3.1.1

橢圓及其標準方程課前·基礎認知課堂·重難突破素養·目標定位隨堂訓練素養?目標定位目標素養1.了解橢圓的實際背景,經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程,掌握橢圓的定義,能夠運用橢圓的定義解決問題.2.掌握橢圓的標準方程,能根據條件求橢圓的標準方程.3.掌握與橢圓有關的軌跡方程的求法.4.通過學習,提升直觀想象、數學運算和數學抽象等核心素養.知識概覽課前·基礎認知1.橢圓的定義

微思考

橢圓的定義中為什么要求常數要大于|F1F2|?如果常數等于|F1F2|,那么動點的軌跡是什么圖形?如果常數小于|F1F2|呢?提示:由橢圓的形狀結合三角形中兩邊之和大于第三邊可知常數必須要大于|F1F2|.若常數等于|F1F2|,則動點的軌跡是線段F1F2;若常數小于|F1F2|,則動點軌跡不存在.2.橢圓的標準方程設橢圓的焦距為2c(c>0).微探究方程

=1(m>0,n>0)一定表示橢圓嗎?怎樣根據橢圓方程判斷其焦點所在的坐標軸?提示:不一定,橢圓方程中,等式左邊兩個分母的值不能相等,否則方程將表示圓.判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法:橢圓的焦點在x軸上?標準方程中x2項的分母較大;橢圓的焦點在y軸上?標準方程中y2項的分母較大,即“焦點位置看大小,焦點隨著大的跑”.課堂·重難突破一

橢圓標準方程的理解典例剖析

答案:(1,3)∪(3,5)互動探究

2.(變問法)本例條件不變,求橢圓的焦距的取值范圍.規律總結學以致用1.若方程x2-2my2=4表示橢圓,則實數m的取值范圍是

.

二

求橢圓的標準方程典例剖析2.分別求滿足下列條件的橢圓的標準方程:(1)兩個焦點的坐標分別是(-2,0),(2,0),橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于6;(2)a=6,c=2;學以致用

答案:C三

橢圓的定義及其應用典例剖析在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①由橢圓的定義得10=|PF1|+|PF2|,兩邊同時平方得100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,所以|PF1|·|PF2|=25,互動探究(變問法)本例條件不變,求點P的坐標.規律總結1.若動點具有的條件符合橢圓的定義,即動點到兩定點距離之和是一常數,且該常數(定值)大于兩定點間的距離,可以利用橢圓的定義求軌跡方程.學以致用

答案:C三

與橢圓有關的軌跡方程典例剖析4.如圖,一動圓過定點A(2,0),且與定圓B:x2+4x+y2-32=0內切,求動圓圓心M的軌跡方程.解:設|MA|=r(r>0),圓B方程可化為(x+2)2+y2=36,則B(-2,0).∵圓M與圓B內切,∴|MB|=6-r,即|MB|+|MA|=6(大于|AB|=4).∴點M的軌跡是以A,B為焦點的橢圓.∴2a=6,2c=4,即a=3,c=2.∴b2=a2-c2=9-4=5.學以致用4.已知△ABC的周長是8,且B(-1,0),C(1,0),則頂點A的軌跡方程是(

)答案:A解析:∵|AB|+|AC|=8-|BC|=6>|BC|=2,∴頂點A在以B,C為焦點的橢圓上.隨堂訓練1.已知F1,F2為兩定點,|F1F2|=8,動點M滿足|MF1|+|MF2|=8,則動點M的軌跡為(

)A.橢圓 B.線段

C.圓

D.直線答案:B解析:因為|MF1|+|MF2|=|F1F2|=8,所以動點M的軌跡是線段F1F2.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案:B解得6