含有條件概率的隨機變量問題一、基礎知識：1、條件概率：事件B在事件A已經發生的情況下，發生的概率稱為B在A條件下的條件概率，記為B|A2、條件概率的計算方法：（1）按照條件概率的計算公式：p@ia）=p）P（A）（2）考慮事件A發生后，題目產生了如何的變化，并寫出事件B在這種情況下的概率例如：5張獎券中有一張有獎，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲沒有中獎，則乙中獎的概率：按照（1）的方法：設事件A為“甲沒中獎”，事件B為“乙中獎”，則所求事件為BIA，按照公式，分別計算P（AB）,P（A），利用古典概型可得：P（AB）=上二1，P（A）=4，所以P（BIA）==-A255P（A）45按照（2）的方法：考慮甲已經抽完了，且沒有中獎，此時還有4張獎券，1張有獎。那么輪到乙抽時，乙抽中的概率即為143、含條件概率的乘法公式：設事件A,B，則A,B同時發生的概率P（AB）=P（A）.P（BIA），此時P（BIA）通常用方案（2）進行計算4、處理此類問題要注意以下幾點：（1）要分析好幾個事件間的先后順序，以及先發生的事件對后面事件的概率產生如何的影響（即后面的事件算的是條件概率）

（2）根據隨機變量的不同取值，事件發生的過程會有所不同，要注意區別（3）若隨機變量取到某個值時，情況較為復雜，不利于正面分析，則可以考慮先求出其它取值時的概率，然后用間接法解決。二、典型例題：例1：袋中有大小相同的三個球，編號分別為1,2,3，從袋中每次取出一個球，若取到的球的編號為2，則把該球編號記下再把編號數改為1后放回袋中繼續取球；若取到的球的編號為奇數，則取球停止，取球停止后用X表示“所有被取球的編號之和”（1）求X的分布列（2）求x的數學期望及方差思路：（1）依題意可知如果取球取出的是1,3，則取球停止，此時X的值為1或3；當取球取出的是2號球時，按照規則要改為1號球放進去重取，再取時只能取到1或3，所有編號之和X的值為3,5，所以可知X可取的值為1,3,5，當X=1時，意味著直接取到了1號球（概率為1）；當X二3時，分為兩種情況，一種為直接取到3（概率為1），另一種為取到了2（概率為1），改完數字后再取到1（概率為2）；當X=5時，33為取到了2（概率為1），改完數字后再取到3（概率為1），從而可計33算出概率。進而得到分布列與期望方差解：（1）X可取的值為1,3,5???P(X???P(X=1)=-3X的分布列為:X135151P399DX=-(13123￥5L23￥1(176~81⑵EXDX=-(13123￥5L23￥1(176~81例2：深圳市某校中學生籃球隊假期集訓，集訓前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓練，都從中任意取出2個球，用完后放回．（1）設第一次訓練時取到的新球個數為g,求g的分布列和數學期望;（2）求第二次訓練時恰好取到一個新球的概率．（1）思路：第一次訓練時所取得球是從6個球（3新，3舊）中不放回取出2個球，所以可判斷出g服從超幾何分布，即可利用其公式計算概率與分布列，并求得期望解：g可取的值為0,1,2P(g二P(g二2)=￡二16.g的分布列為：5552）思路：本題要注意一個常識，即新球訓練過后就變成了舊球，所以要計算第二次恰好取到一個新球的概率，需要了解經過第一次訓練后，所剩的球有幾個新球，幾個舊球。所以要對第一次取球的情況進行分類討論：若第一次取2個新球，則第二次訓練時有5舊1新；若第一次取到1個新球，則第二次訓練時有4舊2新；若第一次取到2個舊球，則第二次訓練依然為3舊3新，分別計算概率再相加即可解：設事件A為“第一次訓練取出了i個新球”則P（A）=CS1iiC26設事件B為“從六個球取出兩個球，其中恰好有一個新球”事件C為“第二次恰好取出一個新球”p（C）=P（AB）+P（AB）+P（AB）325325P(AB)=P(A)?P(BIA)=Cl-CLC000C2C2Ci?Ci?Ci—42C26825P(AB)=P(A)?P(BIA)=C3C3TOC\o"1-5"\h\z111C26P(AB)=P(A)?P(BIA)=CL?C=丄222C2C21566QQ???P(c)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=—01275例3：若盒中裝有同一型號的燈泡共10個，其中有8個合格品，2個次品（1）某工人師傅有放回地連續從該盒中取燈泡3次，每次取一只燈泡，求2次取到次品的概率（2）某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會議室的一只已壞燈泡，每次從中取一燈泡，若是正品則用它更換已壞燈泡，若是次品則將其報廢

（不再放回原盒中），求成功更換會議室的已壞燈泡所用燈泡只數X的分布列和數學期望（1）思路：每次有放回的取燈泡，相當于做了3次獨立重復試驗，每次試驗中取到合格品的概率為4，取到次品的概率為1，在3次試驗中52次取到次品，1次取得合格品，所以考慮利用公式求解取到次品的概率解：設事件a為“2次取到次品”?????P(A)=C2312125（2）思路：因為只有2個次品，所以最多用掉3個燈泡，x可取的值為1,2,3，X二1時，意味著取到的是合格品，概率為4，X二2是取到一5個次品（概率為1）之后在9個燈泡中取到一個合格品（概率為8）,x二359是連續取到2個次品（概率為1丄），之后一定拿到合格品，分別計算59概率即可59845解：X可取的值為59845?P(X=1)=45P(X=3)=-丄=—5945?X的分布列為：123481P54545EX=1x4+2X—+3x—=U545459例4：一個盒子內裝有8張卡片，每張卡片上面寫著1個數字，這8

個數字各不相同，且奇數有3個，偶數有5個．每張卡片被取出的概率相等．（1）如果從盒子中一次隨機取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數字相加得到一個新數，求所得新數是奇數的概率；（2）現從盒子中一次隨機取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數是偶數則停止取出卡片，否則繼續取出卡片.設取出了g次才停止取出卡片，求g的分布列和數學期望.（1）思路：本題可用古典概型解決，事件0為“8張卡片中取出2張卡片”所以n（0）=C28事件A為“所得新數為奇數”，可知需要一奇一偶相加即可，則n（A）=Ci-Ci，從而可計算出P（A）35解：設A為“所得新數為奇數”???P（A???P（A）=Ci-Ci5C281528（2）思路：依題意可知g可取的值為1,2,3,4,題目中的要求為“取出偶數即停止”所以若要保證第n次能繼續抽卡片，則在前（n-1）次需均抽出奇數。所以g=1,2,3時，意味著抽卡片中途停止，則必在最后一次取到了偶數，以g=3為例，中途停止說明在第三次抽到偶數，前兩次抽到奇數。所以P（g=3）=3-2?5（第二次受第一次結果的影響，只剩7876張卡片，含有2張奇數卡片，所以是前兩次是奇數的概率為3?2）。當87g=4時，只要在前三次將奇數卡片抽完即可。解：g可取的值為1,2,3,4

???p1)=515561556g123451551P8565656P—3)=3?2?5=A87656p—4)=3-2-6=i56?.g的分布列為:???Eg=1x5+2x15+3丄+4丄=385656562例5：某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經過一個智能門，首次到達此門，系統會隨機（即等可能）為你打開一個通道，若是1號通道，則需要1個小時走出迷宮；若是2號，3號通道，則分別需要2小時，3小時返回智能門，再次到達智能門時，系統會隨機打開一個你未到過的通道，直至走出迷宮為止，令表示走出迷宮所需的時間，求g的分布列和數學期望思路：迷宮的規則為只有進入1號通道才能走出迷宮，如果是其他通道（以2號為例），則可能打開1通道然后走出迷宮，或者打開另一個通道，通過第三輪進入1通道走出迷宮，所以g可取的值為1（1號），3（2號+1號），4（3號+1號），6（3號+2號+1號或2號+3號+1號）。根據g的取值便可判斷出走迷宮的情況，從而列出式子計算概率，得到分布列解：g可取的值為1,3,4,6p(g=1)=-3P(g=4)=1x1=1326?g的分布列為：P(g=3)=1x-=1326P(g=6)=1x1+1x1=132323

g1346P11113663Eg=1x1+3x136+4x1+6x1=6372例6：某學校要對學生進行身體素質全面測試，對每位學生都要進行9選3考核(即共9項測試，隨機選取3項)，若全部合格，則頒發合格證；若不合格，則重新參加下期的9選3考核，直至合格為止，若學生小李抽到“引體向上”一項，則第一次參加考試合格的概率為1，第2二次參加考試合格的概率為2,第三次參加考試合格的概率為4,若第35四次抽到可要求調換項目，其它選項小李均可一次性通過求小李第一次考試即通過的概率P求小李參加考核的次數g分布列(1)思路：由題意可知，小李能夠通過考試的概率取決于是否能夠抽到“引體向上”這個項目，如果沒有抽到，則必能通過；若抽到“引體向上”則通過的概率為丄。后面通過測試的概率受到前面抽簽的影響,2要利用條件概率進行解決解：(1)若沒有抽到“引體向上”，若抽到“引體向上”，C211若抽到“引體向上”，8C3269??????P=P+P122136(2)思路：依題目要求可知g可取的值為1,2,3,4,在參加下一次考核時,意味著前幾次考核失敗，所以當g取2,3,4時，要考慮前面考核失敗的情況與該次考核成功兩個方面同時成立。解：g可取的值為1,2,3,4P(gP(g=2)=(C3C22)—+(C3C33丿994277405C27405C21C21P(g=4)=-6P(g=3)=丄?—?一-—+—-—IC33丿IC3C35999g12345471P627405810?―8?—?—4?—IC33丿IC35丿99.?.g的分布列為:例7：袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是1,從B中摸出一個紅球的概率是2，現從兩個袋子中有放33回的摸球（1）從A中摸球，每次摸出一個，共摸5次，求恰好有3次摸到紅球的概率設摸得紅球的次數為隨機變量X，求X的期望（2）從A中摸出一個球，若是白球則繼續在袋子A中摸球，若是紅球則在袋子B中摸球；若從袋子B中摸出的是白球則繼續在袋子B中摸球，若是紅球則在袋子A中摸球，如此反復摸球3次，計摸出紅球的次數為Y，求Y的分布列和期望（1）思路：①題目中說“有放回的摸球”所以本題為獨立重復試驗模型，在A中摸出紅球的概率為1，代入獨立重復試驗模型公式即可計3算出概率；②隨機變量X指摸出紅球發生的次數，所以符合二項分布全國名校高考數學優質學案專題匯編(附詳解)全國名校高考數學優質學案專題匯編(附詳解)XnB[5,1]，直接可計算期望口I3丿解：①設事件M為“恰好有3次摸到紅球”:P（:P（M）=C35"1丫（2￥40<3丿=243②X的取值為0,1,2,3,4,5，依題意可知XD:.EX=5--=-33(2)思路：有放回的摸球三次，所以Y可取的值為0丄2,3，因為下一次在哪個袋子里摸球取決于上一次的結果：若是白球則在本袋繼續摸，若是紅球則要換袋子摸，所以在計算概率的過程中要監控每一次摸球的結果，并按紅球個數進行安排。例如Y=1時，要按“紅白白”，“白紅白”，“白白紅”三種情況進行討論，并匯總在一起。解：Y可取的值為0,1,2,3（2「38P（Y=1）=1xr1「2211+—.—?—+（2丫<3丿=273<3丿333<3丿P（Y=0）=1732721-+-33210327Y0123P871022727272713227:Y的分布列為::EY=0X—+1x—+2x10+3X—=2727272711~9例8：為了參加中央電視臺，國家語言文字工作委員會聯合主辦的《中國漢字聽寫大會》節目，某老師要求參賽學生從星期一到星期四每天全國名校高考數學優質學案專題匯編(附詳解)全國名校高考數學優質學案專題匯編(附詳解)56485648學習3個漢字及正確注釋，每周五對一周內所學漢字隨機抽取若干個進行檢測(一周所學的漢字每個被抽到的可能性相同)(1)老師隨機抽了4個漢字進行檢測，求至少有3個是后兩天學習過的漢字的概率(2)某學生對后兩天所學過的漢字每個能默寫對的概率為4，對前兩5天所學過的漢字每個能默寫對的概率為3，若老師從后三天所學漢字中5各抽取一個進行檢測，求該學生能默寫對的漢字的個數g的分布列和期解：(1)設事件A為“至少有3個是后兩天學習過的漢字”???P(A)=ClC3+C4666C412135_3495—11(2)思路：依題意可知g可取的值為o丄2,3，本問的關鍵在于后三天中包括“后兩天”與“第二天”兩類，這兩類中學生默寫對的概率是不同的，所以在求概率時要討論默對的屬于哪個類別，再考慮其概率即P(g=1)=CP(g=1)=Ci2412(1\23X—X—X—+—X—=19P(g=2)=C1241X—X—55P(g=3)=(4)2<5丿?g的分布列為：全國名校高考數學優質學案專題匯編（附詳解）全國名校高考數學優質學案專題匯編（附詳解）g01232195648P125125125125Eg=0+1xJ9+2XJ6+3X18125125125125115例9：QQ先生的魚缸中有7條魚，其中6條青魚和1條黑魚，計劃從當天開始，每天中午從該魚缸中抓出一條魚（每條魚被抓到的概率相同）并吃掉，若黑魚未被抓出，則它每晚要吃掉一條青魚（規定青魚不吃魚）（1）求這7條魚中至少有6條被QQ先生吃掉的概率（2）以g表示這7條魚中被QQ先生吃掉的魚的條數，求g的分布列及其數學期望Eg（1）思路：依題意可知，如果QQ先生沒有抓到黑魚，則黑魚會一次次的吃掉青魚，從而使得QQ先生吃掉魚的總數減少。所以QQ先生吃魚的總數決定于第幾次將青魚拿出，“QQ先生至少吃掉6條”包含6條和7條，若吃掉6條，則表示第一次拿出的是青魚，在第二次拿黑魚時，因為黑魚已經吃掉一條青魚，所以只能從剩下5條中拿出，故概率為6x-;若吃掉7條，則表示第一次就拿出黑魚，即概率為丄。57解：設事件a為“第i次拿到青魚”事件a為“QQ先生至少吃掉6條i魚”???P（A）=P（A）+P（A）=-+-丄=111277535（2）思路：依題意可知只要晚一天拿出黑魚，則這一天就會少兩條青魚（一條QQ吃掉，一條黑魚吃掉），所以g可取的值為4,5,6,7。g=7代表第一天就拿到黑魚；g=6代表第二天拿到黑魚；g=5代表第三天拿

到黑魚；g=4代表第四天拿到黑魚，此時QQ先生吃了3條青魚，黑魚解：g可取的值為4,5,6,7.??P(g=解：g可取的值為4,5,6,7.??P(g=7)=17()6418P(g=5丿=—?—=-75335.?.g的分布列為：16535g4567Pi686i3535357p一4)=6?4?I=16I5???Eg=4x16+5亠+6/+7x1=175=5353535735例10：有A,B,C三個盒子，每個盒子中放有紅，黃，藍顏色的球各一個,所有的球僅有顏色上的區別（1）從每個盒子中任意取出一個球，記事件s為“取得紅色的三個球“，事件T為”取得顏色互不相同的三個球“，求P（S）,P（T）（2）先從A盒中任取一球放入b盒，再從B盒中任取一球放入C盒，最后從c盒中任取一球放入A盒，設此時A盒中紅球的個數為g，求g的分布列與數學期望（1）思路一：可利用古典概型求出P（s）,P（T），基本事件空間O為“三個盒子的取球情況”則n（0）=Ci?Ci?Ci=27，則n（S）=1，n（T）=A3=6（三3333種顏色全排列確定出自哪個盒），從而求得P（s）,P（T）解：（1）P（S）二1二丄P（T）=A3二-Ci?Ci?Ci27Ci?Ci?Ci9333333思路二：本題也可用概率的乘法進行計算。S表示每個盒均取出紅球（取

出紅球的概率為1）,因為每盒之間互不影響，所以P（s）=1X1X1；T要TOC\o"1-5"\h\z3333求每盒顏色不同