云南省昭通市綏江縣2022-2023學年八年級下學期期中數學試卷（解析版）一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．下列根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．若以下列各組數作為三角形的三邊長，則能構成直角三角形的是（）A． B．， C．0.6，0.8，0.1 D．9，16，253．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，添加下列一個條件后，一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AD＝BC B．∠A+∠D＝180° C．∠B＝∠D D．AB＝BC4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，則AC的長為（）A．8 B．或12 C． D．125．下列運算正確的是（）A． B． C． D．6．如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，則四邊形ABCD是（）A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．平行四邊形7．在△ABC中，點D在直線AB上，且AD2+CD2＝AC2，則下列結論正確的是（）A．∠ACB＝90° B．∠BCD＝90° C．∠BDC＝90° D．∠CAD＝90°8．實數a在數軸上的位置如圖所示，則+化簡后為（）A．9 B．﹣9 C．2a﹣15 D．15﹣2a9．在△ABC中，AB⊥BC，∠C＝30°，AB＝2，若點O為AC的中點，則BO的長為（）A．4 B．2 C． D．10．下列命題的逆命題是真命題的是（）A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．菱形的對角相等 C．對頂角相等 D．全等三角形的對應角相等11．若，則代數式x2﹣4x+4的值為（）A．﹣2019 B．2019 C．﹣2023 D．202312．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝110°，AB的垂直平分線交AB于點E，交對角線AC于點F，則∠CDF的度數為（）A．45° B．30° C．25° D．15°二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）13．（2分）若有意義，則x的取值范圍是．14．（2分）△ABC的三邊長分別為8、6、4，若D、E、F分別是三邊的中點，則△DEF的周長．15．（2分）如圖是一個長方體木箱，已知AB＝6，BC＝4，CD＝2，現有一只小蟲沿該木箱表面從A點爬到D點，則該小蟲爬過的最短距離為．16．（2分）在平面直角坐標系中，已知A（0，0）、B（6，0），點C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標為．三、解答題（本大題共8小題，共56分）17．（6分）計算：．18．（6分）如圖，某大廈離地15米的C處突發火情，消防車立即趕到距大廈9米的A處，升起云梯到發生火災的C處，已知云梯BC長15米，求云梯底部距離地面的高度AB的長．19．（7分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝7，AF平分∠BAD，交BC于點F，點E在BF上，BE＝CF，若EF＝4，求AD的長．20．（7分）用電器的電阻R、功率P和它兩端的電壓U之間滿足如下關系：．現有甲、乙兩個外觀完全相同的用電器，甲的電阻為25Ω，乙的電阻為36Ω．經測量發現其中一個用電器的功率是1600W，兩端電壓在190V到220V之間，請通過計算說明該用電器是甲還是乙？21．（7分）如圖，銀行和超市在人民路（東西方向）上，小智同學家和學校分別在銀行和超市的正北方向．已知學校和超市相距0.5千米，超市和銀行相距0.8千米，銀行和小智家相距1千米．星期五放學后，小智同學先到超市和銀行之間的某個地方和小華見面，然后再回家．（1）為了讓小智從放學到回家所走的路程最短，小華應在哪個位置等小智？請在圖中畫出該位置，并簡要說明作圖方法或步驟；（2）求出小智走過的最短路程．22．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO，且∠COD＝2∠OBC．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）已知△BCD的面積為4，點E在OD上，若OD＝4OE，求△ADE的面積．23．（8分）已知：，，，…，，n為正整數，且n≥1．（1）求出a2和a3的值，猜想an的結果，并用含n的式子表示出an；（2）設an與bn滿足的數量關系為，例如，請利用所學知識試求出b1+b2+b3+…+bn的結果．（解答建議：（2）小題可構造平方差公式先對bn進行化簡，再求和．）24．（8分）如圖，四邊形ABCD和BGEF均為正方形，點E恰好在線段AD上，連接AF、BE、CG．（1）當點E與A、D兩點都不重合時，求證：△ABF≌△CBG；（2）當點E與A點重合時，等式成立；當點E與A、D兩點都不重合時，等式是否仍然成立？請證明你的結論．

參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．下列根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】對于一個二次根式，其被開方數中不含分母且被開方數中不含開得盡方的因數或因式，這樣的二次根式即為最簡二次根式，據此進行判斷即可．【解答】解：A．＝，被開方數中含有分母，則A不符合題意；B．被開方數中含有分母，則B不符合題意；C．它符合最簡二次根式的定義，則C符合題意；D．＝×＝3，被開方數中含有開得盡方的因式9，則D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查最簡二次根式的定義，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．2．若以下列各組數作為三角形的三邊長，則能構成直角三角形的是（）A． B．， C．0.6，0.8，0.1 D．9，16，25【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解答】解：A、12+（）2＝22，故是直角三角形，故此選項符合題意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此選項不符合題意；C、0.12+0.62≠0.82，故不是直角三角形，故此選項不符合題意；D、92+162≠252，故不是直角三角形，故此選項不符合題意．故選：A．【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．3．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，添加下列一個條件后，一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AD＝BC B．∠A+∠D＝180° C．∠B＝∠D D．AB＝BC【分析】由平行線的性質得∠A+∠D＝180°，再由∠B＝∠D，得∠A+∠B＝180°，證出AD∥BC，即可得出結論．【解答】解：一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是∠B＝∠D，理由如下：∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的判定，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定，證明出AD∥BC．4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，則AC的長為（）A．8 B．或12 C． D．12【分析】直接根據勾股定理即可得出結論．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴AC＝＝＝12．故選：D．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．5．下列運算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據二次根式運算法則分別計算即可得出答案．【解答】解：A．和不是同類二次根式，不能合并，選項A不符合題意；B．5和不是同類二次根式，不能合并，選項B不符合題意；C．2×3＝6a，選項C符合題意；D．，選項D不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查了二次根式的混合運算以及分母有理化，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算法則．6．如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，則四邊形ABCD是（）A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．平行四邊形【分析】根據菱形的判定定理即可得到結論．【解答】解：四邊形ABCD是菱形，理由：∵對角線AC、BD相交于O，AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形，故選：A．【點評】本題考查了正方形，矩形，菱形的判定定理熟練掌握各判定定理是解題的關鍵．7．在△ABC中，點D在直線AB上，且AD2+CD2＝AC2，則下列結論正確的是（）A．∠ACB＝90° B．∠BCD＝90° C．∠BDC＝90° D．∠CAD＝90°【分析】根據勾股定理的逆定理，即可解答．【解答】解：如圖：∵AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°，∵點D在直線AB上，∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．8．實數a在數軸上的位置如圖所示，則+化簡后為（）A．9 B．﹣9 C．2a﹣15 D．15﹣2a【分析】根據數軸表示的方法得到5＜a＜10，再根據二次根式的性質得到原式＝|a﹣3|+|a﹣12|，然后去絕對值、合并即可．【解答】解：∵5＜a＜10，∴原式＝|a﹣3|+|a﹣12|＝a﹣3﹣（a﹣12﹣）＝a﹣3﹣a+12＝9．故選：A．【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡：＝|a|．也考查了實數與數軸．9．在△ABC中，AB⊥BC，∠C＝30°，AB＝2，若點O為AC的中點，則BO的長為（）A．4 B．2 C． D．【分析】根據含30°角的直角三角形的性質，以及直角三角形斜邊上的中線的性質即可求解．【解答】解：在△ABC中，AB⊥BC，∠C＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝4，∵點O為AC的中點，∴BO＝＝2，故選：B．【點評】本題考查了含30°角的直角三角形的性質，以及直角三角形斜邊上的中線的性質，熟練掌握各性質是解題的關鍵．10．下列命題的逆命題是真命題的是（）A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．菱形的對角相等 C．對頂角相等 D．全等三角形的對應角相等【分析】寫出原命題的逆命題后判斷正誤即可．【解答】解：A、逆命題為平行四邊形的對角線互相平分，正確，是真命題，符合題意；B、逆命題為對角相等的四邊形是菱形，錯誤，是假命題，不符合題意；C、逆命題為相等的角是對頂角，錯誤，是假命題，不符合題意；D、逆命題為對應角相等的三角形全等，錯誤，是假命題，不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解如何寫出一個命題的逆命題，難度不大．11．若，則代數式x2﹣4x+4的值為（）A．﹣2019 B．2019 C．﹣2023 D．2023【分析】先把已知條件變形得到x﹣2＝，再兩邊平方，然后利用完全平方公式展開即可．【解答】解：∵x＝2+，∴x﹣2＝，∴（x﹣2）2＝2023，∴x2﹣4x+4＝2023，故選：D．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值：利用整體代入的方法可簡化計算．12．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝110°，AB的垂直平分線交AB于點E，交對角線AC于點F，則∠CDF的度數為（）A．45° B．30° C．25° D．15°【分析】由菱形的性質可得∠BCD＝∠BAD＝110°，∠BCA＝∠ACD＝55°＝∠BAC＝∠CAD，AB＝AD，∠ADC＝70°，由“SAS”可證△ABF≌△ADF，可得BF＝DF＝AF，可求∠ADF＝55°，即可求解．【解答】解：如圖，連接BF，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BCD＝∠BAD＝110°，∠BCA＝∠ACD＝55°＝∠BAC＝∠CAD，AB＝AD，∠ADC＝70°，∵EF垂直平分AB，∴AF＝BF，在△ABF和△ADF中，，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴BF＝DF，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF＝55°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝15°，故選：D．【點評】本題考查了菱形的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，證明△ABF≌△ADF是解題的關鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）13．（2分）若有意義，則x的取值范圍是x≥2．【分析】直接根據二次根式有意義的條件解答即可．【解答】解：由題意得，x﹣2≥0，∴x≥2．故答案為：x≥2．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數是非負數是解題的關鍵．14．（2分）△ABC的三邊長分別為8、6、4，若D、E、F分別是三邊的中點，則△DEF的周長9．【分析】根據三角形中位線定理分別求出DE、EF、DF，根據三角形的周長公式計算即可．【解答】解：∵點D，E分別AB、BC的中點，AC＝6，∴DE＝AC＝3，同理，DF＝BC＝2，EF＝AB＝4，∴△DEF的周長＝DE+EF+DF＝9，故答案為：9．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．15．（2分）如圖是一個長方體木箱，已知AB＝6，BC＝4，CD＝2，現有一只小蟲沿該木箱表面從A點爬到D點，則該小蟲爬過的最短距離為6．【分析】將長方體沿BC進行展開，將長方體沿A'B'進行展開，將長方體沿BB'進行展開，分別計算出三種情況下AE的長度即可得到答案．【解答】解：如圖1所示，AD＝＝6；如圖2，AD＝＝4；如圖3，AD＝＝，∵，∴小蟲爬行的最短距離為6．故答案為：6．【點評】本題主要考查了平面展開﹣最短距離問題，勾股定理，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．16．（2分）在平面直角坐標系中，已知A（0，0）、B（6，0），點C在第一象限，且AC＝BC＝6，若存在點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標為（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）．【分析】分三種情況討論，由菱形的性質和勾股定理可求解．【解答】解：∵A（0，0），B（6，0），∴AB＝6，∵點C在第一象限，且AC＝BC＝6，∴AB＝AC＝BC＝6，∴△ABC是等邊三角形，過點C作CE⊥AB于點E，∴AE＝BE＝3，∴CE＝AE＝3，∴C（3，3），當BC為菱形的對角線時，如圖，∵四邊形ABDC為菱形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD，∴CD+AE＝9，∴D（9，3），當AC為菱形的對角線時，D′與C關于y軸對稱，∴D′（﹣3，3），當AB為菱形的對角線時，D′′與C關于x軸對稱，∴D′′（3，﹣3），綜上所述：點D的坐標為（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）．故答案為：（9，3）或（﹣3，3）或（3，﹣3）．【點評】本題考查了菱形的判定，坐標與圖形性質，含30度角的直角三角形，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8小題，共56分）17．（6分）計算：．【分析】先根據二次根式的性質和零指數冪進行計算，再根據二次根式的加減法法則進行計算即可．【解答】解：．＝2﹣1+2﹣3＝2﹣2．【點評】本題考查了零指數冪和二次根式的混合運算，能正確根據二次根式的運算性質進行計算是解此題的關鍵．18．（6分）如圖，某大廈離地15米的C處突發火情，消防車立即趕到距大廈9米的A處，升起云梯到發生火災的C處，已知云梯BC長15米，求云梯底部距離地面的高度AB的長．【分析】過點B作BE⊥CD于點E，則AB＝DE，BE＝AD＝9米，由勾股定理求出CE＝12米，再求出DE的長，即可得出結論．【解答】解：如圖，過點B作BE⊥CD于點E，則AB＝DE，BE＝AD＝9米，由題意可知，CD＝15米，BC＝15米，在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝12（米），∴DE＝CD﹣CE＝15﹣12＝3（米），∴AB＝3米，答：云梯底部距離地面的高度AB的長為3米．【點評】本題考查了勾股定理的應用，由勾股定理求出CE的長是解題的關鍵．19．（7分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝7，AF平分∠BAD，交BC于點F，點E在BF上，BE＝CF，若EF＝4，求AD的長．【分析】由平行四邊形的性質得AD∥BC，AD＝BC，則∠DAF＝∠BFA，而∠DAF＝∠BAF，所以∠BFA＝∠BAF，則FB＝AB＝7，CF＝BE＝FB﹣EF＝3，所以AD＝BC＝FB+CF＝10．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAF＝∠BFA，∵AF平分∠BAD，交BC于點F，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠BFA＝∠BAF，∴FB＝AB＝7，∵點E在BF上，BE＝CF，若EF＝4，∴BE＝FB﹣EF＝7﹣4＝3，∴CF＝3，∴AD＝BC＝FB+CF＝7+3＝10，∴AD的長為10．【點評】此題重點考查平行四邊形的性質、角平分線的定義、等腰三角形的判定等知識，證明∠BFA＝∠BAF是解題的關鍵．20．（7分）用電器的電阻R、功率P和它兩端的電壓U之間滿足如下關系：．現有甲、乙兩個外觀完全相同的用電器，甲的電阻為25Ω，乙的電阻為36Ω．經測量發現其中一個用電器的功率是1600W，兩端電壓在190V到220V之間，請通過計算說明該用電器是甲還是乙？【分析】應根據最大電壓和最小電壓算出相應的電阻，選擇合適的電器．【解答】解：當U＝190，P＝1600時，R＝＝22.5Ω，當U＝220，P＝1600時，R＝＝30.25Ω，說明合適的電阻應在22.5﹣30.25之間，應選甲．【點評】本題考查反比例函數的應用，只需把變量的最值以及相應的常量代入所給的函數解析式即可．21．（7分）如圖，銀行和超市在人民路（東西方向）上，小智同學家和學校分別在銀行和超市的正北方向．已知學校和超市相距0.5千米，超市和銀行相距0.8千米，銀行和小智家相距1千米．星期五放學后，小智同學先到超市和銀行之間的某個地方和小華見面，然后再回家．（1）為了讓小智從放學到回家所走的路程最短，小華應在哪個位置等小智？請在圖中畫出該位置，并簡要說明作圖方法或步驟；（2）求出小智走過的最短路程．【分析】（1）根據兩點之間線段最短即軸對稱的性質作圖；（2）根據勾股定理求解．【解答】解：（1）如圖：步驟：①作A關于BE的對稱點Q，②連接QD交BE于點C，點C即為所求；（2）過Q作QF⊥DE交其延長線于F，則四邊形BEFQ為矩形，∴QF＝BE＝0.8千米，EF＝BQ＝AB＝0.5千米，∴DF＝DE+EF＝1.5千米，∴DQ＝＝1.7（千米），即小智走過的最短路程為1.7千米．【點評】本題考查了作圖的應用與設計，掌握軸對稱的性質及勾股定理是解題的關鍵．22．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AO＝CO，BO＝DO，且∠COD＝2∠OBC．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）已知△BCD的面積為4，點E在OD上，若OD＝4OE，求△ADE的面積．【分析】（1）先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證∠OBC＝∠OCB，得OB＝OC，則AC＝BD，然后由矩形的判定即可得出結論；（2）證S△AOD＝S△COD＝S△BCD＝2，再證DE＝OD，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠COD＝∠OBC+∠OCB，∠COD＝2∠OBC，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∵AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）解：由（1）可知，AO＝CO＝BO＝DO，∴S△AOD＝S△COD＝S△BCD＝×4＝2，∵OD＝4OE，∴DE＝OD，∴S△ADE＝S△AOD＝×2＝．【點評】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定以及三角形面積等知識，熟練掌握矩形的判定是解題的關鍵．23．（8分）已知：，，，…，，n為正整數，且n≥1．（1）求出a2和a3的值，猜想an的結果，并用含n的式子表示出an；（2）設an與bn滿足的數量關系為，例如，請利用所學知識試求出b1+b2+b3+…+bn的結果．（解答建議：（2）小題可構造平方差公式先對bn進行化簡，再求和．）【分析】（1）根據題目中的已知條件，即可求求得a2、a3的值，觀察柿子的規律即可，通過猜想得到an；（2）可構造平方差公式先對bn進行化簡，再求和即可．【解答】解：（1）解：（1）由題意可得：a1＝3，a1+a2＝2+2×2＝8，解得a2＝5，a1+a2+a3＝3+2×3＝15，解