第第頁【解析】同步練習冊數學選擇性必修?模塊綜合檢測【xm】登錄二一教育在線組卷平臺助您教考全無憂

同步練習冊數學選擇性必修模塊綜合檢測【xm】

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)

1．已知函數f(x)=e2x+1，則f'(0)=（）

A．0B．eC．2eD．

2．在等差數列{an}中，a4=6，a3+a5=a10，則公差d=（）

A．-1B．0C．1D．2

3．已知a>0，b>0，a，b的等比中項為2，則a++b＋的最小值為（）

A．3B．4C．5D．4

4．曲線y=在(1，0)處的切線與直線l：y=ax垂直，則a=（）

A．-3B．3C．D．-

5．已知等差數列{an}的前n項和Sn滿足S37-S23=a，則S60=（）

A．4aB．C．5aD．

6．（2023高二下·廈門期中）函數f（x）=（x2+2x）e2x的圖象大致是（）

A．B．

C．D．

7．《周髀算經》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒，大寒、立春，雨水、驚蟄、春分、清明.谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節氣日影之和為八丈五尺五寸，則芒種日影長為（）

A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸

8．已知函數f(x)=x3-x和點P(1，-1)，則過點P與該函數圖象相切的直線條數為（）

A．1B．2C．3D．4

二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

9．已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn=2an-2若存在兩項am，an，使得aman=64，則（）

A．數列{an}為等差數列B．數列{an}為等比數列

C．D．m+n為定值

10．若函數y=exf(x)(e=2.7182…是自然對數的底數)在f(x)的定義域上單調遞增，則稱函數f(x)具有M性質.下列所有具有M性質的函數為（）

A．f(x)=2-xB．f(x)=3-xC．f(x)=x3D．f(x)=x2+2

11．設等比數列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a6a7>1，，則下列結論正確的是（）

A．01

C．Sn的最大值為S7D．Tn的最大值為T6

12．設f'(x)為函數f(x)的導函數，已知：x2f'(x)十xf(x)=lnx，f(1)=，則下列結論正確的是（）

A．xf(x)在(1，＋∞)上單調遞增B．xf(x)在(0，1)上單調遞減

C．xf(x)在(0，+∞)上有極大值D．xf(x)在(0，+∞)上有極小值

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13．已知等差數列{an}中，a4=8，a8=4，則其通項公式an=.

14．（2023高三上·浙江月考）已知正項等比數列滿足，，則，數列的前項和為.

15．函數f(x)=x2-lnx的單調遞減區間是.

16．已知函數f(x)=lnx+若函數f(x)的極小值不小于0，則實數m的取值范圍為.

四、解答題(本題共6小題，共70分)

17．（2023高一下·霍邱期中）等比數列{an}中，已知a1=2，a4=16．

（1）求數列{an}的通項公式an；

（2）若a3，a5分別是等差數列{bn}的第4項和第16項，求數列{bn}的通項公式及前n項和Sn．

18．已知函數f(x)=x2-3lnx

（1）求f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；

（2）試判斷f(x)在區間(1，e)上有沒有零點，若有，判斷零點的個數.

19．設數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，且a3=2，S9=54.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）證明：

20．設函數f(x)=ex-ax―1(a∈R).

（1）若a=2，求函數f(x)在區間[0，2]上的最大值和最小值；

（2）當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

21．等差數列{an}中，S3=21，S6=24，

（1）求數列{an}的前n項和公式Sn；

（2）求數列{|an|}的前n項和Tn.

22．已知a，b∈R，設函數f(x)=ex-ax-b

（1）若b=0，求f(x)的單調區間；

（2）當x∈[o，+∞)時，f(x)的最小值為0，求a+b的最大值.(注：e=2.71828…為自然對數的底數)

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】函數的值；利用導數研究函數的單調性

【解析】【解答】，。

故答案為：C.

【分析】利用導數的運算法則求出導函數，再利用代入法求出導函數的值。

2．【答案】C

【知識點】等差數列的性質

【解析】【解答】由題意知，解得

故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合等差數列的性質，從而求出等差數列第十項的值，再結合等差數列的性質，從而求出等差數列的公差。

3．【答案】C

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；等比數列的性質

【解析】【解答】，

當且僅當時，等號成立，故原式的最小值為5。

故答案為：C

【分析】利用已知條件結合等比中項公式，進而求出ab的值，再利用均值不等式求最值的方法，進而求出a++b＋的最小值。

4．【答案】A

【知識點】導數的幾何意義；用斜率判定兩直線垂直

【解析】【解答】∵，

：.，

∴函數在(1，0)處的切線的斜率是，

∴與此切線垂直的直線的斜率是一3，∴a=-3。

故答案為：A.

【分析】利用導數的幾何意義求出曲線在切點處的切線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積等于-1，從而結合已知條件，進而求出a的值。

5．【答案】B

【知識點】等差數列的前n項和；等差數列的性質

【解析】【解答】因為Sn-S23=a24+a25＋…+a37=，

所以。

故答案為：B.

【分析】利用的關系式結合等差數列的性質，得出Sn-S23，再結合代入法結合等差數列前n項和公式，進而求出等差數列前60項的值。

6．【答案】A

【知識點】函數的圖象；二次函數的性質

【解析】【解答】由于，而的判別式，所以開口向上且有兩個根，不妨設，所以在上遞增，在上遞減.所以C，D選項不正確.當時，，所以B選項不正確.由此得出A選項正確.

故答案為：A

【分析】根據題意由函數的單調性即可判斷出選項C、D錯誤，再由函數y的值的正負判斷，從而判斷出選項B錯誤，由此得到答案。

7．【答案】B

【知識點】等差數列的前n項和；等差數列的性質

【解析】【解答】由題知各節氣日影長依次成等差數列，設為是其前項和，則，所以，由題知，

所以，所以公差，

所以。

故答案為：B.

【分析】由題結合等差數列的定義，從而知各節氣日影長依次成等差數列，設為是其前項和，再利用等差數列前n項和公式結合等差數列的性質，從而結合已知條件求出等差數列第五項的值，再利用已知條件結合等差數列的性質，進而求出等差數列第四項的值，再利用等差數列的性質，進而求出公差，再結合等差數列的性質，從而求出等差數列第十二項的值，進而求出芒種日影長。

8．【答案】B

【知識點】導數的幾何意義；利用導數研究曲線上某點切線方程

【解析】【解答】因為，所以點沒有在函數的圖象上，

設切點坐標為，則，則，

由導數的幾何意義可知，過切點的斜率為，

過和切點的斜率表示為，

所以化簡可得，

所以或，所以切點有兩個，因而有兩條切線方程。

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結合代入法求出的值，再利用代入法判斷出點沒有在函數的圖象上，設切點坐標為，再利用代入法，則，再利用導數的幾何意義可知過切點的斜率為，再利用兩點求斜率公式得出過和切點的斜率表示為，所以從而解方程組求出的值，進而求出切點有兩個，從而得出過點P與該函數圖象相切的直線條數。

9．【答案】B,D

【知識點】等比數列概念與表示；等比數列的通項公式；等比數列的前n項和；數列的遞推公式

【解析】【解答】由題意，當時，，解得，當時，

，所以，

所以，數列是以為首項，為公比的等比數列，

，A不符合題意，B符合題意；數列是以為首項，為公比的等比數列，

所以，C不符合題意；

，所以為定值，D符合題意.

故答案為：BD.

【分析】利用已知條件結合Sn，an的關系式，再利用Sn=2an-2結合分類討論的方法，從而結合等比數列的定義，進而判斷出數列是以為首項，為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式，進而求出數列的通項公式，再利用等比數列的定義，從而判斷出數列是以為首項，為公比的等比數列，再利用等比數列前n項和公式，進而求出的值，利用已知條件結合指數冪的運算法則，從而求出為定值，進而找出正確的選項。

10．【答案】A,D

【知識點】函數單調性的判斷與證明；函數恒成立問題；利用導數研究函數的單調性

【解析】【解答】時于選項，

則為實數集上的增函數；

對于選項，則為實數集上的減函數；

對于選項，則

，當時，在定義域上先減后增；

對于選項2，

則在實數集上恒成立，在定義域上是增函數.

故答案為：AD.

【分析】利用函數y=exf(x)在函數f(x)的定義域上單調遞增，則稱函數f(x)具有M性質，再利用單調函數的定義，從而判斷出函數的單調性，進而找出所有具有M性質的函數。

11．【答案】A,D

【知識點】函數的最值及其幾何意義；等比數列的前n項和；等比數列的性質

【解析】【解答】易知，若，則，與矛盾，

故，所以，所以＜1，因為，所以的最大值為。

故答案為：AD.

【分析】利用已知條件結合等比數列的通項公式，從而得出，再利用得出公比的取值范圍，再利用等比數列的性質得出等比數列第七項的取值范圍，再結合等比數列的性質得出a6a8的取值范圍，再利用結合等比數列前n項和公式和等比數列前n項積公式，再結合函數求最值的方法，進而求出Sn的最大值和的最大值，從而找出正確的選項。

12．【答案】A,B,D

【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值

【解析】【解答】由得，則，即，

設，由得.由得，即在上單調遞增，在上單調遞減，

即當時，函數取得極小值。

故答案為：ABD.

【分析】由得，再利用導數的運算法則，得出，設，再利用求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數的極小值，進而找出結論正確的選項。

13．【答案】12-n

【知識點】等差數列的通項公式

【解析】【解答】∵等差數列中，，解得

【分析】利用已知條件結合等差數列的通項公式，進而解方程組求出等差數列的首項和公差，再利用等差數列的通項公式，進而求出等差數列{an}的通項公式。

14．【答案】；

【知識點】等差數列的前n項和

【解析】【解答】由，得，，，

而，所以的前項和為.

故答案為：；.

【分析】直接利用等比數列公式計算得到，再計算等差數列和得到答案.

15．【答案】(0，1]

【知識點】利用導數研究函數的單調性

【解析】【解答】，則=，故

故答案為：(0，1]。

【分析】利用已知條件結合求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數f(x)=x2-lnx的單調遞減區間。

16．【答案】

【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值

【解析】【解答】由祔，定義域為，

當時，，函數單調遞增，函數無極值。

當時，今，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

所認當時，函數取極小值，且為，

依題意有，因此，實數的取值范圍是。

【分析】利用已知條件結合分類討論的方法，再利用求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數的極小值，再利用函數f(x)=lnx+若函數f(x)的極小值不小于0，從而求出實數m的取值范圍。

17．【答案】（1）解：∵等比數列{an}中，已知a1=2，a4=16，

∴2q3=16，解得q=2，

∴．

（2）解：∵a3，a5分別是等差數列{bn}的第4項和第16項，

∴，，

∴，

解得b1=2，d=2，

∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．

Sn==n2+n．

【知識點】等比數列的通項公式；等比數列的前n項和

【解析】【分析】（1）利用等比數列通項公式能求出首項和公差，由此能求出數列{an}的通項公式an．（2）由等比數列通項公式求出等差數列{bn}的第4項和第16項，再由等差數列通項公式求出首項與公差，由此能求出數列{bn}的通項公式及前n項和Sn．

18．【答案】（1）解：由已知得，有，，

所以在處的切線方程為1)，化簡得

（2）解：由(1)知.

因為，令，得.

所以，當時，有，則是函數的單調遞減區間；

當時，有，則是函數的單調遞增區間；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

又因為(1，

所以在區間上有兩個零點.

【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程；函數零點的判定定理

【解析】【分析】（1）利用已知條件結合求導的方法求出函數在切點處的切線的斜率，再利用切點的橫坐標結合代入法求出切點的縱坐標，從而求出切點的坐標，再利用點斜式求出函數在切點處的切線的方程。

（2）利用已知條件結合求導的方法判斷函數的單調性，再利用函數的單調性結合零點存在性定理，從而判斷出函數f(x)在區間(1，e)上有零點，并且求出零點的個數。

19．【答案】（1）解：設數列的公差為，

$

（2）證明：，

【知識點】等差數列的通項公式；等差數列的前n項和；數列的求和；等差數列的性質；反證法與放縮法

【解析】【分析】（1）利用已知條件結合等差數列前n項和公式和等差數列的性質，從而求出公差，再利用等差數列的性質，進而求出等差數列的通項公式。

（2）利用等差數列的通項公式結合放縮法和裂項相消法，從而證出不等式成立。

20．【答案】（1）解：f(x)=ex-2x-1，取f'(x)=ex-2=0，即x=ln2，

函數在[0，ln2]上單調遞減，在(In2，2]上單調遞增，

且f(0)=0，f(2)=e2-5，f(ln2)=1-2In2，

故函數的最大值為f(2)=e2-5，最小值為f(ln2)=1-2In2.

（2）解：f(x)=ex-ax-1，f′(x)=ex-a，f(0)=0.

當a≤0時，f'(x)=ex-a>0，函數單調遞增，故f(x)≥f(0)=0，成立；

當a>0時，f'(x)=ex-a=0，即x=lna，

故函數在(0，lna)上單調遞減，在(Ina，+∞)上單調遞增，

故f(lna)0，b>0，a，b的等比中項為2，則a++b＋的最小值為（）

A．3B．4C．5D．4

【答案】C

【知識點】基本不等式在最值問題中的應用；等比數列的性質

【解析】【解答】，

當且僅當時，等號成立，故原式的最小值為5。

故答案為：C

【分析】利用已知條件結合等比中項公式，進而求出ab的值，再利用均值不等式求最值的方法，進而求出a++b＋的最小值。

4．曲線y=在(1，0)處的切線與直線l：y=ax垂直，則a=（）

A．-3B．3C．D．-

【答案】A

【知識點】導數的幾何意義；用斜率判定兩直線垂直

【解析】【解答】∵，

：.，

∴函數在(1，0)處的切線的斜率是，

∴與此切線垂直的直線的斜率是一3，∴a=-3。

故答案為：A.

【分析】利用導數的幾何意義求出曲線在切點處的切線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積等于-1，從而結合已知條件，進而求出a的值。

5．已知等差數列{an}的前n項和Sn滿足S37-S23=a，則S60=（）

A．4aB．C．5aD．

【答案】B

【知識點】等差數列的前n項和；等差數列的性質

【解析】【解答】因為Sn-S23=a24+a25＋…+a37=，

所以。

故答案為：B.

【分析】利用的關系式結合等差數列的性質，得出Sn-S23，再結合代入法結合等差數列前n項和公式，進而求出等差數列前60項的值。

6．（2023高二下·廈門期中）函數f（x）=（x2+2x）e2x的圖象大致是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】函數的圖象；二次函數的性質

【解析】【解答】由于，而的判別式，所以開口向上且有兩個根，不妨設，所以在上遞增，在上遞減.所以C，D選項不正確.當時，，所以B選項不正確.由此得出A選項正確.

故答案為：A

【分析】根據題意由函數的單調性即可判斷出選項C、D錯誤，再由函數y的值的正負判斷，從而判斷出選項B錯誤，由此得到答案。

7．《周髀算經》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒，大寒、立春，雨水、驚蟄、春分、清明.谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個節氣日影之和為八丈五尺五寸，則芒種日影長為（）

A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸

【答案】B

【知識點】等差數列的前n項和；等差數列的性質

【解析】【解答】由題知各節氣日影長依次成等差數列，設為是其前項和，則，所以，由題知，

所以，所以公差，

所以。

故答案為：B.

【分析】由題結合等差數列的定義，從而知各節氣日影長依次成等差數列，設為是其前項和，再利用等差數列前n項和公式結合等差數列的性質，從而結合已知條件求出等差數列第五項的值，再利用已知條件結合等差數列的性質，進而求出等差數列第四項的值，再利用等差數列的性質，進而求出公差，再結合等差數列的性質，從而求出等差數列第十二項的值，進而求出芒種日影長。

8．已知函數f(x)=x3-x和點P(1，-1)，則過點P與該函數圖象相切的直線條數為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【知識點】導數的幾何意義；利用導數研究曲線上某點切線方程

【解析】【解答】因為，所以點沒有在函數的圖象上，

設切點坐標為，則，則，

由導數的幾何意義可知，過切點的斜率為，

過和切點的斜率表示為，

所以化簡可得，

所以或，所以切點有兩個，因而有兩條切線方程。

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結合代入法求出的值，再利用代入法判斷出點沒有在函數的圖象上，設切點坐標為，再利用代入法，則，再利用導數的幾何意義可知過切點的斜率為，再利用兩點求斜率公式得出過和切點的斜率表示為，所以從而解方程組求出的值，進而求出切點有兩個，從而得出過點P與該函數圖象相切的直線條數。

二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

9．已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn=2an-2若存在兩項am，an，使得aman=64，則（）

A．數列{an}為等差數列B．數列{an}為等比數列

C．D．m+n為定值

【答案】B,D

【知識點】等比數列概念與表示；等比數列的通項公式；等比數列的前n項和；數列的遞推公式

【解析】【解答】由題意，當時，，解得，當時，

，所以，

所以，數列是以為首項，為公比的等比數列，

，A不符合題意，B符合題意；數列是以為首項，為公比的等比數列，

所以，C不符合題意；

，所以為定值，D符合題意.

故答案為：BD.

【分析】利用已知條件結合Sn，an的關系式，再利用Sn=2an-2結合分類討論的方法，從而結合等比數列的定義，進而判斷出數列是以為首項，為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式，進而求出數列的通項公式，再利用等比數列的定義，從而判斷出數列是以為首項，為公比的等比數列，再利用等比數列前n項和公式，進而求出的值，利用已知條件結合指數冪的運算法則，從而求出為定值，進而找出正確的選項。

10．若函數y=exf(x)(e=2.7182…是自然對數的底數)在f(x)的定義域上單調遞增，則稱函數f(x)具有M性質.下列所有具有M性質的函數為（）

A．f(x)=2-xB．f(x)=3-xC．f(x)=x3D．f(x)=x2+2

【答案】A,D

【知識點】函數單調性的判斷與證明；函數恒成立問題；利用導數研究函數的單調性

【解析】【解答】時于選項，

則為實數集上的增函數；

對于選項，則為實數集上的減函數；

對于選項，則

，當時，在定義域上先減后增；

對于選項2，

則在實數集上恒成立，在定義域上是增函數.

故答案為：AD.

【分析】利用函數y=exf(x)在函數f(x)的定義域上單調遞增，則稱函數f(x)具有M性質，再利用單調函數的定義，從而判斷出函數的單調性，進而找出所有具有M性質的函數。

11．設等比數列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a6a7>1，，則下列結論正確的是（）

A．01

C．Sn的最大值為S7D．Tn的最大值為T6

【答案】A,D

【知識點】函數的最值及其幾何意義；等比數列的前n項和；等比數列的性質

【解析】【解答】易知，若，則，與矛盾，

故，所以，所以＜1，因為，所以的最大值為。

故答案為：AD.

【分析】利用已知條件結合等比數列的通項公式，從而得出，再利用得出公比的取值范圍，再利用等比數列的性質得出等比數列第七項的取值范圍，再結合等比數列的性質得出a6a8的取值范圍，再利用結合等比數列前n項和公式和等比數列前n項積公式，再結合函數求最值的方法，進而求出Sn的最大值和的最大值，從而找出正確的選項。

12．設f'(x)為函數f(x)的導函數，已知：x2f'(x)十xf(x)=lnx，f(1)=，則下列結論正確的是（）

A．xf(x)在(1，＋∞)上單調遞增B．xf(x)在(0，1)上單調遞減

C．xf(x)在(0，+∞)上有極大值D．xf(x)在(0，+∞)上有極小值

【答案】A,B,D

【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值

【解析】【解答】由得，則，即，

設，由得.由得，即在上單調遞增，在上單調遞減，

即當時，函數取得極小值。

故答案為：ABD.

【分析】由得，再利用導數的運算法則，得出，設，再利用求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數的極小值，進而找出結論正確的選項。

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13．已知等差數列{an}中，a4=8，a8=4，則其通項公式an=.

【答案】12-n

【知識點】等差數列的通項公式

【解析】【解答】∵等差數列中，，解得

【分析】利用已知條件結合等差數列的通項公式，進而解方程組求出等差數列的首項和公差，再利用等差數列的通項公式，進而求出等差數列{an}的通項公式。

14．（2023高三上·浙江月考）已知正項等比數列滿足，，則，數列的前項和為.

【答案】；

【知識點】等差數列的前n項和

【解析】【解答】由，得，，，

而，所以的前項和為.

故答案為：；.

【分析】直接利用等比數列公式計算得到，再計算等差數列和得到答案.

15．函數f(x)=x2-lnx的單調遞減區間是.

【答案】(0，1]

【知識點】利用導數研究函數的單調性

【解析】【解答】，則=，故

故答案為：(0，1]。

【分析】利用已知條件結合求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數f(x)=x2-lnx的單調遞減區間。

16．已知函數f(x)=lnx+若函數f(x)的極小值不小于0，則實數m的取值范圍為.

【答案】

【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值

【解析】【解答】由祔，定義域為，

當時，，函數單調遞增，函數無極值。

當時，今，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

所認當時，函數取極小值，且為，

依題意有，因此，實數的取值范圍是。

【分析】利用已知條件結合分類討論的方法，再利用求導的方法判斷函數的單調性，從而求出函數的極小值，再利用函數f(x)=lnx+若函數f(x)的極小值不小于0，從而求出實數m的取值范圍。

四、解答題(本題共6小題，共70分)

17．（2023高一下·霍邱期中）等比數列{an}中，已知a1=2，a4=16．

（1）求數列{an}的通項公式an；

（2）若a3，a5分別是等差數列{bn}的第4項和第16項，求數列{bn}的通項公式及前n項和Sn．

【答案】（1）解：∵等比數列{an}中，已知a1=2，a4=16，

∴2q3=16，解得q=2，

∴．

（2）解：∵a3，a5分別是等差數列{bn}的第4項和第16項，

∴，，

∴，

解得b1=2，d=2，

∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．

Sn==n2+n．

【知識點】等比數列的通項公式；等比數列的前n項和

【解析】【分析】（1）利用等比數列通項公式能求出首項和公差，由此能求出數列{an}的通項公式an．（2）由等比數列通項公式求出等差數列{bn}的第4項和第16項，再由等差數列通項公式求出首項與公差，由此能求出數列{bn}的通項公式及前n項和Sn．

18．已知函數f(x)=x2-3lnx

（1）求f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；

（2）試判斷f(x)在區間(1，e)上有沒有零點，若有，判斷零點的個數.

【答案】（1）解：由已知得，有，，

所以在處的切線方程為1)，化簡得

（2）解：由(1)知.

因為，令，得.

所以，當時，有，則是函數的單調遞減區間；

當時，有，則是函數的單調遞增區間；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

又因為(1，

所以在區間上有兩個零點.

【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程；函數零點的判定定理

【解析】【分析】（1）利用已知條件結合求導的方法求出函數在切點處的切線的斜率，再利用切點的橫坐標結合代入法求出切點的縱坐標，從而求出切點的坐標，再利用點斜式求出函數在切點處的切線的方程。

（2）利用已知條件結合求導的方法判斷函數的單調性，再利用函數的單調性結合零點存在性定理，從而判斷出函數f(x)在區間(1，e)上有零點，并且求出零點的個數。

19．設數列{an}是等差數列，其前n項和為Sn，且a3=2，S9=54.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）證明：

【答案】（1）解：設數列的公差為，

$

（2）證明：，

【知識點】等差數列的通項公式；等差數列的前n項和；數列的求和；等差數列的性質；反證法與放縮法

【解析】【分析】（1）利用已知條件結合等差數列前n項和公式和等差數列的性質，從而求出公差，再利用等差數列的性質，進而求出等差數列的通項公式。

（2）利用等差數列的通項公式結合放縮法和裂項相消法，從而證出不等式成立。

20．設函數f(x)=ex-ax―1(a∈R).

（1）若a=2，求函數f(x)在區間[0，2]上的最大值和最小值；

（2）當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

【答案】（1）解：f(x)=ex-2x-1，取f'(x)=ex-2=0，即x=ln2，

函數在[0，ln2]上單調遞減，在(In2，2]上單調遞增，

且f(0)=0，f(2