12.2三角形全等的判定第十二章全等三角形

第1課時“邊邊邊”2023/9/5情境引入學習目標

1.探索三角形全等條件.（重點）

2.“邊邊邊”判定方法和應用.（難點）

3.會用尺規作一個角等于已知角，了解圖形的作法．2023/9/5導入新課

為了慶祝國慶節，老師要求同學們回家制作三角形彩旗（如圖），那么，老師應提供多少個數據了，能保證同學們制作出來的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的邊長和所有的角度嗎？情境引入2023/9/5ABCDEF1.

什么叫全等三角形？能夠重合的兩個三角形叫全等三角形.3.已知△ABC

≌△DEF，找出其中相等的邊與角.①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤

∠B=∠E⑥∠C=∠F2.

全等三角形有什么性質？全等三角形的對應邊相等，對應角相等.知識回顧2023/9/5如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證△ABC≌△DEF嗎?想一想：即：三條邊分別相等，三個角分別相等的兩個三角形全等．2023/9/5探究活動1：一個條件可以嗎？（1）有一條邊相等的兩個三角形不一定全等（2）有一個角相等的兩個三角形不一定全等結論：有一個條件相等不能保證兩個三角形全等.三角形全等的判定（“邊邊邊”定理）一2023/9/56cm300有兩個條件對應相等不能保證三角形全等.60o300不一定全等探究活動2：兩個條件可以嗎？3cm4cm不一定全等30060o3cm4cm不一定全等30o

6cm結論：（1）有兩個角對應相等的兩個三角形（2）有兩條邊對應相等的兩個三角形（3）有一個角和一條邊對應相等的兩個三角形2023/9/5結論:三個內角對應相等的三角形不一定全等.（1）有三個角對應相等的兩個三角形60o30030060o90o90o探究活動3：三個條件可以嗎？2023/9/53cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm（2）三邊對應相等的兩個三角形會全等嗎？2023/9/5

先任意畫出一個△ABC，再畫出一個△A′B′C′

,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′

=AC.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他們全等嗎？ABCA′B′C′想一想：作圖的結果反映了什么規律？你能用文字語言和符號語言概括嗎？作法：（1）畫B′C′=BC；（2）分別以B',C'為圓心，線段AB,AC長為半徑畫圓，兩弧相交于點A'；（3）連接線段A'B',A'C'.動手試一試2023/9/5文字語言：三邊對應相等的兩個三角形全等.

（簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）知識要點

“邊邊邊”判定方法ABCDEF在△ABC和△DEF中，∴△ABC

≌△DEF（SSS）.

AB=DE，

BC=EF，

CA=FD，幾何語言：2023/9/5例1

如圖，有一個三角形鋼架，AB=AC

，AD是連接點A

與BC中點D

的支架．求證：（1）△ABD≌△ACD

．CBDA典例精析解題思路：先找隱含條件公共邊AD再找現有條件AB=AC最后找準備條件BD=CDD是BC的中點2023/9/5證明：∵

D

是BC中點，

∴BD=DC．在△ABD

與△ACD

中，∴△ABD≌△ACD

（SSS）．CBDAAB=AC(已知）BD=CD

（已證）AD=AD

（公共邊）準備條件指明范圍擺齊根據寫出結論(2)∠BAD=∠CAD.由（1）得△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD.

（全等三角形對應角相等）2023/9/5①準備條件：證全等時要用的條件要先證好；②指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；③擺齊根據：擺出三個條件用大括號括起來；④寫出結論：寫出全等結論.證明的書寫步驟：2023/9/5如圖,C是BF的中點，AB=DC,AC=DF.求證:△ABC≌△DCF.在△ABC和△DCF中，AB=DC，∴△ABC≌△DCF(已知)(已證)AC=DF，BC=CF，證明：∵C是BF中點，∴BC=CF.(已知)(SSS).針對訓練2023/9/5已知:如圖,點B、E、C、F在同一直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求證:（1）△ABC≌△DEF；

（2）∠A=∠D.證明:∴△ABC≌△DEF(SSS).在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF，(已知)(已知)(已證)∵BE=CF，∴BC=EF.∴BE+EC=CF+CE，（1）（2）∵△ABC≌△DEF（已證），∴∠A=∠D（全等三角形對應角相等）.E變式題2023/9/5

已知：∠AOB．求作：

∠A′O′B′=∠AOB．例2

用尺規作一個角等于已知角．ODBCAO′C′A′B′D′用尺規作一個角等于已知角二2023/9/5作圖總結作法：

（1）以點O

為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，

OB于點C、D；（2）畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC

長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；（3）以點C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點D′；（4）過點D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′=∠AOB．用尺規作一個角等于已知角依據是什么？2023/9/51.如圖，D、F是線段BC上的兩點，AB=CE，AF=DE，

要使△ABF≌△ECD

，還需要條件

___

(填一個條件即可）.

BF=CDAE==××BDFC當堂練習2.如圖，AB＝CD，AD＝BC,則下列結論：①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD

≌△CDB；④BA∥DC.正確的個數是()A.1個B.2個C.3個D.4個OABCDC==××2023/9/53.已知：如圖

，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求證：△ABC≌△AED.證明：∵BD=CE,∴BD－CD=CE－CD.∴BC=ED.××==在△ABC和△ADE中，AC=AD（已知），AB=AE（已知），BC=ED（已證），∴△ABC≌△AED（SSS）.2023/9/54.已知：如圖

，AC=FE，AD=FB,BC=DE.求證：(1)△ABC≌△FDE;(2)∠C=∠E.證明：(1)∵AD=FB，∴AB=FD（等式性質）.在△ABC和△FDE

中，AC=FE（已知），BC=DE（已知），AB=FD（已證），∴△ABC≌△FDE（SSS）；ACEDBF==??。。（2）∵△ABC≌△FDE（已證）.∴∠C=∠E（全等三角形的對應角相等）.

2023/9/55.如圖,AD＝BC,AC＝BD.求證:∠C＝∠D.(提示:連結AB)證明：連結AB兩點,∴△ABD≌△BAC(SSS)AD=BC，BD=AC，AB=BA，在△ABD和△BAC中，∴∠D=∠C.2023/9/5思維拓展

6.如圖，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，圖中有幾組全等的三角形？它們全等的條件是什么？HDCBA△ABD≌△ACD(SSS)AB=AC，BD=CD，AD=AD，△ABH≌△ACH(SSS)AB=AC，BH=CH，AH=AH，△BDH≌△CDH(SSS)BH=CH，BD=CD，DH=DH，2023/9/5課堂小結

邊邊邊內容有三邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“SSS”)應用思路分析書寫步驟結合圖形找隱含條件和現有條件，證準備條件注意四步驟1.說明兩三角形全等所需的條件應按對應邊的順序書寫.2.結論中所出現的邊必須在所證明的兩個三角形中.2023/9/512.2三角形全等的判定第十二章全等三角形第2課時“邊角邊”2023/9/5情境引入學習目標

1．探索并正確理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重點）

2．會用“SAS”判定方法證明兩個三角形全等及進行簡單的應用．（重點）3.了解“SSA”不能作為兩個三角形全等的條件．（難點）

2023/9/5

1.回顧三角形全等的判定方法1

三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫為

“邊邊邊”或“SSS”）.在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD2.符號語言表達：ABCDEF知識回顧2023/9/5當兩個三角形滿足六個條件中的3個時，有四種情況:三角×三邊√兩邊一角？兩角一邊

除了SSS外,還有其他情況嗎？思考2023/9/5講授新課三角形全等的判定（“邊角邊”定理）一問題：已知一個三角形的兩條邊和一個角，那么這兩條邊與這一個角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC“兩邊及夾角”“兩邊和其中一邊的對角”它們能判定兩個三角形全等嗎？2023/9/5尺規作圖畫出一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A

（即使兩邊和它們的夾角對應相等）.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們全等嗎？ABC探究活動1：SAS能否判定的兩個三角形全等動手試一試2023/9/5ABCA′

DEB′

C′

作法：（1）畫∠DA'E=∠A；（2）在射線A'D上截取A'B'=AB,在射線A'E上截取A'C'=AC；（3）連接B'C'.？思考：

①

△A′B′C′與

△ABC

全等嗎？如何驗證？②這兩個三角形全等是滿足哪三個條件？2023/9/5在△ABC

和△DEF中，∴

△ABC

≌△DEF（SAS）．

文字語言：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等

（簡寫成“邊角邊”或“SAS”）．知識要點

“邊角邊”判定方法幾何語言：AB=DE，∠A=∠D，AC=AF

，ABCDEF必須是兩邊“夾角”2023/9/5例1：如果AB=CB

，∠ABD=∠CBD，那么

△ABD

和△CBD

全等嗎？分析:△ABD

≌△CBD.邊:角:邊:AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，？ABCD(SAS)BD=BD(公共邊).典例精析證明：在△ABD

和△CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，∴△ABD≌△CBD(SAS).BD=BD(公共邊)，2023/9/5變式1:已知：如圖,AB=CB,∠1=∠2.求證:(1)AD=CD；

(2)DB平分∠ADC.ADBC1243在△ABD與△CBD中，證明:∴△ABD≌△CBD（SAS），AB=CB(已知），∠1=∠2（已知），BD=BD（公共邊），∴AD=CD，∠3=∠4，∴DB平分∠ADC.2023/9/5ABCD變式2:已知:AD=CD，DB平分∠ADC，求證:∠A=∠C.12在△ABD與△CBD中，證明:∴△ABD≌△CBD（SAS），AD=CD(已知），∠1=∠2（已證），BD=BD（公共邊），∴∠A=∠C.∵DB平分∠ADC，∴∠1=∠2.2023/9/5例2：如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達A和B的點C，連接AC并延長到點D，使CD＝CA，連接BC并延長到點E，使CE＝CB．連接DE，那么量出DE的長就是A、B的距離，為什么?C·AEDB證明：在△ABC和△DEC

中，∴△ABC

≌△DEC（SAS），∴AB=DE，（全等三角形的對應邊相等）.AC=DC（已知），∠ACB

=∠DCE

（對頂角相等），CB=EC（已知）

，

證明線段相等或者角相等時，常常通過證明它們是全等三角形的對應邊或對應角來解決.歸納2023/9/5已知:如圖,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求證:∠A=∠D.證明:∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1+∠DBC＝∠2+∠DBC(等式的性質)，

即∠ABC＝∠DBE.

在△ABC和△DBE中,

AB＝DB(已知)，∠ABC＝∠DBE(已證)，

CB＝EB(已知)，∴△ABC≌△DBE(SAS).∴∠A=∠D(全等三角形的對應角相等).1A2CBDE針對訓練2023/9/5想一想：

如圖，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC.固定住長木棍，轉動短木棍，得到△ABD.這個實驗說明了什么？B

A

CD△ABC和△ABD滿足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC與△ABD不全等.探究活動2：SSA能否判定兩個三角形全等2023/9/5畫一畫：畫△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm，AC=DF=3cm．觀察所得的兩個三角形是否全等？

ABMCDABCABD有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.結論2023/9/5例3

下列條件中，不能證明△ABC≌△DEF的是()典例精析A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判斷能不能使△ABC≌△DEF，應看所給出的條件是不是兩邊和這兩邊的夾角，只有選項C的條件不符合，故選C.C方法總結：判斷三角形全等時，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等．解題時要根據已知條件的位置來考慮，只具備SSA時是不能判定三角形全等的．2023/9/5當堂練習1.在下列圖中找出全等三角形進行連線.Ⅰ?30o8cm9cmⅥ?30o8cm8cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30o?8cm5cmⅤ30o8cm?5cmⅧ8cm5cm?30o8cm9cmⅦⅢ?30o8cm8cmⅢ2023/9/52.如圖，AB=DB，BC=BE，欲證△ABE≌△DBC，則需要增加的條件是

()A.∠A＝∠DB.∠E＝∠CC.∠A=∠CD.∠ABD＝∠EBC

D2023/9/53.如圖，點E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.

求證：△AFD≌△CEB.

FABDCE證明：∵AD//BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE

∴△AFD≌△CEB（SAS）.∴AE+EF=CF+EF，

即

AF=CE.(已知），(已證），(已證），2023/9/54.已知：如圖，AB=AC,AD是△ABC的角平分線，

求證：BD=CD.證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD

∴△ABD≌△ACD（SAS）.(已知），(已證），(已證），∴BD=CD.2023/9/5已知：如圖，AB=AC,BD=CD，求證：∠BAD=∠CAD.變式1證明：∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）.AB=ACBD=CDAD=AD

(已知），(公共邊），(已知），2023/9/5已知：如圖，AB=AC,BD=CD，E為AD上一點，求證：

BE=CE.變式2證明：∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD

(已知），(公共邊），(已知），∴BE=CE.在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CADAE=AE

(已知），(公共邊），(已證），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴△ABE≌△ACE（SAS）.2023/9/55.如圖，已知CA=CB,AD=BD,M，N分別是CA，CB的中點，求證：DM=DN.在△ABD與△CBD中證明:CA=CB(已知）AD=BD（已知）CD=CD（公共邊）∴△ACD≌△BCD（SSS）能力提升連接CD，如圖所示；∴∠A=∠B又∵M，N分別是CA，CB的中點，∴AM=BN2023/9/5在△AMD與△BND中AM=BN(已證）∠A=∠B（已證）AD=BD（已知）∴△AMD≌△BND（SAS）∴DM=DN.2023/9/5課堂小結

邊角邊內容有兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“SAS”)應用為證明線段和角相等提供了新的證法注意1.已知兩邊，必須找“夾角”2.已知一角和這角的一夾邊，必須找這角的另一夾邊

2023/9/512.2三角形全等的判定第十二章全等三角形第3課時

“角邊角”、“角角邊”2023/9/5情境引入學習目標1．探索并正確理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．2．會用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”證明兩個三角形全等．2023/9/5導入新課如圖,小明不慎將一塊三角形玻璃打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具嗎?如果可以,帶哪塊去合適?你能說明其中理由嗎?情境引入3212023/9/5講授新課三角形全等的判定（“角邊角”定理）一問題：如果已知一個三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？ABCABC圖一圖二“兩角及夾邊”“兩角和其中一角的對邊”它們能判定兩個三角形全等嗎？2023/9/5作圖探究先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，

使A′B′=AB，∠A

′=∠A，∠B′=∠B

(即使兩角和它們的夾邊對應相等).把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們全等嗎？ACB2023/9/5ACBA′B′C′ED作法：（1）畫A'B'=AB;（2）在A'B'的同旁畫∠DA'B'=∠A，∠EB'A'=∠B，A'D，B'E相交于點C'.想一想：從中你能發現什么規律？2023/9/5知識要點

“角邊角”判定方法文字語言：有兩角和它們夾邊對應相等的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”）.幾何語言：∠A=∠A′（已知），AB=A′B′（已知），∠B=∠B′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.ABCA′B′C′2023/9/5例1

已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共邊），∠ACB＝∠DBC（已知），證明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.典例精析BCAD

判定方法：兩角和它們的夾邊對應相等兩個三角形全等．2023/9/5例2

如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC,∠B=∠C,求證：AD=AE.ABCDE分析：證明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.證明：在△ACD和△ABE中，∠A=∠A（公共角），AC=AB（已知），∠C=∠B

（已知），∴△ACD≌△ABE（ASA)，∴AD=AE.2023/9/5問題：若三角形的兩個內角分別是60°和45°，且45°所對的邊為3cm，你能畫出這個三角形嗎?60°45°用“角角邊”判定三角形全等二合作探究2023/9/560°45°思考：

這里的條件與1中的條件有什么相同點與不同點？你能將它轉化為1中的條件嗎？75°2023/9/5兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等.簡寫成“角角邊”或“AAS”.歸納總結∠A=∠A′（已知），∠B=∠B′

（已知），AC=A′C′（已知），在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.ABCA′B′C′2023/9/5例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求證：△ABC≌△DEF．∠B＝∠E，

BC＝EF，

∠C＝∠F.證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.∴△ABC≌△DEF（ASA）.∴∠C＝180°－∠A－∠B.同理

∠F＝180°－∠D－∠E.又∠A＝∠D，∠B＝∠E,∴∠C＝∠F.在△ABC和△DEF中，2023/9/5例4

如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E.求證：(1)△BDA≌△AEC；證明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∠ADB=∠CEA=90°，

∠ABD＝∠CAE,AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS).2023/9/5(2)DE＝BD＋CE.∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.證明：∵△BDA≌△AEC,方法總結：利用全等三角形可以解決線段之間的關系，比如線段的相等關系、和差關系等，解決問題的關鍵是運用全等三角形的判定與性質進行線段之間的轉化．2023/9/51.△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，則下列補充的條件中錯誤的是（）A．AC＝DFB．BC＝EFC．∠A＝∠DD．∠C＝∠F2.在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么這兩個三角形（）A．一定不全等B．一定全等C．不一定全等D．以上都不對當堂練習AB2023/9/5

3.如圖，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判別下面的兩個三角形是否全等，并說明理由.不全等，因為BC雖然是公共邊，但不是對應邊.ABCD2023/9/5ABCDEF4.如圖∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么應補充一個條件

，才能使△ABC≌△DEF

（寫出一個即可）.∠B=∠E或∠A=∠D或

AC=DF（ASA）（AAS）（SAS）AB=DE可以嗎？×AB∥DE2023/9/55.已知：如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,求證：AB=AD.ACDB12證明：∵

AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°.

在△ABC和△ADC中，∠1=∠2（已知），∠B=∠D（已證），AC=AC（公共邊），∴△ABC≌△ADC（AAS)，∴AB=AD.2023/9/5學以致用：如圖,小明不慎將一塊三角形模具打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具嗎?如果可以,帶哪塊去合適?你能說明其中理由嗎?321答：帶1去，因為有兩角且夾邊相等的兩個三角形全等.2023/9/5能力提升：已知：如圖，△ABC

≌△A′B′C′，AD、A′D′

分別是△ABC

和△A′B′C′的高.試說明AD＝A′D′

，并用一句話說出你的發現.ABCDA′B′C′D′2023/9/5解：因為△ABC

≌△A′B′C′，所以AB=A'B'（全等三角形對應邊相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形對應角相等）.因為AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'（已證），∠ABD=∠A'B'D'（已證），AB=AB（已證），所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.ABCDA′B′C′D′全等三角形對應邊上的高也相等.2023/9/5課堂小結

邊角邊角角邊內容有兩角及夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“ASA”)應用為證明線段和角相等提供了新的證法注意注意“角角邊”、“角邊角”中兩角與邊的區別2023/9/512.2三角全等形的判定第十二章全等三角形

第4課時

“斜邊、直角邊”2023/9/5情境引入學習目標1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（難點）2．會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等．（重點）2023/9/5SSSSASASAAAS舊知回顧:我們學過的判定三角形全等的方法導入新課2023/9/5如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，直角邊是_____、_____，斜邊是______.CBAACBCAB思考：前面學過的四種判定三角形全等的方法,對直角三角形是否適用？2023/9/5ABCA′B′C′1.兩個直角三角形中，斜邊和一個銳角對應相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？2.兩個直角三角形中，有一條直角邊和一銳角對應相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？3.兩個直角三角形中，兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？口答：2023/9/5動腦想一想如圖，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF嗎？我們知道，證明三角形全等不存在SSA定理.ABCDEF2023/9/5問題：如果這兩個三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，現在能判定△ABC≌△DEF嗎？ABCDEF直角三角形全等的判定（“斜邊、直角邊”定理）一講授新課2023/9/5任意畫出一個Rt△ABC,使∠C=90°.再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°,B′C′=BC,A′B′=AB,把畫好的Rt△A′B′C′剪下來，放到Rt△ABC上，它們能重合嗎？ABC作圖探究畫圖方法視頻2023/9/5畫圖思路（1）先畫∠MC′

N=90°ABCM

C′N2023/9/5畫圖思路（2）在射線C′M上截取B′C′=BCMC′ABCNB′MC′2023/9/5畫圖思路（3）以點B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于A′MC′ABCNB′A′2023/9/5畫圖思路（4）連接A′B′MC′ABCNB′A′思考：通過上面的探究，你能得出什么結論？2023/9/5知識要點“斜邊、直角邊”判定方法文字語言：

斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.幾何語言：

ABCA′B′C′在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).“SSA”可以判定兩個直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.AB=A′B′,BC=B′C′,2023/9/5判斷滿足下列條件的兩個直角三角形是否全等，不全等的畫“×”，全等的注明理由：（1）一個銳角和這個角的對邊對應相等；（）（2）一個銳角和這個角的鄰邊對應相等；（）（3）一個銳角和斜邊對應相等；（）（4）兩直角邊對應相等；（）（5）一條直角邊和斜邊對應相等．（）HL×SASAASAAS判一判2023/9/5典例精析

例1

如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求證：BC﹦AD.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C與∠D都是直角.

AB=BA,

AC=BD

.在Rt△ABC

和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC﹦AD.ABDC應用“HL”的前提條件是在直角三角形中.這是應用“HL”判定方法的書寫格式.利用全等證明兩條線段相等，這是常見的思路.2023/9/5

變式1：如圖，∠ACB=∠ADB=90，要證明△ABC≌△BAD，還需一個什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應的括號內填寫出判定它們全等的理由.（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS2023/9/5如圖，AC、BD相交于點P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C、D,AD=BC.求證：AC=BD.變式2HLAC=BDRt△ABD≌Rt△BAC2023/9/5如圖：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判斷AD和BC的位置關系.變式3HL∠ADB=∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC2023/9/5例2

如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求證：BC＝BE.證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.2023/9/5方法總結：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．2023/9/5例3：如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形對應角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.2023/9/5DA當堂練習1.判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有（）A.兩條直角邊對應相等B.斜邊和一銳角對應相等

C.斜邊和一條直角邊對應相等D.兩個銳角對應相等2.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E，AD、CE交于點H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，則CH的長為（）A．1B．2C．3D．42023/9/54.如圖，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE.求證：△EBC≌△DCB.ABCED證明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BEC=∠BDC=90°.在Rt△EBC

和Rt△DCB

中，

CE=BD,

BC=CB

.∴Rt△EBC≌Rt△DCB(HL).3.如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC

（填“全等”或“不全等”），根據

（用簡寫法）.全等HL2023/9/5AFCEDB5.如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BF=DE.證明:∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，

AB=CD,

AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.2023/9/5如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求證：BD平分EF.AFCEDBG變式訓練1

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF2023/9/5如圖，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF嗎?變式訓練2C

AB=CD,

AF=CE.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF=DERt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG=∠DEG∠BGF=∠DGEFG=EGBD平分EF2023/9/56.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC的射線AQ上運動，問P點運動到AC上什么位置時△ABC才能和△APQ全等？【分析】本題要分情況討論：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此時AP＝BC＝5cm，可據此求出P點的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此時AP＝AC，P、C重合．解：(1)當P運動到AP＝BC時，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；能力拓展2023/9/5(2)當P運動到與C點重合時，AP＝AC.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴當AP＝5cm或10cm時，△ABC才能和△APQ全等．【方法總結】判定三角形全等的關鍵是找對應邊和對應角，由于本題沒有說明全等三角形的對應邊和對應角，因此要分類討論，以免漏解．2023/9/5課堂小結“斜邊、直角邊”內容斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.前提條件在直角三角形中使用方法只須找除直角外的兩個條件即可（兩個條件中至少有一個條件是一對對應邊相等）2023/9/512.3角的平分線的性質第十二章全等三角形第1課時角平分線的性質2023/9/5學習目標1.通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質定理.（難點）2.能運用角的平分線性質解決簡單的幾何問題.

（重點）2023/9/5挑戰第一關情境引入問題1：在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分

線嗎？

導入新課用量角器度量，也可用折紙的方法．問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？2023/9/5提煉圖形2023/9/5

問題3：如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據是SSS，兩全等三角形的對應角相等.2023/9/5挑戰第二關探索新知問題：如果沒有此儀器，我們用數學作圖工具，能實現該儀器的功能嗎？ABO尺規作角平分線一做一做：請大家找到用尺規作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關系.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點與角的頂點重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現這個過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現這個過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？2023/9/5ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規作圖,大家一定要掌握噢!作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點MN為圓心，大于

MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.2023/9/5已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.ABOC2023/9/51.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數據填入下表：2.觀察測量結果，猜想線段PD與PE的大小關系，寫出結：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE實驗：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的

任意一點猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質二2023/9/5驗證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等2023/9/5

一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據題意，畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證；3.經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程.方法歸納2023/9/5

性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.知識要點PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC2023/9/5判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵

如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

∴

=

,

()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC2023/9/5例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析2023/9/5例2:如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應用典例精析2023/9/5ABCP變式：如

圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4,AB=14.（1）則點P到AB的距離為_______.D4溫馨提示：存在一條垂線段———構造應用2023/9/5ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.D（3）求?PDB的周長.·AB·PD=28.由垂直平分線的性質，可知，PD=PC=4，=2023/9/51.應用角平分線性質：存在角平分線涉及距離問題2.聯系角平分線性質：面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質所得到的等量關系進行轉化求解2023/9/5當堂練習2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG2023/9/53.用尺規作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA2023/9/54.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEAD解析：過點D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分線，

DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，解得AC＝3.F方法總結：利用角平分線的性質作輔助線構造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．2023/9/5EDCBA68105.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴AE＝AB-BE=2.∴△AED的周長=AE+ED+DA=2+6=8.2023/9/56.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD與BC之間的距離為6.2023/9/5

7.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F.求證：CE＝CF.證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.2023/9/5課堂小結角平分線尺規作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握性質定理一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過角平分線上一點向兩邊作垂線段2023/9/512.3角的平分線的性質第十二章全等三角形第2課時角平分線的判定2023/9/5學習目標1.理解角平分線判定定理.(難點）2.掌握角平分線判定定理內容的證明方法并應用其解題.（重點）3.學會判斷一個點是否在一個角的平分線上.2023/9/5導入新課復習回顧ODPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點幾何語言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.ACB角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.1.敘述角平分線的性質定理不必再證全等E2023/9/52.我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.2023/9/5講授新課角平分線的判定一PAOBCDE角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．問題：交換角的平分線的性質中的已知和結論，你能得到什么結論，這個新結論正確嗎？角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE幾何語言：猜想:思考：這個結論正確嗎？2023/9/5已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的角平分線上.證明：作射線OP，

∴點P在∠AOB

角的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的對應角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP證明猜想2023/9/5判定定理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE應用所具備的條件：（1）位置關系：點在角的內部；（2）數量關系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.應用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.知識總結2023/9/5典例精析

例1：如圖，要在S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場應建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O方法點撥：根據角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根