第6章

二維變換及二維觀察本章要處理問題

■怎樣對二維圖形進行方向、尺寸和形狀方面變換■怎樣方便地實現在顯示設備上對二維圖形進行觀察

1/1006.1基本概念■齊次坐標用n+1維向量表示一個n維向量━齊次坐標表示法(P1,P2,…,Pn)→（hP1,hP2,…，hPn,h）

h稱為啞坐標2/100說明：①h能夠取不一樣值，所以同一點齊次坐標不是唯一。（2,3）→(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。②普通坐標與齊次坐標關系為“一對多”由普通坐標

h→齊次坐標由齊次坐標÷h→普通坐標③當h=1時產生齊次坐標稱為“規格化坐標”，因為前n個坐標就是普通坐標系下n維坐標。3/100(x,y)點對應齊次坐標為(x,y)點對應齊次坐標為三維空間一條直線4/100規范化齊次坐標作用：可將圖形變換表示為圖形點集規范化次坐標矩陣與某一變換矩陣相乘形式。如：5/100■幾何變換對圖形幾何信息經過平移、百分比、旋轉等變換后產生新圖形，是圖形在方向、尺寸和形狀方面變換。6/100■二維變換矩陣二維空間中某點變換能夠表示成點齊次坐標與3階二維變換矩陣T2D相乘：二維變換矩陣7/1006.2基本幾何變換相對于坐標原點和坐標軸進行幾何變換。■平移變換將p點沿直線路徑從一個坐標位置移到另一個坐標位置重定位過程。平移是一個不產生變形而移動物體剛體變換。8/100Tx，Ty稱為平移矢量變換矩陣9/100例：已知點P（20，30），求平移（Tx=20,Ty=15）后坐標。10/100■百分比變換對p點相對于坐標原點沿x方向放縮Sx倍，沿y方向放縮Sy倍。其中Sx和Sy稱為百分比系數。11/100變換矩陣以坐標原點為放縮參考點12/100■旋轉變換

將p點繞坐標原點轉動某個角度（逆時針為正，順時針為負）得到新點p’重定位過程。13/100逆時針旋轉θ角αθρ(x,y)(x′,y′)14/100例：求P(2,1)逆時針旋轉30°后坐標。15/100當θ很小時，簡化計算：16/100■對稱變換

原圖形關于某一軸線或原點鏡像。17/10018/100當b=d=0,a=1,e=-1時，與x軸對稱：19/100當b=d=0,a=-1,e=1時，與y軸對稱：20/100當b=d=0,a=e=-1時，與原點對稱：21/100當b=d=1,a=e=0時，與y=x對稱：22/100當b=d=-1,a=e=0時，與y=-x對稱：23/100

■錯切變換

也稱為剪切、錯位變換，用于產生彈性物體變形處理。24/1001)當b=0時，圖形y坐標不變；當c>0：圖形沿+x方向作錯切位移。當c<0：圖形沿-x方向作錯切位移。2)當c=0時，圖形x坐標不變；當b>0：圖形沿+y方向作錯切位移。當b<0：圖形沿-y方向作錯切位移。25/100■二維圖形幾何變換計算幾何變換均可表示成P’=P*T形式

1.點變換

2.直線變換 3.多邊形變換 4.曲線變換26/1006.3復合變換?圖形作一次以上幾何變換，變換結果是每次變換矩陣相乘。?任何一復雜幾何變換都能夠看作基本幾何變換組合形式。復合變換含有形式：27/100■二維復合平移

P(x,y)???P

(x

y

1)P*(x*y*1)（Tx1,Ty1）（Tx2,Ty2）28/10029/100得到二維復合平移矩陣：相加性30/100■二維復合百分比???P(x,y)P

(x

y

1)P*(x*y*1)（Sx1,Sy1）（Sx2,Sy2）31/10032/100二維復合百分比矩陣：相乘性33/100■二維復合旋轉???θ1θ2P(x,y)P

(x

y

1)P*(x*y*1)34/10035/100二維復合旋轉矩陣：相加性36/100■二維各種復合變換例：將P(2,3)平移（Tx=5,Ty=6）后再百分比(Sx=2,Sy=0.5)變換。37/100■相對任一參考點二維幾何變換相對某個參考點(xF,yF)作二維幾何變換，其變換過程為：(分解成基本幾何變換） (1)平移。 (2)針對原點進行二維幾何變換。 (3)反平移。38/100例1.相對點(xF,yF)旋轉變換T(-XF,-YF)?R(θ)?T(XF,YF)30o（1，1）(2.5,1.5)(Xp,Yp)T(-1,-1)?R(30o)?T(1,1)39/10040/10041/100例2.相對點(xF,yF)百分比變換

T(-XF,-YF)?S(Sx,Sy)?T(XF,YF)（1，1）(2,1.5)(Xp,Yp)T(-1,-1)?S(2,2.5)?T(1,1)

Sx=2,Sy=2.542/100■相對任意方向二維幾何變換相對任意方向作二維幾何變換，其變換過程是： (1)旋轉變換 (2)針對坐標軸進行二維幾何變換； (3)反向旋轉43/100例3.

相對直線y=x反射變換①將直線順時針旋轉θ角：②圖形關于x軸反射變換：??(x,y)44/100③將(x,y)逆時針旋轉θ角：??(x,y)可得復合變換矩陣：45/100■坐標系之間變換問題：46/100能夠分兩步進行：47/100于是：

48/100假定xp=3,yp=4,x0=1,y0=1,Q=30o,則：49/100■小結

1.任何幾何變換都能夠由齊次坐標向量與對應變換矩陣相乘表示，不一樣變換歸結為尋找其對應變換矩陣。2.復合變換能夠看成一系列基本幾何變換合成，將這一系列基本幾何變換變換矩陣相乘得到復合變換矩陣。50/100■光柵變換直接對幀緩存中象素點進行操作變換。

光柵平移變換：

51/10090°、180°和270°光柵旋轉變換：先顛倒每行像素值，后交換行列先顛倒每行像素值，后顛倒行次序52/100任意角度光柵旋轉變換：

53/100光柵百分比變換：

54/1006.4兩維觀察■基本概念窗口（Window）在用戶坐標系中需要進行觀察和處理一個坐標區域。視區（Viewport）窗口映射到顯示設備上坐標區域。55/100 要將窗口內圖形顯示到視區中，必須經過將窗口到視區變換（Window-ViewportTransformation）處理，這種變換稱觀察變換（ViewingTransformation）。56/100觀察坐標系依據窗口方向和形狀在用戶坐標平面中定義直角坐標系。x用戶y用戶窗口y觀察x觀察(a)觀察坐標系引入觀察坐標系目標：簡化窗口到視區變換。57/100規格化設備坐標：將二維設備坐標系規格化到（0.0，0.0）到（1.0，1.0）坐標范圍內形成坐標系。x用戶y用戶窗口y觀察x觀察(a)觀察坐標系1xNDCyNDC視區1(b)規格化設備坐標系引入規格化坐標系目標：使觀察變換獨立于設備。58/100

引入了觀察坐標系和規格化設備坐標系后，觀察變換分為以下列圖所表示幾個步驟，通常稱為二維觀察流程。

59/100二維觀察流程設置，為圖形觀察提供了非常靈活方式：變焦距效果60/100整體放縮效果漫游效果：

經過移動窗口。61/100■用戶坐標系到觀察坐標系變換

由兩個變換步驟合成：

①將觀察坐標系原點移到用戶坐標系原點。62/100②繞原點旋轉使兩坐標系重合。

63/100■窗口到視區變換64/100 要將窗口內點（xw,yw）映射到相對應視區內點（xv,yv）需進行以下步驟：

①將窗口左下角點移至觀察坐標系原點。

②針對原點進行百分比變換。

③進行反平移。65/1006.5裁剪在二維觀察中，需要在觀察坐標系下對窗口進行裁剪，即只保留窗口內那部分圖形，去掉窗口外圖形。假設窗口是標準矩形，即邊與坐標軸平行矩形。（wxl，wyt）——（wxr，wyb）66/100■點裁剪保留滿足以下條件點：67/100■直線段裁剪假定直線段用p1(x1,y1)p2(x2,y2)表示。直線段和剪裁窗口可能關系：?完全落在窗口內?完全落在窗口外?與窗口邊界相交

68/100?實交點：與窗口邊界交點。?虛交點：與窗口邊界延長線交點，或延長線與窗口邊界交點。

69/100Cohen-Sutherland算法

編碼裁剪算法基本思想：對每條直線段p1p2分三種情況處理：

①直線段完全可見，“簡取”之。

②直線段完全不可見，“簡棄”之。

③直線段既非“簡取”又非“簡棄”，需對直線段按交點進行分段，分段后重復上述處理。

70/100編碼：對于任一端點(x,y)，依據其坐標所在區域，賦予一個4位二進制碼D3D2D1D0。編碼規則以下：若x<wxl，則D0=1，不然D0=0；若x>wxr，則D1=1，不然D1=0；若y<wyb，則D2=1，不然D2=0；若y>wyt，則D3=1，不然D3=0。

71/100裁剪：裁剪一條線段時，先求出端點p1和p2編碼code1和code2，然后：①若code1|code2=0：簡取。②若code1&code2≠0：簡棄。72/100

③不然：求直線段與窗口邊界交點，棄外段。再對另一段重復進行上述處理…。73/100求交：假定直線端點為(x1,y1)和(x2,y2)?左、右邊界交點計算：?上、下邊界交點計算：

74/100算法步驟：

①輸入直線段兩端點坐標：p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，以及窗口四條邊界坐標：wyt、wyb、wxl和wxr。②對p1、p2進行編碼：點p1編碼為code1，點p2編碼為code2。75/100③若code1|code2=0，簡取之，轉⑥；不然，若code1&code2≠0，簡棄之，轉⑦；當上述兩條均不滿足時，進行步驟④。④確保p1在窗口外部：若p1在窗口內，則交換p1和p2坐標值和編碼。76/100⑤按左、右、下、上次序求出直線段與窗口邊界交點，并用該交點坐標值替換p1坐標值。去掉p1s這一段。轉②。⑥畫當前直線段p1p2。⑦算法結束。

77/100算法特點：對完全可見或完全不可見線段：快速。尤其適合用于大窗口情況。78/100中點分割算法基本思想：當對直線段不能簡取也不能簡棄時，簡單地把線段等分為二段，對兩段重復前述測試處理，直至每條線段完全在窗口內或完全在窗口外。

79/100算法步驟：①輸入直線段兩端點坐標：p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，以及窗口四條邊界坐標：wyt、wyb、wxl和wxr。②對p1、p2進行編碼：點p1編碼為code1，點p2編碼為code2。80/100③若code1|code2=0，簡取之，保留端點坐標，轉⑤；不然，若code1&code2≠0，簡棄之，轉⑤；當上述兩條均不滿足時，進行步驟④。④求出直線段中點M，將p1M、p2M入棧。81/100⑤當棧不空時，從棧中彈出一條直線段，取為p1p2，轉②進行處理。不然，繼續⑥。⑥當棧為空時，合并保留直線段端點，得到窗口內直線段p1p2。畫出當前直線段p1p2，算法結束。82/100中點分割算法關鍵思想是經過二分迫最近確定直線段與窗口交點。重新結構算法步驟：①若code1|code2=0，對直線段應簡取之，結束；不然，若code1&code2≠0，對直線段可簡棄之，結束；當這兩條均不滿足時，進行步驟②。83/100②找出該直線段離窗口邊界最遠點和該直線段中點。判中點是否在窗口內：若不在，則把中點和離窗口邊界最遠點組成線段丟掉，以線段上另一點和該中點再組成線段求其中點；如中點在窗口內，則又以中點和最遠點組成線段，并求其中點，直到中點靠近窗口邊界，則該中點就是該線段落在窗口內一個端點坐標。③如另一點在窗口內，則經②即確定了該線段在窗口內部分。如另一點不在窗口內，則該點和所求出在窗口上那一點組成一條線段，重復步驟②，即可求出落在窗口內另一點。84/100算法特點：只用到加法和位移運算，便于用硬件實現。85/100

梁友棟-Barsky算法設要裁剪線段是P0P1。P0P1和窗口邊界交于A,B,C,D四點。算法基本思想是:從A,B和P0三點中找出最靠近P1點(P0)。從C,D和P1中找出最靠近P0點(C)。那么P0C就是P0P1線段上可見部分。86/100線段參數表示:x=x0+t△xy=y0+t△y0<=t<=1△x=x1-x0△y=y1-y0窗口邊界四條邊分為兩類：始邊和終邊。87/100交點計算：?求出P0P1與兩條始邊交點參數t0,t1,令tL=max(t0,t1,0)，則tL即為三者中離p1最近點參數?求出p0p1與兩條終邊交點參數t2,t3,令tu=min(t2,t3,1)，則tU即為三者中離p0最近點參數?若tu>tL,則可見線段區間[tL,tu]t0t1t2t3088/100■多邊形裁剪問題提出：

不但裁線條，要處理好多邊形拓樸關系89/100Sutherland-Hodgeman多邊形裁剪

逐邊裁剪算法基本思想：每次用窗口一條邊對多邊形進行裁剪。90/10091/100算法實施策略：?為窗口各邊界裁剪