無窮級數無窮級數無窮級數是研究函數工具表示函數研究性質數值計算數項級數冪級數付氏級數第十二章第1頁常數項級數概念和性質一、常數項級數概念

二、無窮級數基本性質三、級數收斂必要條件*四、柯西審斂原理第一節第2頁一、常數項級數概念

引例1.

用圓內接正多邊形面積迫近圓面積.依次作圓內接正邊形,這個和迫近于圓面積A.設a0

表示即內接正三角形面積,ak

表示邊數增加時增加面積,則圓內接正第3頁引例2.小球從1米高處自由落下,每次跳起高度減少二分之一,問小球是否會在某時刻停頓運動?說明道理.由自由落體運動方程知則小球運動時間為(s)設

tk

表示第k

次小球落地時間,第4頁定義：給定一個數列將各項依即稱上式為無窮級數，其中第

n

項叫做級數普通項,級數前

n

項和稱為級數部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級數并稱S

為級數和,記作第5頁當級數收斂時,稱差值為級數余項.則稱無窮級數發散.顯然第6頁例1.討論等比級數(又稱幾何級數)(q

稱為公比)斂散性.解:1)若從而所以級數收斂,從而則部分和所以級數發散.其和為第7頁2).若所以級數發散;所以n為奇數n為偶數從而綜合1)、2)可知,時,等比級數收斂;時,等比級數發散.則級數成為不存在,所以級數發散.第8頁例2.

判別以下級數斂散性:解:(1)所以級數(1)發散;技巧:利用“拆項相消”求和第9頁(2)所以級數(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項相消”求和第10頁

例3.判別級數斂散性.解:故原級數收斂,其和為第11頁二、無窮級數基本性質性質1.

若級數收斂于S,則各項乘以常數

c

所得級數也收斂,證:令則這說明收斂,其和為cS.

說明:級數各項乘以非零常數后其斂散性不變.即其和為cS.第12頁性質2.設有兩個收斂級數則級數也收斂,其和為證:

令則這說明級數也收斂,其和為第13頁說明:(2)若兩級數中一個收斂一個發散,則必發散.但若二級數都發散,不一定發散.比如,

(1)性質2表明收斂級數可逐項相加或減.(用反證法可證)第14頁性質3.在級數前面加上或去掉有限項,不會影響級數斂散性.證:

將級數前k項去掉,部分和為數斂散性相同.當級數收斂時,其和關系為類似可證前面加上有限項情況.極限情況相同,故新舊兩級所得新級數第15頁性質4.

收斂級數加括弧后所成級數仍收斂于原級數和.證:

設收斂級數若按某一規律加括弧,則新級數部分和序列為原級數部分和序列一個子序列,推論:

若加括弧后級數發散,則原級數必發散.注意:

收斂級數去括弧后所成級數不一定收斂.但發散.所以必有比如，用反證法可證比如第16頁例4.判斷級數斂散性:解:

考慮加括號后級數發散,從而原級數發散.第17頁三、級數收斂必要條件

設收斂級數則必有證:

可見:若級數普通項不趨于0,則級數必發散.比如,其普通項為不趨于0,所以這個級數發散.第18頁注意:并非級數收斂充分條件.比如,調和級數即使但此級數發散.實際上

,假設調和級數收斂于S,則但矛盾!所以假設不真.第19頁二、交織級數及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂

第二節一、正項級數及其審斂法常數項級數審斂法第20頁一、正項級數及其審斂法若定理1.

正項級數收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數

.單調遞增,收斂,也收斂.證:“”“”第21頁定理2(比較審斂法)設且(1)若級數則級數(2)若級數則級數則有收斂,也收斂;發散,也發散.是兩個正項級數,(n=1,2,3…)第22頁例1.

討論P

級數(常數p>0)斂散性.第23頁調和級數與P級數是兩個慣用比較級數.若存在對一切第24頁證實級數發散.證:

因為而級數發散依據比較審斂法可知,所給級數發散.例2.第25頁定理3.

(比較審斂法極限形式)則有兩個級數同時收斂或發散;(2)當

l=

0

(3)當

l=∞

設兩正項級數滿足(1)當0<l<∞

時,第26頁是兩個正項級數,(1)當時,兩個級數同時收斂或發散;尤其取可得以下結論:對正項級數(2)當且收斂時,(3)當且發散時,也收斂;也發散.第27頁斂散性.～例3.

判別級數斂散性.解:

依據比較審斂法極限形式知例4.

判別級數解:依據比較審斂法極限形式知～第28頁定理4

.

比值審斂法(D’ALEMBERT判別法)設為正項級數,且則(1)當(2)當時,級數收斂;或時,級數發散.(3)當時,級數可能收斂可能發散;第29頁說明:

當時,級數可能收斂也可能發散.比如,

p–級數但級數收斂;級數發散.第30頁例5.

討論級數斂散性.解:

依據定理4可知:級數收斂;級數發散;第31頁定理5.根值審斂法(CAUCHY判別法)設為正項級則數,且時,級數可能收斂也可能發散.(3)第32頁比如

,p–

級數但級數收斂;級數發散.第33頁例6.

證實級數收斂于S,似代替和S

時所產生誤差.解:

由定理5可知該級數收斂.令則所求誤差為并預計以部分和Sn

近第34頁二、交織級數及其審斂法則各項符號正負相間級數稱為交織級數.定理6

.(Leibnitz

判別法)

若交織級數滿足條件:則級數收斂,且其和其余項滿足第35頁收斂收斂用LEIBNITZ判別法判別以下級數斂散性:收斂上述級數各項取絕對值后所成級數是否收斂?發散收斂收斂第36頁三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數若若原級數收斂,但取絕對值以后級數發散,則稱原級收斂,數為條件收斂.均為絕對收斂.比如：絕對收斂；則稱原級數條件收斂

.第37頁定理7.

絕對收斂級數一定收斂.證:

設依據比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令第38頁例7.

證實以下級數絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂所以絕對收斂.第39頁(2)令所以收斂,絕對收斂.第40頁內容小結1.利用部分和數列極限判別級數斂散性2.利用正項級數審斂法必要條件不滿足發散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發散不定比較審斂法用它法判別部分和極限第41頁3.任意項級數審斂法為收斂級數Leibniz判別法:則交織級數收斂概念:絕對收斂條件收斂第42頁思索與練習設正項級數收斂,能否推出收斂?提醒:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.比如,收斂,發散.第43頁EX:1.

判別級數斂散性:解:

(1)發散,故原級數發散.不是p–級數(2)發散,故原級數發散.第44頁第三節一、函數項級數概念

二、冪級數及其收斂性三、冪級數運算冪級數第45頁一、函數項級數概念設為定義在區間I上函數項級數.對若常數項級數斂點,全部收斂點全體稱為其收斂域

;若常數項級數為定義在區間I上函數,稱收斂,發散,全部為其收為其發散點,發散點全體稱為其發散域

.第46頁為級數和函數

,并寫成若用令余項則在收斂域上有表示函數項級數前n

項和,即在收斂域上,函數項級數和是

x

函數稱它第47頁比如,

等比級數它收斂域是它發散域是或寫作又如,

級數級數發散;所以級數收斂域僅為有和函數第48頁二、冪級數及其收斂性

形如函數項級數稱為冪級數,其中數列下面著重討論比如,冪級數為冪級數系數

.即是此種情形.情形,即稱第49頁發散發散收斂收斂發散定理1.(ABEL定理)

若冪級數則對滿足不等式一切x

冪級數都絕對收斂.反之,若當一切x,該冪級數也發散.時該冪級數發散,則對滿足不等式第50頁冪級數在(－∞,+∞)收斂;由Abel定理能夠看出,中心區間.用±R

表示冪級數收斂與發散分界點,收斂域是以原點為則R=0時,冪級數僅在x=0收斂;R=

時,冪級數在(－R,R)收斂;(－R,R)加上收斂端點稱為收斂域.R稱為收斂半徑，在[－R,R]可能收斂也可能發散.外發散;在(－R,R)稱為收斂區間.發散發散收斂收斂發散第51頁定理2.

若系數滿足1)當

≠0時,2)當

＝0時,3)當

＝∞時,則第52頁收斂半徑為說明:據此定理第53頁對端點

x=－1,

收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數為交織級數收斂;

級數為發散.故收斂域為例1.求冪級數

第54頁例2.求以下冪級數收斂域:解:(1)所以收斂域為(2)所以級數僅在x=0處收斂.要求:0!=1第55頁例3.收斂半徑.解:

級數缺乏奇次冪項,不能直接應用定理2,比值審斂法求收斂半徑.時級數收斂時級數發散故收斂半徑為故直接由第56頁例4.收斂域.解:

令級數變為當t=2

時,級數為此級數發散;當t=–2時,級數為此級數條件收斂;所以級數收斂域為故原級數收斂域為即第57頁三、冪級數運算定理3.

設冪級數及收斂半徑分別為令則有:其中以上結論可用部分和極限證實.第58頁說明:兩個冪級數相除所得冪級數收斂半徑可能比原來兩個冪級數收斂半徑小得多.比如,設它們收斂半徑均為不過其收斂半徑只是第59頁定理4

若冪級數收斂半徑則其和函在收斂域上連續,且在收斂區間內可逐項求導與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同:第60頁例5.

和函數解:

易求出冪級數收斂半徑為1,x＝±1時級數發散,第61頁例6.

求級數和函數解:

易求出冪級數收斂半徑為1,及收斂,第62頁所以由和函數連續性得:而及第63頁內容小結1.求冪級數收斂域方法1)對標準型冪級數先求收斂半徑,再討論端點收斂性.2)對非標準型冪級數(缺項或通項為復合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2.冪級數性質兩個冪級數在公共收斂區間內可進行加、減與也可經過換元化為標準型再求.乘法運算.第64頁2)在收斂區間內冪級數和函數連續;3)冪級數在收斂區間內可逐項求導和求積分.思索與練習1.

已知處條件收斂,問該級數收斂半徑是多少?答:依據Abel定理可知,級數在收斂,時發散.故收斂半徑為第65頁2.

在冪級數中,n

為奇數n

為偶數能否確定它收斂半徑不存在?答:

不能.因為當時級數收斂,時級數發散,說明:

能夠證實比值判別法成立根值判別法成立第66頁阿貝爾(1802–1829)挪威數學家,近代數學發展先驅者.他在22歲時就處理了用根式解5次方程不可能性問題,他還研究了更廣一并稱之為阿貝爾群.在級數研究中,他得到了一些判斂準則及冪級數求和定理.論奠基人之一,他一系列工作為橢圓函數研究開拓了道路.數學家們工作150年.類代數方程,他是橢圓函數C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下思想可供后人發覺這是一類交換群,第67頁EX:

求極限其中解:

令作冪級數設其和為易知其收斂半徑為1,則第68頁第四節兩類問題:在收斂域內和函數求和展開本節內容:一、泰勒(Taylor)級數

二、函數展開成冪級數函數展開成冪級數第69頁一、泰勒(TAYLOR)級數

其中(

在

x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項

.則在若函數某鄰域內含有n+1階導數,此式稱為f(x)

n

階泰勒公式,該鄰域內有:第70頁為f(x)

泰勒級數.則稱當x0=0

時,泰勒級數又稱為麥克勞林級數

.1)對此級數,它收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數是否為f(x)?待處理問題:若函數某鄰域內含有任意階導數,第71頁定理1

.各階導數,則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數充要條件是f(x)泰勒公式中余項滿足:設函數f(x)在點x0某一鄰域內含有第72頁定理2.若f(x)能展成x

冪級數,則這種展開式是唯一

,且與它麥克勞林級數相同.第73頁二、函數展開成冪級數1.直接展開法由泰勒級數理論可知,第一步求函數及其各階導數在x=0處值;第二步寫出麥克勞林級數,并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區間(－R,R)內是否為驟以下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數展開式0.函數展開第74頁例1.

將函數展開成x

冪級數.解:

其收斂半徑為對任何有限數

x,其余項滿足故(

在0與x之間)故得級數第75頁例2.

將展開成x

冪級數.解:

得級數:其收斂半徑為對任何有限數

x,其余項滿足第76頁類似可推出:第77頁例3.

將函數展開成x

冪級數,其中m為任意常數.解:

易求出于是得級數因為級數在開區間(－1,1)內收斂.所以對任意常數m,第78頁稱為二項展開式

.說明：(1)在x＝±1

處收斂性與m

相關.(2)當m為正整數時,級數為x

m

次多項式,上式就是代數學中二項式定理.由此得第79頁對應二項展開式分別為第80頁2.間接展開法利用一些已知函數展開式及冪級數運算性質,例4.

將函數展開成x

冪級數.解:

因為把x

換成,得將所給函數展開成冪級數.第81頁例5.

將函數展開成x

冪級數.解:從0到x

積分,得定義且連續,區間為利用此題可得上式右端冪級數在x

＝1

收斂,所以展開式對x

＝1也是成立,于是收斂第82頁例6.

將展成解:

冪級數.第83頁例7.

將展成x－1冪級數.解:

第84頁內容小結1.函數冪級數展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式;(2)間接展開法—利用冪級數性質及已知展開2.慣用函數冪級數展開式式函數.第85頁當m=–1時第86頁思索與練習1.函數處“有泰勒級數”與“能展成泰勒級數”有何不一樣?提醒:

后者必需證實前者無此要求.2.怎樣求冪級數?提醒:第87頁例3附注第88頁EX:1.將以下函數展開成x

冪級數解:x＝±1時,此級數條件收斂,所以第89頁2.

將在x=0處展為冪級數.解:所以第90頁第五節一、近似計算

二、歐拉公式函數冪級數展開式應用機動目錄上頁下頁返回結束第91頁一、近似計算例1.

計算近似值,準確到解:

機動目錄上頁下頁返回結束第92頁例2.

計算近似值,使準確到解:

已知故令得于是有機動目錄上頁下頁返回結束第93頁在上述展開式中取前四項,機動目錄上頁下頁返回結束第94頁說明:在展開式中,令得具此遞推公式可求出任意正整數對數.如(n為自然數),機動目錄上頁下頁返回結束第95頁例3.

利用求誤差.解:

先把角度化為弧度(弧度)誤差不超出近似值,并預計機動目錄上頁下頁返回結束第96頁(取

例4.

計算積分近似值,準確到解:機動目錄上頁下頁返回結束第97頁則n

應滿足則所求積分近似值為欲使截斷誤差機動目錄上頁下頁返回結束第98頁例5.

計算積分近似值,準確到解:

因為故所給積分不是廣義積分.若定義被積函數在

x=0處值為1,則它在積分區間上連續,且有冪級數展開式:機動目錄上頁下頁返回結束第99頁二、歐拉(EULER)公式則稱①收斂

,且其和為絕對收斂收斂.若收斂,若對復數項級數①絕對收斂則稱①絕對收斂.因為,故知歐拉目錄上頁下頁返回結束第100頁定義:

復變量指數函數為易證它在整個復平面上絕對收斂.當y=0時,它與實指數函數當x=0時,冪級數展式一致.機動目錄上頁下頁返回結束第101頁（歐拉公式）（也稱歐拉公式）利用歐拉公式可得復數指數形式則機動目錄上頁下頁返回結束第102頁據此可得(德莫弗公式)利用冪級數乘法,不難驗證尤其有第六節目錄上頁下頁返回結束第103頁歐拉(1707–1783)瑞士數學家.他寫了大量數學經典著作,如《無窮小分析引論》,《微還寫了大量力學,幾何學,變分法教材.他在工作期間幾乎每年都完成800頁創造性論文.他最大貢獻是擴展了微積分領域,要分支(如無窮級數,微分方程)與微分幾何產生和發展奠定了基礎.分學原理》,《積分學原理》等,為分析學重在數學許多分支中都有以他名字命名主要常數,公式和定理.機動目錄上頁下頁返回結束第104頁函數項級數一致收斂性*第六節一、函數項級數一致收斂性及一致收斂級數基本性質二、一致收斂級數基本性質機動目錄上頁下頁返回結束

第十一章第105頁一、函數項級數一致收斂性冪級數在收斂域內性質類似于多項式,但普通函數項級數則不一定有這么好特點.比如,

級數每項在[0,1]上都連續,其前n項之和為和函數該和函數在x＝1間斷.機動目錄上頁下頁返回結束第106頁因為對任意x

都有:所以它收斂域為(－∞,+∞),但逐項求導后級數其普通項不趨于0,所以對任意x

都發散.又如,

函數項級數問題:

對什么樣函數項級數才有:逐項連續和函數連續;逐項求導=和函數求導;逐項積分=和函數積分機動目錄上頁下頁返回結束第107頁定義.設S(x)為若對都有一個只依賴于

自然數N,使當n>N

時,對區間I

上一切x

都有則稱該級數在區間I

上一致收斂于和函數S(x).在區間

I

上和函數,任意給定

>0,顯然,在區間I

上一致收斂于和函數S(x)部分和序列一致收斂于S(x)余項一致收斂于0機動目錄上頁下頁返回結束第108頁幾何解釋:(如圖)當n>N

時,曲線總位于曲線之間.機動目錄上頁下頁返回結束第109頁例1.研究級數在區間[0,+∞)上收斂性.解:機動目錄上頁下頁返回結束第110頁余項絕對值:所以,任給

>0,取自然數則當n>N

時有這說明級數在[0,+∞)上一致收斂于機動目錄上頁下頁返回結束第111頁例2.證實級數在[0,1]上不一致收斂.證:取正數對不論多么大正數N,所以級數在[0,1]上不一致收斂.機動目錄上頁下頁返回結束第112頁說明:對任意正數r<1,級數在[0,r]上一致收斂.實際上,因為在[0,r]上任給

>0,欲使只要所以取只要即級數在[0,r]上一致收斂.機動目錄上頁下頁返回結束第113頁維爾斯特拉斯(WEIERSTRASS)判別法用一致收斂定義判別級數一致收斂性時,需求出這往往比較困難.下面介紹一個較方便判別法.若函數項級數在區間I上滿足:則函數項級數在區間I上一致收斂.介紹目錄上頁下頁返回結束第114頁證:由條件2),依據柯西審斂原理,當n>N時,

對任意正整數p,都有由條件1),對x∈I,有故函數項級數在區間I上一致收斂.證畢機動目錄上頁下頁返回結束第115頁推論.若冪級數收斂半徑R>0,則此級數在(－R,R)內任一閉區間[a,b]上一致收斂.證:則對[a,b]上一切x,都有由阿貝爾定理(第三節定理1)級數絕對收斂,由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立.說明:

若冪級數在收斂區間端點收斂,則一致收斂區間可包含此端點.證畢

機動目錄上頁下頁返回結束第116頁例3.證實級數在(－∞,+∞)上一致收斂.證:而級數收斂,由維爾斯特拉斯判別法知所給級數在(－∞,+∞)上一致收斂.機動目錄上頁下頁返回結束第117頁說明:維爾斯特拉斯判別法不但能判別級數一致收斂性,而且能判別其絕對收斂性.當不易觀察到不等式可利用導數求比如,

級數用求導法可得已知收斂,所以原級數在[0,+∞)上一致收斂.機動目錄上頁下頁返回結束第118頁二、一致收斂級數基本性質定理1.若級數證:只需證實因為機動目錄上頁下頁返回結束第119頁因為級數一致收斂于S(x),使當n>N

時,有對這么選定

n,從而必存在

>0,從而得證畢機動目錄上頁下頁返回結束第120頁說明:(1)定理1表明,對一致收斂級數,極限運算與無限求和運算可交換,即有(2)若函數項級數不一致收斂時,定理結論不一定成立.比如,

級數在區間[0,1]上處處收斂,而其和函數在x=1處不連續.機動目錄上頁下頁返回結束第121頁定理2.若級數則該級數在[a,b]上可逐項積分,且上式右端級數在[a,b]上也一致收斂.證:

因為機動目錄上頁下頁返回結束第122頁所以只需證實對任意

一致有

依據級數一致收斂性,使當n>N時,有于是,當

n>N時,對一切

有所以定理結論正確.證畢機動目錄上頁下頁返回結束第123頁說明:若級數不一致收斂時,定理結論不一定成立.比如,

級數它部分和所以級數在[0,1]上收斂于S(x)=0,所以不過①為何對級數①定理結論不成立?分析它是否滿足機動目錄上頁下頁返回結束第124頁定理2條件.級數余項可見級數①在[0,1]上不一致收斂,此即定理2結論對級數①不成立原因.機動目錄上頁下頁返回結束第125頁定理3.若級數且可逐項求導,即證:先證可逐項求導.依據定理2,機動目錄上頁下頁返回結束第126頁上式兩邊對x

求導,得再證依據定理2,而機動目錄上頁下頁返回結束第127頁所以級數一致收斂并不確保能夠逐項求導.比如,例3中級數說明:在任意區間上都一致收斂,但求導后級數其普通項不趨于0,所以對任意

x

都發散.證畢機動目錄上頁下頁返回結束第128頁例4.證實函數對任意x

有連續導數.解:顯然所給級數對任意x

都收斂,且每項都有連續導數,而逐項求導后級數故級數②在(－∞,+∞)上一致收斂,故由定理3可知②再由定理1可知機動目錄上頁下頁返回結束第129頁定理4

.

若冪級數收斂半徑則其和函在收斂域上連續,且在收斂區間內可逐項求導與逐項求積分,運算前后收斂半徑相同,即證:

關于和函數連續性及逐項可積結論由維爾斯特拉斯判別法推論及定理1,2馬上可得.

下面證實逐項可導結論:機動目錄上頁下頁返回結束第130頁證:則由比值審斂法知級數故故存在M>0,使得由比較審斂法可知機動目錄上頁下頁返回結束第131頁上一致收斂,故原級數內任一閉區間上滿足定理3條件,從而可逐項求導,即知再證級數收斂半徑由前面證實可知若將冪級數機動目錄上頁下頁返回結束第132頁級數收斂半徑不會縮小,因逐項積分所得冪級數(－R,R)內有任意階導數,且有其收斂半徑都為R.推論.和函數S(x)在收斂區間證畢作業P2371;3(2);4(2),(4),(5)第七節目錄上頁下頁返回結束第133頁維爾斯特拉斯(1815–1897)德國數學家.他主要貢獻是在函數論及分析學方面.1854年,他處理了橢圓

以后還建立了橢圓函數新結構.他在分析學中建立了實數理論,引進了極限

–

定義,

定義及性質,還結構了一個處處不可微連續函數:積分逆轉問題,給出了連續函數嚴格為分析學算術化作出了主要貢獻.第134頁第七節一、三角級數及三角函數系正交性

二、函數展開成傅里葉級數三、正弦級數和余弦級數傅里葉級數第135頁一、三角級數及三角函數系正交性簡單周期運動:(諧波函數)(A為振幅,復雜周期運動:令得函數項級數

為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式級數為三角級數.第136頁定理1.

組成三角級數函數系正交,上積分等于0.即其中任意兩個不一樣函數之積在第137頁上積分不等于0.且有不過在三角函數系中兩個相同函數乘積在第138頁二、函數展開成傅里葉級數定理2.

設f(x)是周期為2

周期函數,且右端級數可逐項積分,則有①②第139頁葉系數為系數三角級數①稱為傅里葉系數;由公式②確定①②以傅里傅里葉級數

.稱為函數

第140頁定理3(收斂定理,展開定理)設

f(x)是周期為2

周期函數,并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內只有有限個極值點,則f(x)傅里葉級數收斂,且有

x

為間斷點其中為f(x)

傅里葉系數

.

x

為連續點注意:函數展成傅里葉級數條件比展成冪級數條件低得多.第141頁例1.

設

f(x)是周期為2

周期函數,它在上表示式為解:

先求傅里葉系數將f(x)展成傅里葉級數.第142頁第143頁1)

依據收斂定理可知,時,級數收斂于2)傅氏級數部分和迫近說明:f(x)情況見右圖.第144頁例2.上表示式為將f(x)展成傅里葉級數.解:

設

f(x)是周期為2

周期函數,它在第145頁說明:

當時,級數收斂于第146頁周期延拓傅里葉展開上傅里葉級數定義在[–

,]上函數F(X)傅氏級數展開法其它第147頁例3.

將函數級數.則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉2

為周期函數F(x),第148頁利用此展式可求出幾個特殊級數和.當x=0時,f(0)=0,得說明:第149頁三、正弦級數和余弦級數1.周期為2

奇、偶函數傅里葉級數定理4.

對周期為2

奇函數f(x),其傅里葉級數為周期為2

偶函數f(x),其傅里葉級數為余弦級數,它傅里葉系數為正弦級數,它傅里葉系數為第150頁例4.

設表示式為f(x)＝x,將f(x)展成傅里葉級數.是周期為2

周期函數,它在解:

若不計周期為2

奇函數,所以第151頁n＝1依據收斂定理可得f(x)正弦級數:級數部分和n＝2n＝3n＝4迫近f(x)情況見右圖.n＝5第152頁例5.將周期函數展成傅里葉級數,其中E為正常數.解:是周期為2

周期偶函數,所以第153頁第154頁2.在[0,]上函數展成正弦級數與余弦級數周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數奇延拓偶延拓正弦級數f(x)在[0,]上展成第155頁例6.

將函數分別展成正弦級數與余弦級數.解:

先求正弦級數.去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,第156頁注意:在端點x=0,

,級數和為0,與給定函數所以得f(x)=x+1值不一樣.第157頁再求余弦級數.將則有作偶周期延拓,第158頁說明:

令

x=0

可得即第159頁內容小結1.周期為2

函數傅里葉級數及收斂定理其中注意:

若為間斷點,則級數收斂于第160頁2.周期為2

奇、偶函數傅里葉級數

奇函數正弦級數

偶函數余弦級數3.在[0,]上函數傅里葉展開法

作奇周期延拓,展開為正弦級數

作偶周期延拓,展開為余弦級數1.

在[0,]上函數傅里葉展開法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不一樣級數就不一樣.思索與練習第161頁處收斂于2.則它傅里葉級數在在處收斂于

.提醒:設周期函數在一個周期內表示式為

,第162頁4.

寫出函數傅氏級數和函數.答案:第163頁EX:1.葉級數展式為則其中系提醒:傅里第164頁傅里葉(1768–1830)法國數學家.他著作《熱解析理論》(1822)是數學史上一部經典性書中系統利用了三角級數和三角積分,他學生將它們命名為傅里葉級數和傅里葉積分.

最卓越工具.以后以傅里葉著作為基礎發展起來文件,他深信數學是處理實際問題傅里葉分析對近代數學以及物理和工程技術發展都產生了深遠影響.第165頁狄利克雷(1805–1859)德國數學家.對數論,數學分析和數學物理有突出貢獻,是解析數論他是最早提倡嚴格化方法數學家.函數f(x)傅里葉級數收斂第一個充分條件;了改變絕對收斂級數中項次序不影響級數和,舉例說明條件收斂級數不含有這么性質.他主要創始人之一,并論文都收在《狄利克雷論文集(1889一1897)中.1829年他得到了給定證實第166頁第八節普通周期函數傅里葉級數一、以2l

為周期函數傅里葉展開二、傅里葉級數復數形式第167頁一、以2L

為周期函數傅里葉展開周期為2l函數f(x)周期為2

函數F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開f(x)傅氏展開式第168頁設周期為2l

周期函數f(x)滿足收斂定理條件,則它傅里葉展開式為(在f(x)連續點處)其中定理.第169頁說明:其中(在f(x)連續點處)假如

f(x)

為偶函數,則有(在f(x)連續點處)其中注:不論哪種情況,在f(x)間斷點x處,傅里葉級數收斂于假如

f(x)為奇函數,則有第170頁例1.

把展開成(1)正弦級數;(2)余弦級數.解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k

處級數收斂于何值?第171頁(2)將作偶周期延拓,則有第172頁說明:

此式對也成立,據此有第173頁利用歐拉公式二、傅里葉級數復數形式設f(x)是周期為2l周期函數,則第174頁注意到同理第175頁傅里葉級數復數形式:所以得第176頁式傅里葉級數.例4.

把寬為

,高為H,周期為T矩形波展成復數形解:

在一個周期它復數形式傅里葉系數為內矩形波函數表示式為第177頁第178頁為正弦級數.內容小結1.周期為2l函數傅里葉級數展開公式(x

間斷點)其中當f(x)為奇函數時,(偶)(余弦)第179頁思索與練習1.將函數展開為傅里葉級數時為何最好先畫出其圖形?答:

易看出奇偶性及間斷點,從而便于計算系數和寫出收斂域