第二十二講梯形第二十二講梯形1.了解:梯形的有關概念.2.理解:等腰梯形的性質和一個四邊形是等腰梯形的條件.3.掌握:梯形的概念和性質;梯形中位線的概念與性質.4.會:利用梯形的性質和判定進行計算和證明.1.了解:梯形的有關概念.一、梯形1.定義：一組對邊_____而另一組對邊_______的四邊形叫做梯形.2.面積計算：S梯形=_________(其中a，b分別為梯形的上、下底，h為梯形的高).平行不平行一、梯形平行不平行二、等腰梯形的性質和判定性質判定1.同一底邊上的_________相等.2.等腰梯形的兩條_______相等.3.等腰梯形是___對稱圖形.1._____相等的梯形是等腰梯形(定義).2.在同一底上的_______相等的梯形是等腰梯形.3.兩條_______相等的梯形是等腰梯形.兩個內角對角線軸兩腰兩個角對角線二、等腰梯形的性質和判定性質判定1.同一底邊上的_____三、梯形的中位線及面積

概念連結梯形兩腰中點的線段中位線的性質

(a,b表示上、下底,h表示高,l表示中位線)1.l∥a∥__2.l=(__+__)面積S梯形=_______=lhab(a+b)hb三、梯形的中位線及面積概念連結梯形兩腰中點的線段中位線的性1.下列說法正確的是()A.有一組對邊平行的四邊形是梯形B.一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形C.有兩個角是直角的四邊形是直角梯形D.有兩個角相等的梯形是等腰梯形2.若梯形的面積為8cm2,高為2cm,則此梯形的中位線長是__cm.B41.下列說法正確的是()B43.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=4,BC=7,則梯形ABCD的周長是___.173.如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,A4.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中點,若△DEC的面積為S,則四邊形ABCD的面積為___.2S4.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中點,若熱點考向一等腰梯形的性質

【例1】(2013·杭州中考)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,線段AG,BG分別交CD于點E,F,DE=CF.求證:△GAB是等腰三角形.熱點考向一等腰梯形的性質

【思路點撥】證△DAE≌△CBF→∠DAE=∠CBF→∠GAB=∠GBA→△GAB是等腰三角形【自主解答】∵在等腰梯形ABCD中,AD=BC,∠D=∠C,而DE=CF,∴△DEA≌△CFB(SAS),則∠DAE=∠CBF.又∵等腰梯形ABCD中,∠DAB=∠CBA,∴∠EAB=∠FBA,∴GA=GB,則△GAB為等腰三角形.【思路點撥】【名師助學】梯形中常用的九類輔助線【名師助學】梯形中常用的九類輔助線熱點考向二等腰梯形的判別

【例2】(2012·襄陽中考)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,E為BC的中點,BC=2AD,EA=ED=2,AC與ED相交于點F.(1)求證:梯形ABCD是等腰梯形.(2)當AB與AC具有什么位置關系時,四邊形AECD是菱形?請說明理由.熱點考向二等腰梯形的判別

【思路點撥】(1)→△AEB≌△DEC→AB=DC→等腰梯形(2)AD∥BC，EB=EC=AD→平行四邊形AECD→菱形AECD梯形ABCDE為BC的中點，EA=ED【思路點撥】(1)【自主解答】(1)如圖，∵AD∥BC，∴∠1＝∠DAE，∠2＝∠3.∵EA＝ED，∴∠DAE＝∠3.∴∠1＝∠2.又∵EB＝EC，∴△AEB≌△DEC.∴AB＝DC，∴梯形ABCD是等腰梯形.【自主解答】(1)如圖，∵AD∥BC，(2)當AB⊥AC時四邊形AECD是菱形.證明：∵AD∥BC，EB＝EC＝AD，∴四邊形ABED和四邊形AECD都是平行四邊形.∴AB＝DE.∵AB⊥AC，EB＝EC，∴AE＝EB＝EC.∴四邊形AECD是菱形.(2)當AB⊥AC時四邊形AECD是菱形.【互動探究】在(1)(2)的條件下,四邊形ABED是菱形嗎?提示:是,由(2)的證明得四邊形AECD是菱形,四邊形ABED是平行四邊形,∴DC=EC,又∵梯形ABCD是等腰梯形,∴AB=DC,∵E為BC的中點,∴BE=EC,∴AB=BE,∴四邊形ABED是菱形.【互動探究】在(1)(2)的條件下,四邊形ABED是菱形嗎?【名師助學】等腰梯形的三種判定方法1.定義:梯形→兩腰相等→等腰梯形.2.角:梯形→同一底上的兩個內角相等→等腰梯形.3.對角線:梯形→對角線相等→等腰梯形.【名師助學】等腰梯形的三種判定方法熱點考向三梯形的有關計算

【例3】(2013·揚州中考)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,BC=12,∠ABC=60°,則梯形ABCD的周長為

.【思路點撥】過A作AE∥DC,得?ADCE和等邊△ABE,求出BE=AB=AE=DC=AD=CE.熱點考向三梯形的有關計算

【自主解答】過A作AE∥DC交BC于E.∵AD∥BC,∴四邊形ADCE是平行四邊形,∴AD=EC=DC,AE=DC,∵AB=DC,∴AB=AE,又∠ABC=60°,∴△ABE是等邊三角形,∴BE=AB=AE=DC=AD=EC,∵BC=12,∴AB=AD=DC=6,∴梯形ABCD的周長是AD+DC+BC+AB=6+6+12+6=30.答案:30【自主解答】過A作AE∥DC交BC于E.【名師助學】1.梯形的有關計算一般是指梯形的腰長、高、中位線、周長、面積以及底角的相關計算.采用的方法一般是對梯形作高線、對角線、中位線、作一腰的平行線或延長兩腰等,利用三角形或平行四邊形的知識求解.2.注意事項:(1)梯形的兩條對角線互相垂直時,梯形的面積等于梯形的兩條對角線乘積的一半.(2)在直角梯形中,梯形的高是直角梯形中垂直于上下底的腰.【名師助學】梯形的中位線【典例】(2012·濱州中考)我們知道“連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線”,“三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半”.類似地,我們連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,點E,F分別是AB,CD的中點,那么EF就是梯形ABCD的中位線.通過觀察、測量,猜想EF和AD,BC有怎樣的位置和數量關系?并證明你的結論.梯形的中位線【思路點撥】創新點讓學生借助三角形中位線定理推導、證明梯形中位線定理突破口(1)連結AF并延長交BC的延長線于點G(2)證明△ADF≌△GCF【思路點撥】創新點讓學生借助三角形中位線定理推導、證明梯形中【自主解答】結論為：EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).證明：連結AF并延長交BC的延長線于點G.∵AD∥BG,∴∠DAF=∠G,在△ADF和△GCF中,∠DAF=∠G，∠DFA=∠CFG，

DF=FC，【自主解答】結論為：EF∥AD∥BC,EF=(AD+B∴△ADF≌△GCF.∴AF=FG,AD=CG.又∵AE=EB,∴EF∥BG,EF=BG,即EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).∴△ADF≌△GCF.【思考點評】1.方法感悟:梯形的中位線是梯形中的一條重要線段,由于它的性質與線段的中點及平行線緊密相連,因此,它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用.2.技巧提升:(1)過梯形一腰的中點,作底邊的平行線,必平分另一腰.(2)如果把三角形看成是上底為零時的梯形,這時梯形的中位線就變成三角形的中位線.【思考點評】【學以致用】(2012·達州中考)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,E,F分別是AB,CD的中點,則下列結論:①EF∥AD;②S△ABO=S△DCO;③△OGH是等腰三角形;④BG=DG;⑤EG=HF.其中正確的個數是(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【學以致用】【解析】選D.(1)根據梯形的中位線定理可推出①正確.(2)△ABD和△ACD是同底等高的兩個三角形,所以面積相等,都減去△AOD的面積,即S△ABO=S△DCO,故②正確.(3)∵EF∥BC,∴∠OGH=∠OBC,∠OHG=∠OCB,已知四邊形ABCD是梯形,不一定是等腰梯形,即∠OBC和∠OCB不一定相等,即∠OGH和∠OHG不一定相等,∠GOH和∠OGH或∠OHG也不能證出相等,∴△OGH是等腰三角形不對,∴③錯誤.【解析】選D.(1)根據梯形的中位線定理可推出①正確.(4)∵EF∥BC,AE=BE(E為AB中點),∴BG=DG,∴④正確.(5)易知EG,HF分別是△ABD和△ACD的中位線,∴EG=AD,HF=AD,∴EG=FH,∴⑤正確.綜上所述,結論正確的個數是4個.(4)∵EF∥BC,AE=BE(E為AB中點),【變式訓練】(2012·南京模擬)如圖,已知點G是梯形ABCD的中位線EF上任意一點,若梯形ABCD的面積為20cm2,則圖中陰影部分的面積為

.【變式訓練】(2012·南京模擬)【解析】當△AEG與△CFG以EG,FG為底時,它們的高都等于梯形ABCD的高的一半,所以圖中陰影部分的面積為梯形ABCD的面積的四分之一,又因為梯形ABCD的面積為20cm2,所以圖中陰影部分的面積為5cm2.答案:5cm2【解析】當△AEG與△CFG以EG,FG為底時,它們的高都等1.(2013·金華模擬)等腰梯形的腰長為10cm,周長為44cm,則它的中位線長為(

)A.34cm B.17cm C.12cm D.24cm【解析】選C.因為等腰梯形的腰長為10cm,周長為44cm,所以等腰梯形的上下底的和為44-20=24(cm),所以中位線長為12cm.1.(2013·金華模擬)等腰梯形的腰長為10cm,周長為42.(2013·石家莊模擬)如圖,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=CB,若∠ABD=25°,則∠BAD的大小是(

)A.40° B.45° C.50°D.60°【解析】選C.∵AB∥DC,∴∠BDC=∠ABD=25°,又∵DC=CB,∴∠DBC=25°,∴∠ABC=50°,∵在梯形ABCD中,AD=DC=CB,∴∠BAD=∠ABC=50°.2.(2013·石家莊模擬)如圖,在梯形ABCD中,AB∥D3.(2013·海淀模擬)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,AC=6,BD=8,則此梯形的面積是(

)A.24 B.20 C.16 D.123.(2013·海淀模擬)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC【解析】選A.過D作DE∥AC交BC延長線于E,可得CE=AD,DE=AC,∴BE=10,∴△BDE的三邊為6,8,10,∴△BDE為直角三角形,∵△ADB和△CED等底等高,∴S梯形ABCD=S△BDE,即S梯形ABCD=6×8×=24.【解析】選A.過D作DE∥AC交BC4.(2013·柳州模擬)如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,AD=2,BC=4,則梯形的面積為(

)A.3

B.4

C.6

D.8【解析】選A.作AE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,則四邊形AEFD是矩形,△ABE是等腰直角三角形,因為AD=2,BC=4,所以AE=BE=1,所以梯形的面積為×(2+4)×1=3.4.(2013·柳州模擬)如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥B5.(2013·濟南模擬)等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=5cm,BC=9cm,∠C=60°,則梯形的腰長是

cm.【解析】過A作AE∥CD交BC于E,∵AD∥EC,∴EC=AD=5cm,AE=CD,∴BE=BC-EC=9-5=4(cm),∵梯形ABCD是等腰梯形,∴AB=CD,∴AB=AE.∵∠C=60°,∴△ABE是等邊三角形,∴AB=BE=4cm,即梯形的腰長是4cm.答案:45.(2013·濟南模擬)等腰梯形ABCD中,AD∥BC,A6.(2013·昆山模擬)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=70°,∠C=40°,DE∥AB交BC于點E,若AD=3cm,BC=10cm,,則CD的長是

cm.6.(2013·昆山模擬)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC【解析】∵AD∥BC,DE∥AB,∴四邊形ABED為平行四邊形,∴BE=AD=3cm,∵BC=10cm,∴CE=BC-BE=10-3=7(cm),又∵∠B=70°,DE∥AB,∴∠DEC=∠B=70°,∵∠C=40°,∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=70°,∴∠EDC=∠DEC,∴DC=EC=7cm.答案:7【解析】∵AD∥BC,DE∥AB,7.(2013·武漢模擬)等腰梯形兩底之差為6,高為3,則等腰梯形的鈍角為

.7.(2013·武漢模擬)等腰梯形兩底之差為6,高為3,則等【解析】如圖,過D作DF∥AB交BC于點F,則FC=6,由題意得△DFC為等腰三角形,高為DE,所以EF=3,所以△DEC為等腰直角三角形,所以∠C=45°,所以梯形的鈍角為180°-45°=135°.答案:135°【解析】如圖,過D作DF∥AB交BC于點F,則FC=6,由題8.(2013·日照模擬)如圖,在四邊形ABCD中,已知AB與CD不平行,∠ABD=∠ACD,請你添加一個條件:

,使得加上這個條件后能夠推出AD∥BC且AB=CD.8.(2013·日照模擬)如圖,在四邊形ABCD中,已知AB【解析】可添加條件OB=OC,∵∠ABD=∠ACD,∠AOB=∠DOC,∴△AOB≌△DOC,∴AB=CD,OA=OD,∠BAC=∠CDB,∴∠OBC=∠OCB,∠OAD=∠ODA,∴∠BAD=∠CDA,∠ABC=∠DCB,∴∠BAD+∠ABC=∠CDA+∠DCB=180°,∴AD∥BC.答案:OB=OC(答案不唯一)【解析】可添加條件OB=OC,∵∠ABD=∠ACD,∠AOB9.(2013·濰坊模擬)如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC⊥BD,過D點作DE∥AC交BC的延長線于E點.(1)求證:四邊形ACED是平行四邊形.(2)若AD=3,BC=7,求梯形ABCD的面積.9.(2013·濰坊模擬)如圖,等腰梯形【解析】(1)∵AD∥BC,∴AD∥CE.又∵DE∥AC,∴四邊形ACED是平行四邊形.(2)過D點作DF⊥BE于F點,∵DE∥AC,AC⊥BD,∴DE⊥BD,即∠BDE=90°.【解析】(1)∵AD∥BC,∴AD∥CE.又∵DE∥AC,由(1)知DE=AC,CE=AD=3,∵四邊形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,∴DE=DB,∴△DBE是等腰直角三角形,∴△DFB也是等腰直角三角形,∴DF=BF=(7+3)=5,∴S梯形ABCD=(AD+BC)·DF=(7+3)×5=25.由(1)知DE=AC,CE=AD=3,1.(2012·長沙中考)下列四邊形中,對角線一定不相等的是(

)A.正方形 B.矩形C.等腰梯形 D.直角梯形【解析】選D.正方形,矩形,等腰梯形的對角線都相等,只有直角梯形的對角線不相等.1.(2012·長沙中考)下列四邊形中,對角線一定不相等的是2.(2012·遂寧中考)如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=60°,AD=2,BC=8,此等腰梯形的周長是(

)A.19 B.20 C.21 D.222.(2012·遂寧中考)如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥B【解析】選D.分別過點A,D作BC邊的高,交點為M,N,如圖:因為等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,所以BM=CN=×(8-2)=3;又∠B=60°,所以所以等腰梯形ABCD的周長是:AB+BC+CD+AD=6+8+6+2=22.【解析】選D.分別過點A,D作BC邊的高,交點為M,N,如圖3.(2013·張家界中考)順次連結等腰梯形四邊中點所得的四邊形一定是(

)A.矩形 B.正方形C.菱形 D.直角梯形【解析】選C.EF

BD,GH

BD,∴EF

GH,∴四邊形EFGH是平行四邊形.又GF=AC,且AC=BD,∴EF=GF,∴四邊形EFGH是菱形.3.(2013·張家界中考)順次連結等腰梯形四邊中點所得的四4.(2012·萊蕪中考)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=2AD,F,E分別是BA,BC的中點.則下列結論不正確的是(

)A.△ABC是等腰三角形B.四邊形EFAM是菱形C.S△BEF=S△ADCD.DE平分∠FDC4.(2012·萊蕪中考)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC【解析】選D.在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,點E是BC中點,所以四邊形ADEB是平行四邊形,AB=DE,又直角三角形ADC與直角三角形ECD的兩條直角邊AD=CE,CD=CD,所以它們全等,故DE=AC=AB,△ABC是等腰三角形;EF∥AC,EM∥AB,所以四邊形AFEM是平行四邊形,又EF=AF=AB,故四邊形EFAM是菱形;點F是AB的中點,所以點F到BC邊的距離是點D到BC的距離的一半,而BE=AD,所以S△BEF=S△ADC;A,B,C都正確.【解析】選D.在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,點5.(2013·巴中中考)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,點E,F分別是AB,CD的中點且EF=6,則AD+BC的值是(

)A.9

B.10.5C.12

D.15【解析】選C.因為梯形的中位線的長等于兩底和長的一半,所以AD+BC=2EF=12.5.(2013·巴中中考)如圖,在梯形6.(2013·六盤水中考)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=10,CD的垂直平分線交BC于E,連結DE,則四邊形ABED的周長等于

.【解析】由垂直平分線的性質可知DE=CE,所以四邊形ABED的周長=AD+AB+BE+DE=4+5+BE+CE=9+BC=9+10=19.答案:196.(2013·六盤水中考)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC7.(2012·廈門中考)如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC與BD相交于點O,若OB=3,則OC=

.【解析】∵四邊形ABCD為等腰梯形,∴AB=DC,AC=DB,∵BC=CB,∴△ACB≌△DBC,∴∠ACB=∠DBC,∴OB=OC=3.答案:37.(2012·廈門中考)如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥8.(2012·丹東中考)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中點,連結AE并延長交BC的延長線于點F,且AB⊥AE.若AB=5,AE=6,則梯形上下底之和為

.8.(2012·丹東中考)如圖,在梯形