二次函數的圖象與性質一、選擇題10．（2016內蒙古呼和浩特，10，3分）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，則（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（）A．6B．3C．﹣3D．0【考點】根與系數的關系；二次函數的最值．【分析】根據已知條件得到m，n是關于x的方程x2﹣2ax+2=0的兩個根，根據根與系數的關系得到m+n=2a，mn=2，于是得到4（a﹣）2﹣3，當a=2時，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，代入即可得到結論．【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，∴m，n是關于x的方程x2﹣2ax+2=0的兩個根，∴m+n=2a，mn=2，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣）2﹣3，∵a≥2，∴當a=2時，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2+3=4（2﹣）2﹣3=6，故選A．10．（2分）（2016?沈陽，10，2分）在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+2x﹣3的圖象如圖所示，點A（x1，y1），B（x2，y2）是該二次函數圖象上的兩點，其中﹣3≤x1＜x2≤0，則下列結論正確的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y的最小值是﹣3D．y的最小值是﹣4【分析】根據拋物線解析式求得拋物線的頂點坐標，結合函數圖象的增減性進行解答．【解答】解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），則該拋物線與x軸的兩交點橫坐標分別是﹣3、1．又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴該拋物線的頂點坐標是（﹣1，﹣4），對稱軸為x=﹣1．A、無法確定點A、B離對稱軸x=﹣1的遠近，故無法判斷y1與y2的大小，故本選項錯誤；B、無法確定點A、B離對稱軸x=﹣1的遠近，故無法判斷y1與y2的大小，故本選項錯誤；C、y的最小值是﹣4，故本選項錯誤；D、y的最小值是﹣4，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值，解題時，利用了“數形結合”的數學思想．9．（2016四川攀枝花，9，3分）如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1和3，則下列結論正確的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．當a=時，△ABD是等腰直角三角形【考點】二次函數圖象與系數的關系．【分析】由于拋物線與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，3，得到對稱軸為直線x=1，則﹣=1，即2a+b=0，得出，選項A錯誤；當x=1時，y＜0，得出a+b+c＜0，得出選項B錯誤；當x=﹣1時，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a與c的關系，得出選項C錯誤；由a=，則b=﹣1，c=﹣，對稱軸x=1與x軸的交點為E，先求出頂點D的坐標，由三角形邊的關系得出△ADE和△BDE都為等腰直角三角形，得出選項D正確；即可得出結論．【答案】解：∵拋物線與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1，3，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，則﹣=1，∴2a+b=0，∴選項A錯誤；∴當自變量取1時，對應的函數圖象在x軸下方，∴x=1時，y＜0，則a+b+c＜0，∴選項B錯誤；∵A點坐標為（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，∴選項C錯誤；當a=，則b=﹣1，c=﹣，對稱軸x=1與x軸的交點為E，如圖，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣，把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，∴D點坐標為（1，﹣2），∴AE=2，BE=2，DE=2，∴△ADE和△BDE都為等腰直角三角形，∴△ADB為等腰直角三角形，∴選項D正確．故選D．12．（2016廣西南寧，12，3分）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函數y=x的圖象如圖所示，則方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根之和（）A．大于0B．等于0C．小于0D．不能確定【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】設ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，由二次函數的圖象可知x1+x2＞0，a＞0，設方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根為a，b再根據根與系數的關系即可得出結論．【解答】解：設ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，∵由二次函數的圖象可知x1+x2＞0，a＞0，∴﹣＞0．設方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的兩根為a，b，則a+b=﹣=﹣+，∵a＞0，∴＞0，∴a+b＞0．故選C．7．（2016湖南常德，7，3分）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正確的個數是（）A．1B．2C．3D．4【考點】二次函數圖象與系數的關系．【分析】由二次函數的開口方向，對稱軸0＜x＜1，以及二次函數與y的交點在x軸的上方，與x軸有兩個交點等條件來判斷各結論的正誤即可．【答案】解：∵二次函數的開口向下，與y軸的交點在y軸的正半軸，∴a＜0，c＞0，故②正確；∵0＜﹣＜1，∴b＞0，故①錯誤；當x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故③正確；∵二次函數與x軸有兩個交點，∴△=b2﹣4ac＞0，故④正確正確的有3個，故選：C．11．（2016四川眉山，11，3分）若拋物線不動，將平面直角坐標系xoy先沿水平方向向右平移一個單位，再沿鉛直方向向上平移三個單位，則原拋物線圖象的解析式應變為（）A． B． C． D．【答案】C10.(2016陜西10，3分）已知拋物線與x軸交于A、B兩點，將這條拋物線的頂點記為C，連接AC、BC，則tan∠CAB的值為【D】A.B.C.D.21．（2016臺灣，21）坐標平面上，某二次函數圖形的頂點為（2，﹣1），此函數圖形與x軸相交于P、Q兩點，且PQ=6．若此函數圖形通過（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四點，則a、b、c、d之值何者為正？（）A．aB．bC．cD．d【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】根據拋物線頂點及對稱軸可得拋物線與x軸的交點，從而根據交點及頂點畫出拋物線草圖，根據圖形易知a、b、c、d的大?。敬鸢浮拷猓骸叨魏瘮祱D形的頂點為（2，﹣1），∴對稱軸為x=2，∵×PQ=×6=3，∴圖形與x軸的交點為（2﹣3，0）=（﹣1，0），和（2+3，0）=（5，0），已知圖形通過（2，﹣1）、（﹣1，0）、（5，0）三點，如圖，由圖形可知：a=b＜0，c=0，d＞0．故選：D．二、填空題18．（2016湖北荊州，18，3分）若函數y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，則a的值為﹣1或2或1．【分析】直接利用拋物線與x軸相交，b2﹣4ac=0，進而解方程得出答案．【解答】解：∵函數y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點，當函數為二次函數時，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，解得：a1=﹣1，a2=2，當函數為一次函數時，a﹣1=0，解得：a=1．故答案為：﹣1或2或1．16．(2016遼寧大連，16，3分)如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點A、B（m+2，0）與y軸相交于點C，點D在該拋物線上，坐標為（m，c），則點A的坐標是（﹣2，0）．【考點】拋物線與x軸的交點．【分析】根據函數值相等兩點關于對稱軸對稱，可得對稱軸，根據A、B關于對稱軸對稱，可得A點坐標．【解答】解：由C（0，c），D（m，c），得函數圖象的對稱軸是x=，設A點坐標為（x，0），由A、B關于對稱軸x=，得=，解得x=﹣2，即A點坐標為（﹣2，0），故答案為：（﹣2，0）．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，利用函數值相等的點關于對稱軸對稱是解題關鍵．（2016?大慶，18，3分）直線y=kx+b與拋物線y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，當OA⊥OB時，直線AB恒過一個定點，該定點坐標為（0，4）．【分析】根據直線y=kx+b與拋物線y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，可以聯立在一起，得到關于x的一元二次方程，從而可以得到兩個之和與兩根之積，再根據OA⊥OB，可以求得b的值，從而可以得到直線AB恒過的定點的坐標．【解答】解：∵直線y=kx+b與拋物線y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，∴kx+b=，化簡，得x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，又∵OA⊥OB，∴=，解得，b=4，即直線y=kx+4，故直線恒過頂點（0，4），故答案為：（0，4）．三、解答題25．（2016?廣東茂名，25，8分）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．（1）求經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；（2）點P是線段BD上一點，當PE=PC時，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，過點P作PF⊥x軸于點F，G為拋物線上一動點，M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M的坐標．【思路分析】（1）利用待定系數法求出過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；（2）連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標，利用待定系數法求出直線BD的解析式，設出點P的坐標為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標；（3）設點M的坐標為（a，0），表示出點G的坐標，根據正方形的性質列出方程，解方程即可．【答案】解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得，，∴經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式為y=﹣x2+2x+3；（2）如圖1，連接PC、PE，x=﹣=﹣=1，當x=1時，y=4，∴點D的坐標為（1，4），設直線BD的解析式為：y=mx+n，則，解得，，∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6，設點P的坐標為（x，﹣2x+6），則PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，則y=﹣2×2+6=2，∴點P的坐標為（2，2）；（3）設點M的坐標為（a，0），則點G的坐標為（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形，∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，當2﹣a=﹣a2+2a+3時，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，當2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）時，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a=，∴當以F、M、N、G為頂點的四邊形是正方形時，點M的坐標為（，0），（，0），（，0），（，0）．26．（2016四川眉山，26，11分）已知如圖，在平面直角坐標系xoy中，點A、B、C分別為坐標軸上上的三個點，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）在平面直角坐標系xoy中是否存在一點P，使得以以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點M為該拋物線上一動點，在⑵的條件下，請求出當的最大值時點M的坐標，并直接寫出的最大值.【答案】（1）解：設拋物線的解析式為∵A(1，0)、B(0，3)、C(－4，0)，∴解之，，，∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為…3分（2）∵OB＝3，OC＝4，∴BC＝AC＝5.當BP平行且等于AC時，四邊形ACBP為菱形，∴BP＝AC＝5，且點P到軸的距離等于OB.∴點P的坐標為(5，3).當點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，∴當點P的坐標為(5，3)時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形…6分（3）設直線PA的解析式為.∴.解之，.∴直線PA的解析式為……7分當點M與點P、A不在同一直線上時，根據三角形的三邊關系，當點M與點P、A在同一直線上時，，∴當點M與點P、A在同一直線上時，的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點……8分解方程組得、.∴點M的坐標為(1，0)或(－5，－)時，的值最大……10分此時的最大值為5.……11分24.（2016湖南張家界，24，10分）已知拋物線QUOTE2－3(aQUOTE0)的圖象與y軸交于點A(0，QUOTE)，頂點為B.（1）試確定a的值，并寫出B點的坐標；(2）若一次函數的圖象經過A、B兩點，試寫出一次函數的解析式；(3）試在x軸上求一點P，使得△PAB的周長取最小值；(4）若將拋物線平移m（mQUOTE0）個單位，所得新拋物線的頂點記作C，與原拋物線的交點記作D，問：點O、C、D能否在同一條直線上？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由。【答案】解：（1）=1B(1,-3)QUOTE…………QUOTE…………２分（2）設一次函數的解析式為將A、B兩點的坐標代入解析式求得：所以QUOTE…………5分（3）A點關于軸的對稱點記作E，則E(0，2)，連接EB交軸于點P，則P點即為所求.理由：在△PAB中，AB為定值，只需PA+PB取最小值即可，而PA=PE，從而只需PE+PB取最小值即可，由于兩點之間線段最短，所以PE+PBQUOTE≤EB，所以E、P、B三點在同一條直線上時，取得最小值.由于過E、B點的一次函數解析式為，QUOTE…………QUOTE…………６分故P(QUOTE，0)QUOTE…………QUOTE…………QUOTE…………７分(4)設拋物線向右平移m（若m>0表示向右平移，若ｍ＜０表示向左平移）個單位，則所得新的拋物線的頂點C（1+m，-3），新拋物線解析式為兩拋物線的交點D(QUOTEQUOTE)，QUOTE…………QUOTE…………８分經過O、C的一次函數解析式是QUOTE若O、C、D在同一直線上，則有QUOTE，化簡整理得，由于mQUOTE≠0所以解得或QUOTE…………９分故O、C、D三點能夠在同一直線上，此時.即拋物線向右平移２個單位，或者向左平移３個單位，均滿足題目要求.QUOTE…………10分24.(2016陜西23，10分）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線經過點M（1,3）和N（3,5），與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點。（1）試判斷拋物線與x軸交點的情況；（2）平移這條拋物線，使平移后的拋物線經過A（-2,0）且與y軸的交點為B同時滿足以A、O、B為頂點的三角形是等腰直角三角形.請寫出平移的過程，并說明理由。解：⑴由題意得，解之得?！鄴佄锞€的表達式為?！?分）∵，∴拋物線與軸無交點。…………（3分）⑵∵△AOB是等腰直角三角形，，點B在軸上。第24題圖∴點B的坐標為或…………………（5分）設平移后的拋物線的表達式為。①當拋物線過點時，，解之得，∴平移后的拋物線的表達式為…………（7分）∴該拋物線的頂點坐標為，而原拋物線的頂點坐標為，第24題答案圖∴將原拋物線先向左平移3個單位，再向下平移3個單位即可獲得符合條件的拋物線?！?分）②當拋物線過點時，，解得?！嗥揭坪蟮膾佄锞€的表達式為……………（9分）∴該拋物線的頂點坐標為，而原拋物線的頂點坐標為，∴將原拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位即可獲得符合條件的拋物線?！?0分）26．（2016湖南常德，26，10分）如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于C（0，﹣2）．（1）求拋物線的解析式；（2）H是C關于x軸的對稱點，P是拋物線上的一點，當△PBH與△AOC相似時，求符合條件的P點的坐標（求出兩點即可）；（3）過點C作CD∥AB，CD交拋物線于點D，點M是線段CD上的一動點，作直線MN與線段AC交于點N，與x軸交于點E，且∠BME=∠BDC，當CN的值最大時，求點E的坐標．【考點】二次函數綜合題．【分析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4），然后將（0，﹣2）代入解析式即可求出a的值；（2）當△PBH與△AOC相似時，△PBH是直角三角形，由可知∠AHB=90°，所以求出直線AH的解析式后，聯立一次函數與二次函數的解析式后即可求出P的坐標；（3）設M的坐標為（m，0），由∠BME=∠BDC可知∠EMC=∠MBD，所以△NCM∽△MDB，利用對應邊的比相等即可得出CN與m的函數關系式，利用二次函數的性質即可求出m=時，CN有最大值，然后再證明△EMB∽△BDM，即可求出E的坐標．【答案】解：（1）∵拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），∴設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣4），把（0，﹣2）代入y=a（x+1）（x﹣4），∴a=，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2；（2）當△PBH與△AOC相似時，∴△AOC是直角三角形，∴△PBH也是直角三角形，由題意知：H（0，2），∴OH=2，∵A（﹣1，0），B（4，0），∴OA=1，OB=4，∴∵∠AOH=∠BOH，∴△AOH∽△BOH，∴∠AHO=∠HBO，∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°，∴∠AHB=90°，設直線AH的解析式為：y=kx+b，把A（﹣1，0）和H（0，2）代入y=kx+b，∴，∴解得，∴直線AH的解析式為：y=2x+2，聯立，解得：x=1或x=﹣8，當x=﹣1時，y=0，當x=8時，y=18∴P的坐標為（﹣1，0）或（8，18）（3）過點M作MF⊥x軸于點F，設點E的坐標為（n，0），M的坐標為（m，0），∵∠BME=∠BDC，∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD，∴∠EMC=∠MBD，∵CD∥x軸，∴D的縱坐標為﹣2，令y=﹣2代入y=x2﹣x﹣2，∴x=0或x=3，∴D（3，﹣2），∵B（4，0），∴由勾股定理可求得：BD=，∵M（m，0），∴MD=3﹣m，CM=m（0≤m≤3）∴由拋物線的對稱性可知：∠NCM=∠BDC，∴△NCM∽△MDB，∴，∴，∴CN==﹣（m﹣）2+，∴當m=時，CN可取得最大值，∴此時M的坐標為（，﹣2），∴MF=2，BF=，MD=∴由勾股定理可求得：MB=，∵E（n，0），∴EB=4﹣n，∵CD∥x軸，∴∠NMC=∠BEM，∠EBM=∠BMD，∴△EMB∽△BDM，∴，∴MB2=MD?EB，∴=×（4﹣n），∴n=﹣，∴E的坐標為（﹣，0）．（2016?大慶，28，9分）若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們為“友好拋物線”，拋物線C1：y1=﹣2x2+4x+2與C2：u2=﹣x2+mx+n為“友好拋物線”．（1）求拋物線C2的解析式．（2）點A是拋物線C2上在第一象限的動點，過A作AQ⊥x軸，Q為垂足，求AQ+OQ的最大值．（3）設拋物線C2的頂點為C，點B的坐標為（﹣1，4），問在C2的對稱軸上是否存在點M，使線段MB繞點M逆時針旋轉90°得到線段MB′，且點B′恰好落在拋物線C2上？若存在求出點M的坐標，不存在說明理由．【分析】（1）先求得y1頂點坐標，然后依據兩個拋物線的頂點坐標相同可求得m、n的值；（2）設A（a，﹣a2+2a+3）．則OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，然后得到OQ+AQ與a的函數關系式，最后依據配方法可求得OQ+AQ的最值；（3）連接BC，過點B′作B′D⊥CM，垂足為D．接下來證明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性質得到BC=MD，CM=B′D，設點M的坐標為（1，a）．則用含a的式子可表示出點B′的坐標，將點B′的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到點M的坐標．【解答】解：（1）∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2（x﹣1）2+4，∴拋物線C1的頂點坐標為（1，4）．∵拋物線C1：與C2頂點相同，∴=1，﹣1+m+n=4．解得：m=2，n=3．∴拋物線C2的解析式為u2=﹣x2+2x+3．（2）如圖1所示：設點A的坐標為（a，﹣a2+2a+3）．∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣）2+．∴當a=時，AQ+OQ有最大值，最大值為．（3）如圖2所示；連接BC，過點B′作B′D⊥CM，垂足為D．∵B（﹣1，4），C（1，4），拋物線的對稱軸為x=1，∴BC⊥CM，BC=2．∵∠BMB′=90°，∴∠BMC+∠B′MD=90°．∵B′D⊥MC，∴∠MB′D+∠B′MD=90°．∴∠MB′D=∠BMC．在△BCM和△MDB′中，，∴△BCM≌△MDB′．∴BC=MD，CM=B′D．設點M的坐標為（1，a）．則B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．∴點B′的坐標為（a﹣3，a﹣2）．∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．整理得：a2﹣7a﹣10=0．解得a=2，或a=5．當a=2時，M的坐標為（1，2），當a=5時，M的坐標為（1，5）．綜上所述當點M的坐標為（1，2）或（1，5）時，B′恰好落在拋物線C2上．24.(2016湖北咸寧，24，12分)如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，1），取一點B（b，0），連接AB，作線段AB的垂直平分線l1，過點B作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點為P.（1）當b=3時，在圖1中補全圖形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）小慧多次取不同數值b，得出相應的點P，并把這些點用平滑的曲線連接起來，發現：這些點P竟然在一條曲線L上?、僭O點P的坐標為（x，y），試求y與x之間的關系式，并指出曲線L是哪種曲線；②設點P到x軸，y軸的距離分別為d1，d2，求d1+d2的范圍.當d1+d2=8時，求點P的坐標；③將曲線L在直線y=2下方的部分沿直線y=2向上翻折，得到一條“W”形狀的新曲線，若直線y=kx+3與這條“W”形狀的新曲線有4個交點，直接寫出k的取值范圍.圖1圖2【考點】二次函數，一次函數，尺規作圖，平面直角坐標系，勾股定理，一元二次方程，軸對稱——翻折，最值問題.【分析】（1）根據垂直平分線、垂線的尺規作圖方法畫圖即可，要標出字母；（2）①分x＞0和x≤0兩種情況討論：當x＞0時，如圖2，連接AP，過點P作PE⊥y軸于點E，可得出PA=PB=y；再在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA=y-1，由勾股定理，可求出y與x之間的關系式；當x≤0時，點P（x，y）同樣滿足y=x2+，曲線L就是二次函數y=x2+的圖像，也就是說曲線L是一條拋物線.②首先用代數式表示出d1，d2：d1=x2+，d2=｜x｜，得出d1+d2=x2++｜x｜，可知當x=0時，d1+d2有最小值，因此d1+d2的范圍是d1+d2≥；當d1+d2=8時，則x2++｜x｜=8.將x從絕對值中開出來，故需分x≥0和x＜0兩種情況討論：當x≥0時，將原方程化為x2++x=8，解出x1，x2即可；當x＜0時，將原方程化為x2+－x=8，解出x1，x2即可；最后將x=±3代入y=x2+，求得P的縱坐標，從而得出點P的坐標.③直接寫出k的取值范圍即可.【解答】解：（1）如圖1所示（畫垂直平分線，垂線，標出字母各1分）.……………..3分E圖1圖2（2）①當x＞0時，如圖2，連接AP，過點P作PE⊥y軸于點E.∵l1垂直平分AB∴PA=PB=y.在Rt△APE中，EP=OB=x，AE=OE-OA=y-1.由勾股定理，得(y-1)2+x2=y2.………5分整理得，y=x2+.當x≤0時，點P（x，y）同樣滿足y=x2+.……….6分∴曲線L就是二次函數y=x2+的圖像.即曲線L是一條拋物線.…………7分②由題意可知，d1=x2+，d2=｜x｜.∴d1+d2=x2++｜x｜.當x=0時，d1+d2有最小值.∴d1+d2的范圍是d1+d2≥.………………8分當d1+d2=8時，則x2++｜x｜=8.（Ⅰ）當x≥0時，原方程化為x2++x=8.解得x1=3，x2=-5（舍去）.（Ⅱ）當x＜0時，原方程化為x2+－x=8.解得x1=-3，x2=5（舍去）.將x=±3代入y=x2+，得y=5.…….9分∴點P的坐標為（3，5）或（-3，5）.…………….10分③k的取值范圍是：－＜k＜.…………….12分解答過程如下（過程不需寫）：把y=2代入y=x2+，得x1=－，x2=.∴直線y=2與拋物線y=x2+兩個交點的坐標為（－，2）和（，2）.當直線y=kx+3過點（－，2）時，可求得k=；當直線y=kx+3過點（，2）時，可求得k=－.故當直線y=kx+3與這條“W”形狀的新曲線有4個交點時，k的取值范圍是：－＜k＜.……………….12分22．(2016遼寧大連，22，9分)如圖，拋物線y=x2﹣3x+與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E（1）求直線BC的解析式；（2）當線段DE的長度最大時，求點D的坐標．【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數的性質．【分析】（1）利用坐標軸上點的特點求出A、B、C點的坐標，再用待定系數法求得直線BC的解析式；（2）設點D的橫坐標為m，則縱坐標為（m，），E點的坐標為（m，），可得兩點間的距離為d=，利用二次函數的最值可得m，可得點D的坐標．【解答】解：（1）∵拋物線y=x2﹣3x+與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，則y=，∴C點坐標為（0，），設直線BC的解析式為：y=kx+b，則有，，解得：，∴直線BC的解析式為：y=x；（2）設點D的橫坐標為m，則縱坐標為（m，），∴E點的坐標為（m，m），設DE的長度為d，∵點D是直線BC下方拋物線上一點，則d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴當m==時，d最大===，∴D點的坐標為（，）．（2016廣西南寧，26，10分）如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點．（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；（2）求證：△ABC是直角三角形；（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數綜合題．【分析】（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；（2）分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，結合A、B、C三點的坐標可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結論；（3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得=或=，可求得N點的坐標．【解答】解：（1）∵頂點坐標為（1，1），∴設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1，又拋物線過原點，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1，即y=﹣x2+2x，聯立拋物線和直線解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB=，B