一種多渦卷變形蔡氏系統(tǒng)的混沌性分析

0多噪音電路的動(dòng)力學(xué)分析蔡氏電路自1983年以來，吸引了許多研究人員的注意。本文把蔡氏電路的非線性函數(shù)由絕對(duì)值函數(shù)|x+1|-|x-1|變?yōu)閟in(x+1)-sin(x-1)+sin(x+3)-sin(x-3),用正弦函數(shù)的不同組合來產(chǎn)生多渦卷電路,分析了它的一些動(dòng)力學(xué)特性,如分岔圖和李氏指數(shù);然后證明了系統(tǒng)的控制參數(shù)r在一個(gè)混沌區(qū)域變化時(shí),其對(duì)應(yīng)的Jacobin矩陣在平衡點(diǎn)的特征值都滿足Shilnikov不等式;最后求解了混沌系統(tǒng)Hopf分岔值并給出相應(yīng)的證明.1[0.1,0.5]系統(tǒng)的混沌模式蔡氏電路的方程為系統(tǒng)參數(shù)為α=10,β=15,m系統(tǒng)的相圖如圖1所示.現(xiàn)在取f(x)=r[sin(x+1)-sin(x-1)+sin(x+3)-sin(x-3)],其中r=0.3,仍然取α=10,β=15,可以得到新系統(tǒng)的相圖如圖2所示.由圖2可以看到此方程可以產(chǎn)生18渦卷,跟原來的系統(tǒng)相圖不同.仿真發(fā)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)混沌起關(guān)鍵作用的是r,當(dāng)r∈[0.05,0.5]時(shí),該混沌系統(tǒng)的分岔圖和最大李氏指數(shù)圖如圖3所示.當(dāng)r=0.3時(shí),系統(tǒng)的3個(gè)李氏指數(shù)分別為:0.399082,0,-4.6943,有正的李氏指數(shù)0.399082,因此該系統(tǒng)是混沌的.從圖3可以看出,當(dāng)r=0.1時(shí)系統(tǒng)開始出現(xiàn)混沌,當(dāng)r>0.43時(shí)系統(tǒng)混沌消失,因此當(dāng)r∈[0.1,0.4276]系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).2系統(tǒng)平衡方程的求解Shilnikov定理主要有兩點(diǎn):一是鞍焦點(diǎn)的特征值滿足Shilnikov不等式;二是存在同宿軌道或異宿軌道.如果一個(gè)系統(tǒng)同時(shí)滿足這兩點(diǎn),則該系統(tǒng)為Shilnikov意義下的混沌系統(tǒng),或稱為同宿型和異宿型混沌系統(tǒng),或稱為馬蹄型混沌系統(tǒng).利用該定理來證明一個(gè)系統(tǒng)是否為混沌時(shí)首先要證明鞍焦點(diǎn)特征值是否滿足Shilnikov不等式,由此可以看出系統(tǒng)系數(shù)是否滿足Shilnikov不等式是判定系統(tǒng)是否混沌的先決條件,對(duì)混沌判定有重要意義.新的系統(tǒng)的無量綱狀態(tài)方程為式中α=10,β=15,r=0.3,整理得根據(jù)方程(3)可以求得系統(tǒng)平衡點(diǎn)為式中k∈Z,由此可知系統(tǒng)有無數(shù)個(gè)平衡點(diǎn),進(jìn)一步可得方程(3)在各個(gè)平衡點(diǎn)x當(dāng)k=2n,n∈Z時(shí)取正號(hào),當(dāng)k=2n+1,n∈Z時(shí)取負(fù)號(hào).下面證明所有r∈[0.1,0.4276],系統(tǒng)的Jacobin矩陣在平衡點(diǎn)的特征值都滿足Shilnikov不等式.由于k=2n,n∈Z時(shí),證明方法與k=2n+1,n∈Z相似,現(xiàn)選取后者證明.當(dāng)k=2n+1,n∈Z時(shí),對(duì)應(yīng)的Jacobin矩陣有一個(gè)實(shí)的特征根λ證明該平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Jacobin矩陣為令m=4αcos(1)sin(2)=19.6518,把α=10,β=15代入式(8),整理得令A(yù)=1+mr,B=5+mr,C=15mr,顯然A>0,B>0,C>0,再令這是關(guān)于μ的三次方程可用卡丹公式求解.設(shè)Δ=4P由于后面求解方程的時(shí)候要判定P,Q,Δ的正負(fù),現(xiàn)在計(jì)算如下.將m=19.6518分別代入P,Q,Δ,在r∈[0.1,0.4276]范圍內(nèi),經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算可以得到:當(dāng)r=0.4276時(shí),P有最小值,P當(dāng)r=0.1001時(shí),Q有最小值,Q當(dāng)r=0.1001時(shí),Δ有最小值,Δ根據(jù)三次方程根的判定定理,方程有唯一的實(shí)數(shù)根和一對(duì)共軛特征根:因?yàn)锳>0,Q>0,Δ>0,所以可以得到由P,Q,Δ的取值范圍,計(jì)算可以得到,當(dāng)r=0.4266時(shí),σ有最小值,σ即k=2n+1,n∈Z時(shí),平衡點(diǎn)的所有特征根滿足Shilnikov不等式λ如取r=0.3可以得到特征根為:-7.1119,0.1082+0.35246i,0.1082-0.35246i.因此這些平衡點(diǎn)為指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn),有1個(gè)對(duì)應(yīng)一維穩(wěn)定流型的負(fù)實(shí)特征根,但2個(gè)復(fù)共軛特征根對(duì)應(yīng)二維不穩(wěn)定流型,其軌道線向外旋轉(zhuǎn)散開.3hopf分岔的識(shí)別Hopf分岔理論,作為一種最重要的分岔,對(duì)判別平衡點(diǎn)解的穩(wěn)定性有重要的意義.下面我們來求解這個(gè)系統(tǒng)的Hopf分岔點(diǎn),并對(duì)此進(jìn)行相關(guān)證明.當(dāng)k=2n+1,n∈Z時(shí),系統(tǒng)的特征值方程為設(shè)上述特征方程3個(gè)根為λ則方程(4)可以表示為將式(18)代入上式并展開,可得根據(jù)有關(guān)Hopf分岔的概念,當(dāng)Hopf分岔時(shí),滿足β從