第五章無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）

數(shù)字濾波器的設(shè)計學(xué)時：12第五章無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）

數(shù)字濾波器的設(shè)計學(xué)時：1學(xué)習(xí)目標(biāo).掌握數(shù)字濾波器的類型、性能指標(biāo)以及數(shù)字濾波器設(shè)計的基本步驟。.沖激響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的基本原理、實現(xiàn)步驟以及沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點。.雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的基本原理、實現(xiàn)步驟以及雙線性變換法的優(yōu)缺點。.模擬低通濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器（低通、帶通、帶阻、高通）的基本原理、實現(xiàn)步驟。.數(shù)字低通濾波器設(shè)計各類IIR數(shù)字濾波器的基本原理、實現(xiàn)步驟。學(xué)習(xí)目標(biāo).掌握數(shù)字濾波器的類型、性能指標(biāo)以及數(shù)字濾波器設(shè)計的2濾波器：對輸入信號頻率成分進(jìn)行選擇的器件或系統(tǒng)：在某些頻率分量通過的同時，抑制另一些頻率分量。數(shù)字濾波器：是指輸入輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器設(shè)計：構(gòu)建因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)，并使之具有所期望的頻率選擇特性。數(shù)字濾波器分類：根據(jù)數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)h(n)的形式，數(shù)字濾波器可以分成無限長沖激響應(yīng)濾波器（IIR）和有限長沖激響應(yīng)濾波器（FIR）。5.1濾波器性能指標(biāo)與設(shè)計步驟5.1.1濾波器概述濾波器：對輸入信號頻率成分進(jìn)行選擇的器件或系統(tǒng)：在某些頻率分3按頻率選擇特性不同，濾波器可以分為低通、高通、帶通、帶阻等類型。低通高通帶通帶阻由于抽樣過程造成頻率特性延拓，數(shù)字濾波器所有的頻率特性位于數(shù)字角頻率軸上的0－2π區(qū)間。其低頻頻率成分位于π的偶數(shù)倍附近，而高頻成分位于π的奇數(shù)倍附近。按頻率選擇特性不同，濾波器可以分為低通、高通、帶通、45.1.2數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)濾波器的特性主要由頻率響應(yīng)表述其中稱為濾波器的稱為濾波器的對于相位響應(yīng)，令稱為濾波器的群延遲響應(yīng)當(dāng)濾波器的群延遲響應(yīng)為常數(shù)時，稱為線性相位濾波器線性相位濾波器將在下一章討論幅度響應(yīng)相位響應(yīng)5.1.2數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)濾波器的特性主要由頻率響應(yīng)表述5

理想濾波器對應(yīng)的時域響應(yīng)為非因果的，因而實際的濾波器頻率特性是用一個具有因果沖激響應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)對理想濾波器頻率特性的逼近。過渡帶通帶通帶截止頻率通帶容限阻帶阻帶截止頻率通帶容限低通濾波器幅頻特性理想濾波器對應(yīng)的時域響應(yīng)為非因果的，因而實際的濾波器6通帶和阻帶的衰減情況還可表示為通帶最大衰減阻帶最小衰減通常

當(dāng)時，稱為截止帶寬通帶和阻帶的衰減情況還可表示為通帶最大衰減阻帶最小衰減通常

7IIR濾波器設(shè)計過程按設(shè)計任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)。將數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標(biāo)。設(shè)計一個滿足設(shè)計指標(biāo)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)逼近此性能指標(biāo)。將設(shè)計的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。IIR濾波器設(shè)計任務(wù)：用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求先設(shè)計一個模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H（s），然后轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H（z）IIR濾波器設(shè)計過程按設(shè)計任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)85.1.3常用模擬濾波器設(shè)計方法1由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器幅度響應(yīng)常用幅度平方函數(shù)表示由于濾波器沖激響應(yīng)是實函數(shù)，因而有所以即為模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)5.1.3常用模擬濾波器設(shè)計方法1由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)92巴特沃斯濾波器巴特沃斯低通濾波器幅度平方函數(shù)N為濾波器階次為濾波器截止頻率特點：（1）處無衰減即為巴特沃斯低通濾波器的3dB帶寬（2）即因此為通帶最大衰減2巴特沃斯濾波器巴特沃斯低通濾波器幅度平方函數(shù)N為濾波器階10在（3）前（2N－1）階導(dǎo)數(shù)為0具有最平坦幅度特性，在通帶內(nèi)單調(diào)減小，階次越高，衰減越慢。（4）的增加而快速減小。階次越高，衰減越快。隨著巴特沃斯濾波器的幅頻特性完全由濾波器的階次決定。在（3）前（2N－1）階導(dǎo)數(shù)為0具有最平坦幅度特性，在通帶內(nèi)11極點左半s平面極點即為的極點，因而巴特沃斯低通濾波器

的系統(tǒng)函數(shù)為當(dāng)時,稱為歸一化，歸一化后的低通濾波器稱為原型濾波器。其系統(tǒng)函數(shù)為或極點左半s平面極點即為的極點，因而巴特沃斯低通12例1試寫出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)解：三階巴特沃斯歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)為由附表可查出所以若令，則有在頻率下設(shè)計中即可得到所需要的濾波器系統(tǒng)函數(shù)例1試寫出三階巴特沃斯低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)解：三階巴特133根據(jù)實際濾波器性能指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯濾波器通帶最大衰減阻帶最小衰減給定3根據(jù)實際濾波器性能指標(biāo)設(shè)計巴特沃斯濾波器通帶最大衰減阻帶14由定義代入有及由定義代入有及15可解出計算結(jié)果取整數(shù)求解若希望通帶指標(biāo)有富裕量若希望阻帶指標(biāo)有富裕量可解出計算結(jié)果取整數(shù)求解若希望通帶指標(biāo)有富裕量若希望阻帶指標(biāo)16例2試設(shè)計一個巴特沃斯模擬低通濾波器，要求在通帶頻率低于1kHz時，允許幅度誤差在1dB以內(nèi)，在頻率大于1.5kHz的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。解：模擬低通濾波器的指標(biāo)為通帶最大衰減為阻帶最小衰減為巴特沃斯低通濾波器階數(shù)為取N=6，代入例2試設(shè)計一個巴特沃斯模擬低通濾波器，要求在通帶頻率低于117得到歸一化巴特沃斯低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為得到歸一化巴特沃斯低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為18使數(shù)字濾波器對應(yīng)的時域沖激響應(yīng)h（n）模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)h（t）。5.2沖激響應(yīng)不變法5.2.1變換原理經(jīng)過抽樣則在抽樣序列的z變換和模擬信號的拉普拉斯變換之間，存在關(guān)系使數(shù)字濾波器對應(yīng)的時域沖激響應(yīng)h（n）模仿模擬19變換過程為從z平面到s平面的映射沖激響應(yīng)不變法映射關(guān)系變換過程為從z平面到s平面的映射沖激響應(yīng)不變法映射關(guān)系205.2.2模擬濾波器的數(shù)字化方法設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)只有單階極點，且分母的階次大于分子的階次。濾波器的沖激響應(yīng)為對求z變換5.2.2模擬濾波器的數(shù)字化方法設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)21比較若或和1.s平面單極點變換為z平面的單極點。S平面的左半平面上2.的部分分式系數(shù)是的T倍。3.穩(wěn)定的模擬濾波器變換為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。例1比較若或和1.s平面單極點22設(shè)計濾波器時，都是實數(shù)，因此的極點一定是以共軛形式出現(xiàn)。對于這種共軛極點，形成二階的基本節(jié)，其模擬濾波器的二階基本節(jié)有兩種形式極點相應(yīng)數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的形式為12極點相應(yīng)數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的形式為設(shè)計濾波器時，都是實數(shù)，因此的極點一定235.2.3沖激響應(yīng)不變法實現(xiàn)步驟沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器具有模擬濾波器的相似特性。設(shè)計過程：1.確定數(shù)字濾波器性能指標(biāo)和。2.數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器指標(biāo)和。利用3.設(shè)計模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。4.模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。5.2.3沖激響應(yīng)不變法實現(xiàn)步驟沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾245.2.4沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)點和缺點優(yōu)點：1.沖激響應(yīng)模仿模擬濾波器，時域特性逼進(jìn)程度好。2.模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間為線性關(guān)系。3.轉(zhuǎn)換簡單。缺點：頻譜混疊現(xiàn)象，只能構(gòu)成低通和帶通濾波器。5.2.4沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)點和缺點優(yōu)點：1.沖激響應(yīng)25解：模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)可表示為例3設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，試?yán)脹_激響應(yīng)不變法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器。所以數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為若令抽樣時間T＝1解：模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)可表示為例3設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為26為了克服沖激不變法造成的多值映射而產(chǎn)生混疊失真，采用兩次映射的方法：5.3雙線性變換法5.3.1變換原理通過上述兩次映射，整個s平面上的點與z平面上的點一一對應(yīng)，消除了多值映射造成的混疊。1.s平面映射為s1平面上之間的條帶區(qū)域。2.s1平面上之間的條帶區(qū)域映射至z平面。為了克服沖激不變法造成的多值映射而產(chǎn)生混疊失真，27雙線性變換映射關(guān)系雙線性變換映射關(guān)系285.3.2模擬濾波器數(shù)字化方法s平面到s1平面的變換關(guān)系為C為常數(shù)可得s平面到s1平面的關(guān)系為5.3.2模擬濾波器數(shù)字化方法s平面到s1平面的變換關(guān)系為29由s1平面到z平面的關(guān)系可得s平面到z平面的關(guān)系為以及稱為雙線性變換c用來調(diào)解模擬頻率和數(shù)字頻率之間的對應(yīng)關(guān)系：1.在低頻頻率處模擬濾波器和數(shù)字濾波器有較確切的對應(yīng)關(guān)系由有即由s1平面到z平面的關(guān)系可得s平面到z平面的關(guān)系為以及稱為雙30于是，s平面和z平面的映射關(guān)系成為以及2.在某一確定頻率處模擬濾波器和數(shù)字濾波器有較確切的對應(yīng)關(guān)系由對應(yīng)關(guān)系，若希望有則對應(yīng)有注意：通過c的選擇，僅僅能使模擬濾波器某個頻率點及其附近頻率與數(shù)字濾波器的頻率對應(yīng)，其他點上仍然是非線性關(guān)系。于是，s平面和z平面的映射關(guān)系成為以及2.在某一確定頻率處模31雙線性變換產(chǎn)生的頻率畸變線性幅頻響應(yīng)與之間

的非線性關(guān)系和

之間的線性關(guān)系的非線性幅頻響應(yīng)雙線性變換產(chǎn)生的頻率畸變線性幅頻響應(yīng)與之間

的非32預(yù)畸變方法：

在由數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換至模擬頻率過程時，數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換為模擬頻率采用5.3.3雙線性變換法實現(xiàn)步驟1.確定數(shù)字濾波器指標(biāo)2.數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo)3.設(shè)計模擬濾波器，得到4.模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器一般情況下，c取2/T，T取1例預(yù)畸變方法：

在由數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換至模擬頻率過程時，數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換33解：1.數(shù)字濾波器指標(biāo)：衰減未要求，由濾波器階數(shù)確定。例4已知一階模擬低通濾波器為，其中為其3dB帶寬。用雙線性變換法將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，并要求其3dB帶寬為通帶截止頻率2.頻率轉(zhuǎn)換：3.設(shè)計模擬濾波器：4.模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器：解：例4已知一階模擬低通濾波器為34結(jié)果：頻率響應(yīng)為：滿足設(shè)計要求結(jié)果：頻率響應(yīng)為：滿足設(shè)計要求355.4模擬低通濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器頻率變換法：將數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)先轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo)，設(shè)計模擬歸一化原型濾波器。再根據(jù)頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系（低通→低通、帶通、高通、帶阻，模擬→數(shù)字）設(shè)計數(shù)字濾波器。頻率變換法的兩種方式5.4模擬低通濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器頻率變換法：頻36變換類型頻率變換關(guān)系S平面變換關(guān)系低通→原型歸一化低通高通→原型歸一化低通帶通→原型歸一化低通帶阻→原型歸一化低通頻率變換關(guān)系表中：歸一化低通模擬濾波器角頻率實際模擬濾波器角頻率實際模擬濾波器系統(tǒng)變量歸一化低通模擬濾波器系統(tǒng)變量變換類型頻率變換關(guān)系S平面變換關(guān)系低通→原型歸一化低通高通37帶通及帶阻濾波器的帶寬濾波器中心頻率5.4.1模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換數(shù)字低通濾波器例5－4小結(jié)模擬域頻率變換法變換過程：1.數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo)。(頻率轉(zhuǎn)換）2.設(shè)計原型低通濾波器。（根據(jù)衰減指標(biāo)求原型濾波器階次）3.原型低通濾波器轉(zhuǎn)換成實際模擬濾波器。（頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系式及3dB截止頻率代入原型低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)）4.沖激不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換模擬濾波器為數(shù)字濾波器。帶通及帶阻濾波器的帶寬濾波器中心38例5－4試用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計一巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，要求在通帶頻率低于0.2πrad時，允許幅度誤差衰減在1dB以內(nèi)，在頻率0.3π到π之間阻帶衰減在15dB。通帶頻率rad/s，通帶最小衰減δp=1dB；阻帶頻率rad/s，阻帶最大衰減δs=15dB。解：轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo)（設(shè)采樣周期T=1）:實際模擬低通濾波器指標(biāo)數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)為:通帶頻率，通帶最大衰減；阻帶頻率，阻帶最小衰減。

例5－4試用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計一巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，要39設(shè)計巴特沃斯原型低通濾波器取N＝6即為滿足設(shè)計要求的巴特沃斯原型濾波器轉(zhuǎn)換為實際低通濾波器根據(jù)平面對應(yīng)關(guān)系，原型低通濾波器到實際低通濾波器的轉(zhuǎn)換方式為即是由巴特沃斯濾波器的設(shè)計方法設(shè)計巴特沃斯原型低通濾波器取N＝6即為滿足設(shè)計要求的巴特沃斯40于是即為實際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器將展開為部分分式并采用沖激不變法于是即為實際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為數(shù)字低通濾波器將415.4.2模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換數(shù)字帶通濾波器1.由歸一化原型低通濾波器到模擬帶通濾波器的轉(zhuǎn)換歸一化原型低通濾波器到模擬帶通濾波器的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系為其中帶通濾波器的帶寬濾波器中心頻率及5.4.2模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換數(shù)字帶通濾波器1.由歸一化原型低42于是2.由模擬帶通濾波器到數(shù)字帶通濾波器的轉(zhuǎn)換沖激不變法分解成部分分式，轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器雙線性變換法結(jié)合頻率變換關(guān)系后，有例5－5

對于雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器特別需要注意頻率變化過程中的頻率畸變。于是2.由模擬帶通濾波器到數(shù)字帶通濾波器的轉(zhuǎn)換沖激不變法分解43試用雙線性變換法設(shè)