5．2向量數量積的坐標表示5．3利用數量積計算長度與角度學習任務核心素養1．掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算．(重點)2．能運用向量數量積的坐標表達式表示向量的模與夾角，會判斷兩個向量的垂直關系．(難點)通過平面向量數量積的應用，培養數學運算與邏輯推理素養．“我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛飛過絕望，不去想他們擁有美麗的太陽，我看見每天的夕陽也會有變化，我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛給我希望…”，如果能為平面向量的數量積插上“翅膀”，它又能飛多遠呢？閱讀教材，回答下列問題．問題1：平面向量的數量積(內積)的定義是什么？問題2：向量a與b垂直的條件是什么？問題3：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何計算a與b的數量積？知識點1平面向量的數量積、模、夾角、垂直的坐標表示(1)數量積的坐標表示：設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．(2)模、夾角、垂直的坐標表示：1.已知向量a＝(－4，7)，向量b＝(5，2)，則a·b的值是()A．34B．27C．－43D．－6D[a·b＝(－4，7)·(5，2)＝－4×5＋7×2＝－6.]知識點2平面直角坐標系中兩點間的距離公式如果表示向量a的有向線段eq\o(AB,\s\up8(→))的起點和終點的坐標分別是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，y2))，那么a＝(x2－x1，y2－y1).則|a|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up8(→))))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－x1))\s\up8(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－y1))\s\up8(2)).如何利用向量知識與方法推導平面直角坐標系中，兩點間的距離公式？[提示]eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up8(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up8(→))·\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－x1))\s\up8(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－y1))\s\up8(2)).2.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若兩非零向量的夾角θ滿足cosθ＜0，則θ一定是鈍角． ()(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2). ()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. ()[答案](1)×(2)√(3)√類型1平面向量數量積的坐標運算【例1】已知向量a和b同向，b＝(1，2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐標；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解](1)設a＝λb＝(λ，2λ).∵a·b＝10，∴eq\r(5)λ·eq\r(5)cos0°＝10，解得λ＝2.∴a＝(2，4).(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.數量積的坐標運算方法進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質．解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積的坐標運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知計算．eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b).[解](1)a·b＝3＋(－1)×(－2)＝5.(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝16＋9＝25.(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(9＋1)－(1＋4)＝5.類型2向量的夾角【例2】已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，求滿足下列條件的實數λ的取值范圍．(1)a與b的夾角為90°；(2)a與b的夾角為銳角．由向量的夾角公式，可轉化判定a·b的符號．[解](1)a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.∵a⊥b，∴a·b＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－eq\f(1,2).(2)∵a與b的夾角為銳角，∴a·b>0且a與b不同向．因此1＋2λ>0，∴λ>－eq\f(1,2).又∵a與b共線且同向時，λ＝2.∴a與b的夾角為銳角時，λ的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞).若本例條件不變，如何求a與b的夾角為鈍角時，λ的取值范圍？[解]∵a與b的夾角θ為鈍角，∴cosθ<0且cosθ≠－1，∴a·b<0且a與b不反向．由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－eq\f(1,2)，由a與b共線得λ＝2，故a與b不可能反向，所以λ的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).利用數量積求兩向量夾角的步驟eq\a\vs4\al([跟進訓練])2．設向量eq\o(OA,\s\up8(→))＝(1，0)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(1，1)，則向量eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))的夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)B[cosθ＝eq\f(\o(OA,\s\up8(→))·\o(OB,\s\up8(→)),|\o(OA,\s\up8(→))||\o(OB,\s\up8(→))|)＝eq\f(1×1＋0×1,\r(1)·\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，π))，∴θ＝eq\f(π,4).]類型3向量的?！纠?】設平面向量a＝(1，1)，b＝(0，2).求a－2b的坐標和模的大?。甗解]∵a＝(1，1)，b＝(0，2)，∴a－2b＝(1，1)－2(0，2)＝(1，－3)，∴|a－2b|＝eq\r(12＋（－3）2)＝eq\r(10).1．在本例條件不變的情況下，若c＝3a－(a·b)b，求|c[解]∵a·b＝x1x2＋y1y2＝2，∴c＝3(1，1)－2(0，2)＝(3，－1)，∴|c|＝eq\r(32＋（－1）2)＝eq\r(10).2．在本例條件不變的情況下，若ka－b與a＋b共線，求k的值．[解]∵a＝(1，1)，b＝(0，2)，∴ka－b＝k(1，1)－(0，2)＝(k，k－2).a＋b＝(1，1)＋(0，2)＝(1，3).∵ka－b與a＋b共線，∴eq\f(k－2,k)＝3，∴k＝－1.3．在本例條件不變的情況下，若|ka－b|＝eq\r(10)，求k的值．[解]∵ka－b＝k(1，1)－(0，2)＝(k，k－2)，且|ka－b|＝eq\r(10).∴eq\r(k2＋（k－2）2)＝eq\r(10)，解得k＝3或kk＝3或k＝－1時滿足條件．1.已知向量a＝(x，y)求其模，主要利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2)求解．2.形如(ma＋nb)·(ka＋eb)(m，n，k，e∈R)的坐標運算，有兩條途徑：其一，先化簡再代入，即展開轉化為a2，a·b，b2的坐標運算；其二，先代入再化簡，即先求ma＋nb與ka＋eb的坐標，再運算．，尤其是在解決與平行，垂直，線段的長，角的大小有關的問題時，有非常重要的應用．eq\a\vs4\al([跟進訓練])3．在△ABC，AB＝3，AC＝5，∠A＝120°，求其中線AD的長．[解]依題意，eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))，所以eq\o(AD,\s\up8(→))2＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up8(→))2＋2eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))2)，所以|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＝eq\f(1,4)(|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋2|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|cos∠A＋|eq\o(AC,\s\up8(→))|2)＝eq\f(1,4)(32＋2×3×5×cos120°＋52)＝eq\f(19,4)，所以|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(19),2).即中線AD的長為eq\f(\r(19),2).1．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝()A．－4B．－3C．－2D．－1B[因為m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.]2．(多選題)已知a，b是單位向量，且a＋b＝(1，－1)，則()A．|a＋b|＝2 B．a與b垂直C．a與a－b的夾角為eq\f(π,4) D．|a－b|＝1BC[由a＋b＝(1，－1)兩邊平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝12＋(－1)2＝2，則|a＋b|＝eq\r(2)，所以A選項錯誤；因為a，b是單位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，所以B選項正確；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝eq\r(2)，所以D選項錯誤；設a與a－b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·（a－b）,|a||a－b|)＝eq\f(a2－a·b,1×\r(2))＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，θ∈[0，π]，所以a與a－b的夾角為eq\f(π,4)，所以C選項正確．故選BC.]3．若平面向量a＝(1，－2)與b的夾角是180°，且|b|＝4eq\r(5)，則b＝________．(－4，8)[由題意可設b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，則|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b＝－4a＝(－4，84．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，則(－4，－10)或(－4，－6)[∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，∴5a－b＝(－11，－10－k)，b－3a＝(5，∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，∴(k＋10)(k＋6)＝0，∴k＝－10或k＝－6，∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6).]5．已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5).(1)|a＋2b|＝________；(2)若(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，則向量a與c的夾角為________．(1)3eq\r(5)(2)eq\f(2π,3)[(1)a＋2b＝(1，2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，∴|a＋2b|＝eq\r(（－3）2＋（－6）2)＝3eq\r(5).(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1，2)＝－2a∴a＋b＝－a，∴(a＋b)·c＝－a·c＝eq\f(5,2).∴a·c＝－eq\f(5,2).又|a|＝eq\r(5)，|c|＝eq\r(5)，∴cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(－\f(5,2),|\r(5)||\r(5)|)＝－eq\f(1,2)，又〈a，c〉∈[0，π]，∴〈a，c〉＝eq\f(2π,3).∴向量a與c的夾角為eq\f(2π,3).]回顧本節內容，自我完成以下問題：1.平面向量數量積的兩種不同運算形式的作用是什么？[提示]平面