超越概率貝葉斯判別分析方法及其在中長期徑流預報中的應用摘要：中長期徑流預報是水文預報中的經典難題之一，其在防洪、水庫調度及水資源管理中起著十分重要的作用。由于缺乏相應預見期的可靠氣象預報資料，中長期徑流預報一般采用統計方法。超越概率貝葉斯判別分析方法是一種數據驅動的非參數貝葉斯經驗統計方法，通過設置不同的流量等級反復進行貝葉斯判別分析，對未來徑流超過某一流量等級的概率（超越概率）進行預報。本文運用該方法對長江宜昌站、大通站的月、季徑流預報進行了研究，其結果表明，超越概率貝葉斯判別分析方法能夠有效實現宜昌站和大通站非汛期徑流預報；對于汛期徑流預報，采用厄爾尼諾和南方濤動等氣象水文指標變量作為預報因子，是提高預報精度的可行途徑。關鍵詞：中長期徑流預報；超越概率方法；貝葉斯判別分析；長江徑流預報中國分類號：P333文獻標識碼：A文章編號：0559-9350（2011）06-0692-08Exceedanceprobabilitymethodformid-termandlong-termstreamflowpredictionZHAOTong-tie-gang，YANGDa-wen，LIMing-liangAbstract：Mid-termandlong-termstreamflowpredictionisofvitalimportanceinfloodcontrol，reservoiroperationandwaterresourcesmanagement.Duetothelackofreliablemeteorologicalinputs，statisticalmethodiscommonlyusedtomid-termandlong-termstreamflowprediction.TheExceedanceProbabilityBayesianDiscriminantAnalysisMethodisaBayesianstatisticalmethodwhichreliesondiscriminantanalysistopredicttheprobabilityof“futurestreamflowgoesbeyondacertainvalue”（Exceedanceprobability）bythehistoricalpredictandandpredictorsamplesandreal-timepredictorinformation.ThismethodhasbeenusedtopredictthestreamflowofYichangandDatongGaugeStation，YangtzeRiver.Theresultsshowthattheexceedanceprobabilitymethodiseffectiveinpredictingthenon-floodseasonstreamflowandisaviableapproachforadoptinghydro-meteorologicalindexesaspredictortopromotpredictionaccuracyoffloodseasonstreamflow.Keywords：mid-termandlong-termstreamflowprediction；exceedance-probabilitymethod；BayesianDiscriminantAnalysis；YangtzeRiverstreamflowprediction1研究背景徑流預報是水文學的重要應用領域之一，是水庫運行調度和防汛、抗旱以及水資源應急調度等的前提。對于短期徑流預報而言，以實測降雨資料作為預報因子（模型輸入），采用集總式或分布式水文模型都能夠達到相當高的預報精度。對于中長期徑流預報而言，由于現階段天氣預報不能提供相應預見期的可靠降雨和氣溫等氣象資料，其主要利用統計和人工智能方法等進行［1-4］。中長期徑流預報的主要研究內容在于發掘未來徑流與前期徑流及海平面氣溫、海平面氣壓、大氣環流指數等大尺度氣象-水文變量間的關聯關系，并以此為基礎進行徑流預報［1-2］。其常用的模型方法有時間序列、神經網絡、支持向量機和遺傳規劃等［3-4］，這些方法首先由訓練樣本“擬合”預報變量與預報因子間關聯關系，然后由校核樣本對“擬合”關聯關系的可靠性進行檢驗，檢驗合格即可使用該模型進行中長期徑流預報。相比短期徑流預報中“降雨-徑流”機理性預報方法，中長期徑流預報的統計方法和人工智能方法，其機理性不夠強，預報精度也有待進一步提高［1-6］。超越概率貝葉斯判別分析方法（以下簡稱“超越概率方法”，ExceedanceProbabilityMethod）是Piechota等利用統計學中的判別分析方法（DiscriminantAnalysisMethod）提出的一種經驗貝葉斯方法［1-2］。超越概率方法采用歷史樣本計算“預報因子”和“預報變量”先驗概率分布，然后結合“預報因子”實時信息采用判別分析方法對“徑流量超過一定值”水文事件的后驗概率進行定量預報。超越概率方法與中長期徑流預報的時間序列、神經網絡、支持向量機和遺傳規劃等常用方法主要有2點不同［1-4］：（1）數據驅動，直接由歷史樣本和實時信息進行徑流預報，無需構建和檢驗關聯關系模型；（2）概率預報，同時對未來徑流變化范圍及其概率分布進行估計。本文采用超越概率方法對長江宜昌站、大通站的月、季徑流預報進行了研究，其結果表明，對于非汛期徑流預報，超越概率方法以前期徑流作為預報因子即能達到相當高的預報精度；對于汛期徑流預報，通過選取大尺度氣象水文指標作為預報因子，超越概率方法能夠以一定精度對極端水文事件進行概率預報。2超越概率徑流預報方法2.1超越概率方法原理超越概率方法是一種非參數貝葉斯統計方法，其源于經典統計理論中的判別分析方法［1-2］。給定預報變量Q和預報因子Z，設Qi（i∈{1，2，…，N}）為預報變量事件i（如流量位于一定流量區間），Qi之間互不相交且為預報變量Q的整個分布空間；Zj為預報因子取值為Zj的事件。記P（Qi）為Qi發生的概率，f(Zj)|Qi為Qi發生時預報因子為Zj的條件概率分布密度。給定足夠數量的（Q，Z）樣本，即能估計出P（Q）、f(Z|Q)的先驗分布。從而事件“預報變量事件i發生且預報因子Z=Zj”的概率分布密度可由下式進行f(Qi，Zj)=P(Qi)f(Zj)|Qi（1）根據貝葉斯公式如果已知預報因子Z=Zj，則預報變量事件i發生的后驗概率為由式（3）可以計算已知預報因子取值條件下，預報變量各事件發生的概率，也可以判別最可能發生的預報變量事件及其概率，即P(Qi)|Zj，(k∈{1，…，N})（4）Piechota等［1］指出，在徑流概率預報中，已知徑流-預報因子歷史樣本和預報因子取值，如果將歷史樣本分為徑流偏枯、中等和偏豐的事件Q1、Q2、Q3三類，即可由式（3）計算出徑流偏枯、中等和偏豐的后驗概率。如果將歷史樣本分為徑流大于等于Q、小于Q的事件Q1、Q2兩類，取i=1，則由式（3）可以計算出預報因子為Zj時流量大于等于Q的后驗概率P(Q1|Zj)（ExceedanceProbability），P(Q2|Zj)（也即1-P(Q1|Zj)）為流量小于Q的后驗概率（non-ExceedanceProbability）；Q可以連續取值，從而計算對應各Q的超越概率［2］。2.2超越概率方法的步驟運用超越概率徑流預報方法對徑流進行概率預報的流程如圖1所示，具體步驟包括［1-2］：（1）步驟1，將“預報變量-預報因子”樣本由預報變量大小分為Q1（即Q≥Q*）和Q2（即Q<Q*）兩類，分別記作分類1和分類2；（2）步驟2，由預報變量樣本分別計算Q1和Q2的先驗概率P（Q1）和1-P（Q1）；（3）步驟3，結合預報因子取值信息Z=Zj，分別估計分類1和分類2中Z=Zj的先驗概率密度f(Zj)|Q1和f(Zj)|Q2；（4）步驟4，由式（3）計算徑流大于等于Q*的后驗概率P(Q1|Zj)；（5）步驟5，設置不同的徑流Q*，重復步驟1-4即可求出對應各徑流條件的后驗超越概率。Piechota等［1］提出，點繪“超越概率-徑流”組合，取其外包線，即可得到超越概率徑流預報結果。極端水文事件（極端洪水、極端枯水）的超越概率可以由水文頻率分析確定。關于預報結果有效性的檢驗，Piechota等［1］建議直接采用氣象概率預報精度評價的LEPS（LinearErrorintheProbabilisticSpace）指標。實際應用中，運用樣本估算概率和概率密度需要采用非參數統計學中的核函數方法（KernalDensityFunctionMethod）［7-8］。從理論上選定合適的預報因子，給定足夠多的觀測樣本，超越概率預報方法即能在相應時間尺度上進行準確的徑流概率預報。在中長期預報中，預報因子Z可以取前期徑流、海平面氣溫和海平面氣壓等與流域徑流密切相關的變量，從而實現中長期“水文-氣象耦合”的徑流概率預報［1-2，5-6］。圖1Piechota等［2］超越概率徑流預報方法原理2.3超越概率方法改進在上述超越概率方法中，極端水文事件超越概率取為先驗概率，這樣難以對異常洪水和枯水給出合理的預報；同時氣象概率預報精度評價指標與傳統水文預報評價指標不一致，難以在同一標準下評判預報的優劣［9-10］，為此，本文提出了以下改進方法。設Qs為預報變量歷史序列，利用超越概率方法進行徑流預報時，對于統計樣本包含的水文事件max（Qs）≥Q≥min（Qs），可根據式（6）計算其超越概率。對于樣本不包含的極端水文事件Q(Q<min(Q))s、Q(Q>max(Qs))，考慮到先驗樣本不足以反映其后驗超越概率且統計模型外插將帶來較大誤差，可以通過估算Q(Q<min(Qs))和Q(Q>max(Qs))發生概率而間接對極端流量超越概率進行整體估計。極端枯水事件發生概率和極端洪水事件發生概率可由式（5）、式（6）分別進行估算：P=1-Prob(min(Qs)|Zj)

（5）=Prob(max(Qs)|Zj)（6）圖2運用超越概率徑流預報方法進行極端水文事件概率預報根據統計期望的定義，以各徑流對應的后驗概率對其進行加權平均即可得到其后驗期望值。在式（5）、式（6）的基礎上，不考慮極端水文事件，后驗徑流期望E（Q）可由如下積分得到根據預報因子序列Z可以對年內或一定時期內的徑流進行預報，由徑流概率預報的期望值序列E（Q）與實測徑流序列Qs，即能運用常規水文預報精度評價方法，如NS效率系數/確定性系數、均方根誤差、預報合格率等，對預報結果進行概率預報期望檢驗。此外，也可以結合式（5）、式（6）對極端水文事件的概率預報結果，對超越概率方法及預報因子實用性進行定性評價。3基于前期徑流的預報受流域調蓄作用及水汽條件等影響，流域內前后期徑流間存在較強的關聯性。同時，年內不同時段的前后期徑流間關聯關系存在差異，例如，枯水期，其前、后期徑流關系主要受流域調蓄作用影響，呈現出退水曲線的關系；洪水期，徑流主要取決于流域水汽條件，前、后期徑流關系較為復雜。在超越概率方法的徑流預報中，采用前一期徑流對后期徑流進行預報時，為保證樣本的均一性，歷史樣本均選用各年同期值。例如，采用6月徑流預報7月徑流，歷史樣本“預報因子-預報變量”組合選定為歷年的“6月徑流-7月徑流”；采用春季徑流預報夏季徑流，歷史樣本選定為歷年的“春季徑流-夏季徑流”。圖31981—2002年宜昌站徑流實測值與概率預報期望值對比利用宜昌站1882—2002共121年實測徑流序列，以前一期徑流作為預報因子對后期徑流運用超越概率方法進行預報研究。其中，1882—1980年共99年資料作為歷史樣本構建先驗概率空間；1981—2002年共22年資料用于檢驗超越概率方法有效性。在月、季時間尺度上對1981—2002年徑流進行預報，點繪超越概率預報期望值序列與實測值序列如圖3所示。對1981—2002年月、季徑流進行預報，NS效率系數分別為0.892、0.862；合格率（預報值在實測值±20%內為合格）分別為79.6%和77.7%。由圖3、圖4可知，對于冬季（12—2月）徑流和春季（3—5月）徑流，概率預報期望值與實際值基本一致；對于夏季（6—8月）徑流和秋季（9—11月）徑流，概率預報期望值與實測值存在較大差異。對于1994年秋季枯水，由于1994年夏季徑流（預報因子）顯著低于歷史同期值，概率預報期望值與實測值較為接近（相對誤差小于3%）。類似的，超越概率模型對1986年長江秋季枯水的概率預報期望值也與實測值也較為接近。相比之下，由于1986年和1994年的春季徑流（預報因子）并未與歷史同期表現出偏低，超越概率模型對1986年和1994年夏季枯水的預報結果與實測值存在較大差距。對于1998年夏季洪水，概率預報的期望值比實測值低了近13000m3/s（相對誤差大于30%），究其原因，其預報因子（1998年春季徑流）并未顯著高于歷史同期值。類似的，超越概率模型對1981、1984、1987、1993和1999年夏季洪水的預報結果頗不理想。這也說明對于小概率的“洪水”事件僅用“期望值”難以反映其發生情況。采用超越概率方法進一步對長江大通站月、季徑流進行預報，以1951—1990年共40年數據為樣本構建先驗概率，對1991—2002年月、季徑流預報，結果如圖4所示。大通站月、季徑流預報結果整體上與宜昌站預報結果類似。月、季徑流預報NS系數分別為0.808和0.761，合格率分別為67.4%、66.7%，預報精度較宜昌站偏低，其原因可能在于平原區河流洪水受人類活動影響較大，變化規律比山區河流洪水更為復雜。圖41991—2002年大通站徑流實測值與概率預報期望值對比徑流主要取決于降水，長江上游金沙江和四川盆地各水系降水主要集中在夏季和秋季的7—9月［11］，受太陽輻射、大氣環流和水汽輸運等多種因素影響，流域降水變化規律較為復雜。對于夏、秋季洪水預報，依靠“前-后期徑流關系”很難達到必要精度。例如，采用1998年春季徑流作為預報因子，1998年宜昌站夏季徑流大于35000m3/s的概率為0。4基于氣象水文預報因子的特大洪水概率預報為提高洪水預報精度，同時也為考察大尺度水文氣象因子與長江洪水關聯關系，采用水文氣象特征指標對宜昌站夏季（6—8月）徑流進行預報研究。本文共選取了16個氣象水文特征指標，包括：（1）北極濤動指數（ArcticOscillation）；（2）大洋尼諾指數（OceanicNinoIndex）；（3）太平洋十年濤動指數（PacificDecadalOscillation）；（4）西太平洋指數（WesternPacificIndex）；（5）太平洋模式（PacificPattern）；（6）東-北太平洋模式（EasternPacific-NorthernPacificPattern）；（7）太平洋暖池（PacificWarmPool）；（8）太平洋北美指數（PacificNorthAmericanIndex）；（9）斯堪的納維亞模式（ScandinaviaPattern）；（10）北方濤動指數（NorthernOscillationIndex）；（11）南方濤動指數（SouthernOscillationIndex）；（12）多變量厄爾尼諾南方濤動指數（MutlivariateENSOIndex）；（13）尼諾1+2區海溫（ExtremeEasternTropicalPacificSST）；（14）尼諾3區海溫（EasternTropicalPacificSST）；（15）尼諾4區海溫（CentralTropicalPacificSST）；（16）尼諾3.4區海溫（EastCentralTropicalPacificSST）。氣象水文指標數據均來自美國海洋和大氣局（NOAA）氣候數據中心網站：。這16個水文氣象指標于1950年左右有計算值，從NOAA數據中心能夠下載到時間步長為月的數據為1951年至今。運用超越概率方法，選取16個特征指標的上一年春季、夏季、秋季、冬季和當年春季取值作為預報因子（共80個），以1952—1997年（共46年）數據作為樣本構建先驗概率空間，對1998年夏季洪水進行預報。1998年夏季宜昌站日均徑流高達37810m3/s，這一流量高于1952—1997年夏季徑流最大值的1954年夏季徑流37210m3/s（1954年夏季洪水為1882—1997年共116年間的最大夏季洪水）。將先驗超越概率（由洪水頻率分析得到）通過式（7）積分得到長江宜昌站夏季徑流期望值為24800m3/s，這一取值與1998年真實值的相對誤差為33%。對于1998年夏季洪水預報，（1）若以25%相對誤差（概率預報期望值大于等于真實值的75%）作為判斷預報因子的預報期望值有效性閾值，結果顯示，太平洋尼諾1+2區上一年夏季、秋季、冬季和本年春季海溫及太平洋尼諾3區上一年秋季、冬季海溫等共6個預報因子的預報期望值合格。若以20%相對誤差作為預報期望有效性閾值，則80個預報因子均不合格；（2）若以預報“夏季洪水37000m3/s發生超越概率大于3%”為預報因子的概率預報有效性閾值，結果顯示，上一年春季太平洋尼諾區指數、上一年夏季西太平洋指數、上一年春季南方濤動指數、上一年春季尼諾1+2區海溫、上一年春季尼諾3區海溫、上一年春季尼諾3.4區海溫等共6個因子的概率預報合格。為對預報因子有效性進行檢驗，以1957—2002年（共46年）數據作為樣本構建先驗概率空間，對1954年夏季洪水進行預報，（1）若以25%相對誤差為預報期望值有效性閾值，80個預報因子均不合格；（2）若以預報“夏季洪水37000m3/s發生超越概率大于3%”作為概率預報有效性閾值，結果顯示上一年春季太平洋尼諾區指數、上一年夏季西太平洋指數、上一年春季南方濤動指數、上一年春季多變量厄爾尼諾南方濤動指數、上一年春季尼諾1+2區海溫、上一年春季尼諾3區海溫、上一年春季尼諾3.4區海溫等共7個因子的概率預報合格。對于7個“概率預報1954年夏季洪水”合格的預報因子，除“上一年春季多變量厄爾尼諾南方濤動指數”，其余均與“概率預報1998年夏季洪水”合格的預報因子相同。對于1954和1998年夏季洪水，“上一年春季尼諾1+2區海溫”均預報“夏季洪水37000m3/s發生的超越概率大于6%”，圖5上半部分點繪了“上一年春季尼諾1+2區海溫”與“當年夏季徑流”的關系，下半部分點繪了基于“上一年春季尼諾1+2區海溫”對1954和1998年的概率預報結果。圖5下側的概率預報結果顯示，“上一年春季尼諾1+2區海溫”預報1954和1998年夏季洪水發生的概率較先驗超越概率在大洪水事件方面明顯偏大。由圖5上側點繪關系圖，“上一年春季尼諾1+2區海溫”與“當年夏季徑流”并不呈現明顯的相互聯系，此時，采用線性回歸模型、非線性回歸模型和神經網絡模型等確定性模型進行徑流預報，均不能得出1954和1998年將發生大洪水的結論。洪水本身屬于小概率事件，其在歷史樣本中所占比例也比較小，“通過歷史樣本構建確定性預報模型，再由預報模型進行徑流預報”很難將洪水事件預報準確；采用超越概率方法能夠有效利用歷史樣本中的洪水樣本對洪水進行概率預報，這體現了超越概率貝葉斯判別分析方法相對于傳統方法的優勢。值得指出，在對1998年洪水進行預報時，如果在樣本空間中剔除“1954年樣本”，預報結果將很不理想，這說明樣本代表性對于超越概率方法的實用性有重大影響。5結語超越概率徑流預報方法基于“預報變量-預報因子”歷史樣本構建預報因子和預報變量的先驗分布，結合“預報因子”實時信息對未來不同量級的徑流發生概率進行預報。本文采用超越概率徑流預報方法，對長江宜昌站、大通站月和季徑流預報進行了研究。研究結果表明，對于非汛期徑流，以前一期徑流為預報因子，概率預報期望值即能以較高精度反映后期來流狀況；對于汛期徑流，以大尺度氣象水文指標作為預報因子能顯著提高極端水文事件概率預報精度。作為一種統計模型，超越概率方法在理論上是完備的。實際應用中，基于超越概率方法的徑流預報存在對極端水文事件（統計異常值）缺乏足夠預報準確性的問題，尤其是實測徑流過程與歷史先驗樣本差別較大時，預報值可能與實測值有較大差距。為模型選取有效的預報因子和為先驗概率估計提供更多具有代表性的樣本，是改進預報精度的可能途徑。圖5上一年春季尼諾1+2區域海溫與宜昌站當年夏季洪水的關聯關系及概率預報結果參考文獻：［1］PiechotaTC，ChiewFHS，DracupJA，etal.SeasonalstreamflowforecastingineasternAustraliaandtheElNinoSouthernOscillation［J］.WaterResourcesResearch，1998，34（11）：3035-3044.［2］PiechotaTC，ChiewFHS，DracupJA，etal.Developmentofexceedanceprobabilitystreamflowforecast［J］.JournalofHydrologicEngineering，2001，6（1）：20-28.［3］WangW-C，Kwok-WingChau，Chun-TianCheng，etal.Acomparisonofperformanceofseveralartificialintelligencemethodsforforecastingmonthlydischargetimeseries［J］.JournalofHydrology，2009，374（3-4）：294-306.［4］林劍藝，程春田.支持向量機在中長期徑流預報中的應用［J］.水利學報，2006，37（6）：681-686.［5］TootleGA，PiechotaTC.Suwanneeriverlongrangestreamflowforecastsbasedonseasonalclimatepredictors［J］.Journ