湖南省衡陽市常寧湘南實驗中學2021-2022學年高三數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在平面直角坐標系xOy中,已知點A(,0),B(1,2),動點P滿足,其中λ,μ∈[0,1],λ+μ∈[1,2],則所有點P構成的圖形面積為（A）1 （B）2 （C） （D）2參考答案：C本題考查向量坐標運算,線性規劃.設,則所有點P構成圖形如圖所示（陰影部分）故選C2.在△OAB中，O為直角坐標系的原點，A，B的坐標分別為A（3,4），B（－2，），向量與x軸平行，則向量與所成的余弦值是（A）－（B）（C）－（D）參考答案：C3.離心率為的橢圓與雙曲線有相同的焦點，且橢圓長軸的端點、短軸的端點、焦點到雙曲線的一條漸近線的距離依次構成等差數列，則雙曲線的離心率等于A．

B．

C．

D．參考答案：C設橢圓：，雙曲線：，則，，，橢圓頂點、、焦點到雙曲線漸近線的距離依次為、、，從而，所以，即，所以，，．選C．4.已知集合A={0，1，2}，B={1，m}，若A∩B=B，則實數m的取值集合是（）A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，1，2}參考答案：C【考點】集合的包含關系判斷及應用．【分析】由A∩B=B，得B?A，然后利用子集的概念求得m的值．【解答】解：∵A∩B=B，∴B?A．當m=0時，B={1，0}，滿足B?A．當m=2時，B={1，2}，滿足B?A．∴m=0或m=2．∴實數m的值為0或2．故選：C．5.若奇函數的定義域為R，且滿足，則

（

）A.0

B.1

C.

D.參考答案：B略6.已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線C上一點，Q為雙曲線C漸近線上一點，P，Q均位于第一象限，且=，?=0，則雙曲線C的離心率為（）A．﹣1 B． C．+1 D．+1參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】利用已知條件可得P是Q，F2的中點，⊥，由條件求出Q坐標，由中點坐標公式，求出P的坐標，代入雙曲線方程，即可求解雙曲線的離心率．【解答】解：雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F2（c，0），P為雙曲線C上一點，Q為雙曲線C漸近線上一點，P、Q均位于第一象限，且=，?=0，可知P是Q，F2的中點，⊥，Q在直線bx﹣ay=0上，并且|OQ|=c，則Q（a，b），則P（，），代入雙曲線方程可得：﹣=1，即有=，即1+e=．可得e=﹣1．故選：A．7.已知定義在實數集R上的偶函數f（x）滿足f（x+1）=f（x﹣1），且當x∈[0，1]時，f（x）=x2，則關于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的個數是（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點】函數奇偶性的性質；抽象函數及其應用．

【專題】函數的性質及應用．【分析】關于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的個數，即函數y=f（x）和y=|x|的圖象交點的個數，在同一坐標系中畫出兩個函數的圖象，可得答案．【解答】解：∵函數f（x）滿足f（x+1）=f（x﹣1），即f（x+2）=f（x），故函數是以2為周期的周期函數，又由函數f（x）為定義在實數集R上的偶函數，且當x∈[0，1]時，f（x）=x2，故在[﹣1，2]上，函數y=f（x）和y=|x|的圖象如下所示：由圖可知：兩個函數的圖象共有4個交點，故關于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上有4個根，故選B．【點評】本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的周期性，函數的零點與方程的根，是函數圖象和性質的綜合應用，難度不大，屬于基礎題．8.過點作直線（不同時為零）的垂線，垂足為，點，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D9.如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（A）54

（B）27

（C）18

（D）

9參考答案：C略10.三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐外接球的體積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A三棱錐的直觀圖如圖，以ABC所在平面為球的截面，則截面圓的半徑為，球心到ABC所在平面的距離為，則球的半徑為，所以球的體積為.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，約成書于四、五世紀，也就是大約一千五百年前，傳本的《孫子算經》共三卷.卷中有一問題：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，問積幾何？”該著作中提出了一種解決問題的方法：“重置二位，左位減八，余加右位，至盡虛加一，即得.”通過對該題的研究發現，若一束方物外周一匝的枚數是8的整數倍時，均可采用此方法求解.如圖，是解決這類問題的程序框圖，若輸入，則輸出的結果為

．參考答案：121本題考查流程圖.循環一次,,;循環二次,,;循環三次,,;循環四次,,;循環五次,,,此時,,滿足題意,結束循環,輸出的.12.已知函數f（x）的定義域為，部分對應值如下表．x﹣1045f（x）1221f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示：下列關于f（x）的命題：①函數f（x）是周期函數；②函數f（x）在是減函數；③如果當x∈時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；④當1＜a＜2時，函數y=f（x）﹣a有4個零點；⑤函數y=f（x）﹣a的零點個數可能為0、1、2、3、4個．其中正確命題的序號是

．參考答案：②⑤考點：利用導數求閉區間上函數的最值；函數的周期性；函數的零點；利用導數研究函數的單調性．專題：閱讀型．分析：先由導函數的圖象和原函數的關系畫出原函數的大致圖象，再借助與圖象和導函數的圖象，對五個命題，一一進行驗證，對于假命題采用舉反例的方法進行排除即可得到答案．解答： 解：由導函數的圖象和原函數的關系得，原函數的大致圖象可由以下兩種代表形式，如圖：由圖得：①為假命題．函數f（x）不能斷定為是周期函數．②為真命題，因為在上導函數為負，故原函數遞減；③為假命題，當t=5時，也滿足x∈時，f（x）的最大值是2；④為假命題，當a離1非常接近時，對于第二個圖，y=f（x）﹣a有2個零點，也可以是3個零點．⑤為真命題，動直線y=a與y=f（x）圖象交點個數可以為0、1、2、3、4個，故函數y=f（x）﹣a的零點個數可能為0、1、2、3、4個．綜上得：真命題只有②⑤．故答案為：②⑤點評：本題主要考查導函數和原函數的單調性之間的關系．二者之間的關系是：導函數為正，原函數遞增；導函數為負，原函數遞減．13.已知銳角滿足則的最大值為________.

參考答案：14.已知為第二象限角，，則的值為

]參考答案：2由展開得，平方得，所以，從而，因為為第二象限角，故，因此，因為，，所以，，則15.已知向量滿足的夾角為，則參考答案：

16.已知隨機變量服從正態分布，若，為常數,則

.參考答案：1/2-a17.設是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是

．①若，則或.②若，則或.③若，則或與相交.④若，則或.參考答案：(2)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)在四邊形ABCD中，，，，，在方向上的投影為8；（1）求的正弦值；（2）求的面積.參考答案：解：（1），，在中，，，，，，在方向上的投影為8，，，，（2），，

略19.（本小題滿分12分）已知函數f(x)=-lnx,

x∈[1,3].(Ⅰ)求f(x)的最大值與最小值；(Ⅱ)若f(x)＜4-at對于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求實數a的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)由(Ⅰ)知當x∈[1,3]時,f(x)≤,故對任意x∈[1,3],f(x)＜4-at恒成立,只要4-at＞對任意t∈[0,2]恒成立,即at＜恒成立,記g(t)=at,t∈[0,2],所以,所以a<.20.

已知函數處取得極值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若當恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）對任意的是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，

請說明理由.參考答案：

（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，

∴f′(x)=3x2－x+b.

……2分

∵f(x)在x=1處取得極值，

∴f′(1)=3－1+b=0.

∴b=－2.

……3分

經檢驗，符合題意.

……4分

（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.

∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，

…5分x

1(1,2)

2f′(x)

+

0

－

0

+f(x)

……7分

∴當x=－時，f(x)有極大值+c.

又

∴x∈[－1，2]時，f(x)最大值為f(2)=2+c.

……8分

∴c2>2+c.

∴c<－1或c>2.

…………10分

（Ⅲ）對任意的恒成立.

由（Ⅱ）可知，當x=1時，f(x)有極小值.

又

…12分

∴x∈[－1，2]時，f(x)最小值為.

，故結論成立.……14分

略21.在四棱錐P﹣ABCD中，∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；（2）求證：CE∥平面PAB．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）由線面垂直得PA⊥CD，由直角性質得CD⊥AC，由此能證明平面PAC⊥平面PCD．（2）法一：取AD中點M，連EM，CM，則EM∥PA．從而得到EM∥平面PAB．再由MC∥AB，得到MC∥平面PAB，由此證明平面EMC∥平面PAB，從而EC∥平面PAB．（2）法二：延長DC，AB交于點N，連PN．由已知條件推地出EC∥PN．由此能證明EC∥平面PAB．【解答】證明：（1）因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，…又∠ACD=90°，則CD⊥AC，而PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，因為CD?平面ACD，…所以，平面PAC⊥平面PCD．…（2）證法一：取AD中點M，連EM，CM，則EM∥PA．因為EM?平面PAB，PA?平面PAB，所以EM∥平面PAB．…在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，又∠BAC=∠CAD，所以∠BAC=∠ACM，則MC∥AB．因為MC?平面PAB，AB?平面PAB，所以MC∥平面PAB．…而EM∩MC=M，所以平面EMC∥平面PAB．由于EC?平面EMC，從而EC∥平面PAB．

…（2）證法二：延長DC，AB交于點N，連PN．因為∠NAC=∠DAC，AC⊥CD，所以C為ND的中點．而E為PD中點，所以EC∥PN．因為EC?平面PAB，PN?平面PAB，所以EC∥平面PAB．…22.（本題滿分13分）已知橢圓C的兩個焦點是(0，-)和(0，)，并且經過點，拋物線的頂點E在坐標原點，焦點恰好是橢圓C的右頂點F．（Ⅰ）求橢圓C和拋物線E的標準方程；（Ⅱ）過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2，l1交拋物線E于點A、B，l2交拋物線E于點G、H，求的最小值．參考答案：（I）設橢圓的標準方程為(a>b>0)，焦距為2c，則由題意得c=，，∴a=2，=1，∴橢圓C的標準方程為．

………4分∴右頂點F的坐標為(1，0)．設拋物線E的標