系數為.（1）當時，寫出累積經驗值與游玩時間的函數關系式，并求出游玩6小時的累積經驗值；（2）該游戲廠商把累積經驗值與游玩時間的比值稱為“玩家愉悅指數”，記作；若，且該游戲廠商希望在健康時間內，這款游戲的“玩家愉悅指數”不低于24，求實數的取值范圍.解：（1）（寫對一段得1分，共3分）時，（6分）（2）時，（8分）（10分）（12分）綜上，（14分）20．（本小題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）已知雙曲線:的左、右焦點分別是、，左、右兩頂點分別是、和所在直線分別平行于軸與軸，線段的延長線與線段相交于點P（如圖）（1）若是的一條漸近線的一個方向向量，試求的兩漸近線的夾角；（2）若，，，，試求雙曲線的方程；（3）在（1）的條件下，且，點與雙曲線的頂點不重合，直線和直線與直線分別相交于點和，試問：以線段為直徑的圓是否恒經過定點？若是，請求出定點的坐標；若不是，試說明理由解：（1）雙曲線的漸近線方程為：20題圖即，所以，…………2分20題圖從而，，所以………………………..4分（2）設，則由條件知：，即．…………6分所以，，…………………..…………7分代入雙曲線方程知：……9分…………………..10分（3）因為，所以，由（1）知，，所以的方程為:，令，所以，，令，所以，，令，所以，…………12分故以為直徑的圓的方程為：，即，即，……………….14分若以為直徑的圓恒經過定點于是所以圓過軸上兩個定點和……………………16分21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知平面直角坐標系，在軸的正半軸上，依次取點（），并在第一象限內的拋物線上依次取點（），使得都為等邊三角形，其中為坐標原點，設第個三角形的邊長為.（1）求，并猜想（不要求證明）；（2）令，記為數列中落在區間內的項的個數，設數列的前項和為，試問