藝術認知與計算實驗室MindArtComputationOutline一、非線性動力系統二、經典非線性測量方法三、例子四、小結一非線性動力系統1.線性與非線性

線性方程：

y(t)=a*t+b1

非線性方程：Y(t)=cos(t)+b2;Y(t)=t^2+b3

藝術認知與計算實驗室MindArtComputation一非線性動力系統2.加入動力學行為

記憶效應（與t相關）：

無記憶效應（與t無關）：

藝術認知與計算實驗室MindArtComputation一非線性動力系統混沌：

混沌是指發生在確定性系統中的貌似隨機的不規則運動，一個確定性理論描述的系統，其行為卻表現為不確定性－－不可重復、不可預測，這就是混沌現象。

藝術認知與計算實驗室MindArtComputation一非線性動力系統典型非線性方程：人口模型：x(t+1)=k*x(t)*(1-x(t))藝術認知與計算實驗室MindArtComputation一非線性動力系統混沌二分叉圖：藝術認知與計算實驗室MindArtComputation一非線性動力系統Lorenz方程組：藝術認知與計算實驗室MindArtComputation一非線性動力系統3.吸引子及其特性吸引子

能量耗散系統最終收縮到的一種定常狀態。這是一個動力系統在t→∞時所呈現的與時間無關的定態，并且不管選取什么樣的初始值其終值的定態只有一個，也就是說終值與初始值無關。這類吸引子也稱平庸吸引子。如：阻尼單擺有不動點吸引子，范德玻耳方程有極限環吸引子，等等。藝術認知與計算實驗室MindArtComputationa.Pointattractor

靜止在定態藝術認知與計算實驗室MindArtComputation一非線性動力系統3.吸引子及其特性b.Limitcycle

周期性運動藝術認知與計算實驗室MindArtComputation一非線性動力系統3.吸引子及其特性c.Torus

準周期

不可通約藝術認知與計算實驗室MindArtComputation一非線性動力系統奇怪吸引子

相對于平庸吸引子而言，它們的特點之一是終態值與初始值密切相關，或者說對初始值具有極端敏感性；初始取值的細微差別可能會導致完全不同的結果，這時的吸引子毫無周期可言，即所謂混沌。藝術認知與計算實驗室MindArtComputation一非線性動力系統3.吸引子及其特性d.Chaoticattractor

具有收斂性

無周期

分型結構

“奇怪吸引子”藝術認知與計算實驗室MindArtComputation一非線性動力系統高維吸引子藝術認知與計算實驗室MindArtComputation二經典非線性測量方法1.Lorenz散點圖藝術認知與計算實驗室MindArtComputation二經典非線性測量方法2.Lyapunov指數

Lyapunov指數用于判斷一個系統是否屬于混沌系統。系統的Lyapunov指數譜中存在正值,則表明該系統具有混沌特征。因此,只要系統的Lyapunov指數譜中最大的Lyapunov指數為正,則該系統為混沌系統。藝術認知與計算實驗室MindArtComputation二經典非線性測量方法藝術認知與計算實驗室MindArtComputation設為多維相空間中兩點的初始距離，經

n次迭代后兩點的距離為：式中指數li值可正可負。表示沿該方向擴展，表示沿該方向收縮。在經過一段時間(數次迭代)以后，兩個不同李雅普諾夫指數值將使相空間中原來的圓演變為橢圓。二經典非線性測量方法藝術認知與計算實驗室MindArtComputation

穩定體系的相軌線相應于趨向某個平衡點，如果出現越來越遠離平衡點，則體系是不穩定的。系統只要有一個正值的就可出現混沌運動。

判別一個非線性系統是否存在混沌運動時，需要檢查它的最大李雅普諾夫指數l

是否為正值。

藝術認知與計算實驗室MindArtComputation

吸引子可存在于高維相空間內。在這相空間中大于零的李雅普諾夫指數可能不止一個，這樣體系的運動將為更復雜。人們稱高維相空間中有多個正值指數的混沌為超混沌。推廣到高維空間后，由指數的值決定的各種類型的吸引子歸納如下：

吸引子類型維數不動點

D=0極限環D=1二維環面D=2三維環面D=2奇怪吸引子（混沌）D=2~3（非整數）超混沌D=高于3非整數二經典非線性測量方法3.相關維度C(r)為吸引子上兩個隨機點之間距離小于給定距離r的似然估計。是r的函數藝術認知與計算實驗室MindArtComputation二經典非線性測量方法藝術認知與計算實驗室MindArtComputation二經典非線性測量方法4.K熵K熵（柯爾莫哥洛夫熵）S熵（香農熵，信息論）

一個吸引子的K熵是它（吸引子）所表示的動態系統的信息損失率。

等于該系統具有的所有正Lyapunov指數之和。

藝術認知與計算實驗室MindArtComputation二經典非線性測量方法在隨機運動系統中，K熵是無界的；在規則運動系統中，K熵為零；在混沌運動系統中，K熵大于零，K熵越大，那么信息的損失速率越大，系統的混沌程度越大，或者說系統越復雜藝術認知與計算實驗室MindArtComputation三例子正常人與癲癇發作時的比較1.EEG&2.相空間軌跡藝術認知與計算實驗室MindArtComputation三例子3.相關維度藝術認知與計算實驗室