第第頁人教A版（2023）必修第二冊8.4空間點、直線、平面之間的位置關系（含解析）人教A版（2023）必修第二冊8.4空間點、直線、平面之間的位置關系

一、單選題

1．若點在直線上，在平面內，則，，之間的關系可記作（）

A．B．C．D．

2．若a，b為兩條異面直線，，為兩個平面，，，，則下列結論中正確的是()

A．l至少與a，b中一條相交

B．l至多與a，b中一條相交

C．l至少與a，b中一條平行

D．l必與a，b中一條相交，與另一條平行

3．下列說法正確的是（）

A．三點可以確定一個平面B．一條直線和一個點可以確定一個平面

C．四邊形一定是平面圖形D．兩條相交直線可以確定一個平面

4．如圖所示，用符號語言可表示為（）

A．，，B．，，

C．，，，D．，，，

5．如圖.是圓的直徑，，，是圓上一點(不同于，)，且，則二面角的平面角為（）

A．B．C．D．

6．下列命題中，正確的是（）

A．三點確定一個平面

B．垂直于同一直線的兩條直線平行

C．若直線與平面上的無數條直線都垂直，則

D．若a、b、c是三條直線，且與c都相交，則直線a、b、c在同一平面上

7．如圖，為圓錐底面直徑，點是底面圓上異于的動點，已知，圓錐側面展開圖是圓心角為的扇形，當與所成角為時，與所成角為（）

A．B．C．D．

8．在正方體中，為線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

9．設，，是空間的三條直線，下面給出四個命題：

①若，，則

②若，是異面直線，，是異面直線，則，是異面直線

③若和相交，和相交，則和也相交

④若和共面，和共面，則和也共面

其中正確命題的個數（）

A．3B．2C．1D．0

10．在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB＝BC＝BD＝2，E，F分別是BC，AD的中點，則直線AE與CF所成角的余弦值為（）

A．﹣B．C．D．﹣

11．已知直線a，b，平面，，，，，那么“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

12．在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）

A．B．-C．2D．

二、填空題

13．不共線的三點確定___________個平面.（填數字）

14．互相平行的四條直線，每兩條確定一個平面，最多可確定____________個平面；

15．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同平面，則以下命題不成立的是__

（1）若，，，則

（2）若，，則

（3）若，，則

（4）若，，，則

16．已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：

①l⊥m；②m∥；③l⊥．

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：__________．

17．空間給定不共面的A，B，C，D四個點，其中任意兩點間的距離都不相同，考慮具有如下性質的平面：A，B，C，D中有三個點到的距離相同，另一個點到的距離是前三個點到的距離的2倍，這樣的平面的個數是___________個

三、解答題

18．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．

求證：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

19．如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）證明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．

20．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；

（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.

21．如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．

（1）證明：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得平面？說明理由．

試卷第1頁，共3頁

試卷第1頁，共3頁

參考答案：

1．B

利用空間中點、線、面之間關系的符號表示即可求解.

【詳解】

因為點Q(元素)在直線b(集合)上,所以.

又因為直線b(集合)在平面(集合)內,

所以.所以.

故選：B

2．A

此種類型的題可以通過舉反例判斷正誤.

【詳解】

因為a，b為兩條異面直線且，，，所以a與l共面，b與l共面.

若l與a、b都不相交，則a∥l，b∥l，a∥b，與a、b異面矛盾，故A對；

當a、b為如圖所示的位置時，可知l與a、b都相交，故B、C、D錯.

故選：A.

3．D

根據確定平面的公理以及推論判斷即可.

【詳解】

A錯誤，不共線的三點可以確定一個平面；

B錯誤，一條直線和直線外一個點可以確定一個平面；

C錯誤，四邊形不一定是平面圖形，比如空間四邊形；

D正確，兩條相交直線可以確定一個平面．

故選：D．

4．A

由圖可知兩平面相交于直線，直線在平面內，兩直線交于點，從而可得答案

【詳解】

由圖可知平面相交于直線，直線在平面內，兩直線交于點，所以用符號語言可表示為，，，

故選：A

5．C

由圓的性質知：，根據線面垂直的判定得到面，即，結合二面角定義可確定二面角的平面角.

【詳解】

∵是圓上一點(不同于，)，是圓的直徑，

∴，，，即面，而面，

∴，又面面，，

∴由二面角的定義：為二面角的平面角.

故選：C

6．D

利用空間點、線、面位置關系直接判斷.

【詳解】

A.不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；

B.由墻角模型，顯然B錯誤；

C.根據線面垂直的判定定理，若直線與平面內的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直，若直線與平面內的無數條平行直線垂直，則直線與平面不一定垂直，故C錯誤；

D.因為，所以確定唯一一個平面，又與都相交，故直線共面，故D正確；

故選：D.

7．C

作與圓交于點，連接，四邊形為平行四邊形，，連接，則為與所成角，解即可得解.

【詳解】

設圓錐母線長為，則，解得，

，與所成角，

，中，

作與圓交于點，

連接，四邊形為平行四邊形，，

連接，則為與所成角，

中，可得，

，

故選：C.

8．B

連接，，得到，把異面直線與所成角轉化為直線與所成角，取的中點，在直角中，即可求解.

【詳解】

在正方體中，連接，，可得，

所以異面直線與所成角即為直線與所成角，

即為異面直線與所成角，

不妨設，則，，

取的中點，因為，所以，

在直角中，可得.

故選：B.

9．D

根據直線與直線位置關系判斷各命題的對錯,

【詳解】

解：（1）錯，在空間中，，時，與關系可能是平行，相交，異面；

（2）錯，與同在一個平面時，可以與平面外一直線異面；

（3）錯，在空間中，三條直線不一定交于一點，也不一定在一個平面內；

（4）錯，和相交，和相交，則與不一定相交，它們不一定在一個平面內；

故選：D

10．B

取CE，AF，AC的中點分別為M，N，G，作NO⊥BD于O，連接MG，GN，MN，MO，由直線AE與CF所成角即為GM與GN所成角，利用余弦定理求解cos∠MGN即可

【詳解】

取CE，AF，AC的中點分別為M，N，G，作NO⊥BD于O，

連接MG，GN，MN，MO，如圖，

由中位線性質可得GM∥AE，GN∥CF，得直線AE與CF所成角即為GM與GN所成角，

根據題意得：

GM＝AE＝＝，

GN＝＝＝，

MN＝＝＝＝，

∴cos∠MGN＝＝，

∴直線AE與CF所成角的余弦值為.

故選：B

11．C

過直線作平面，交平面于直線，，，，由可推出，由可推出，故“”是“”的充要條件．

【詳解】

解：若，

過直線作平面，交平面于直線，，，

又，，

又，，

若，

過直線作平面，交平面于直線，，，

，，

又，，

，，

故“”是“”的充要條件，

故選：．

12．A

如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，或其補角為異面直線與所成角．

【詳解】

解：如圖所示，

分別取，，，的中點，，，，則，，，

或其補角為異面直線與所成角．

設，則，，

，

異面直線與所成角的余弦值為，

故選：A．

平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：

①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

③計算：求該角的值，常利用解三角形；

④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．

13．1

由空間幾何的公理求解即可

【詳解】

不在同一條直線上的三個點確定唯一的一個平面

故答案為：1

14．6

當4條直線中任意三條直線都不共面時，每兩條確定一個平面，平面最多，結合正方體，即可得出答案.

【詳解】

解：當4條直線中任意三條直線都不共面時，每兩條確定一個平面，平面最多，

如圖正方體的四條側棱，

所以最多可確定6個面.

故答案為：6.

15．（1）（2）（4）

由線線、線面、面面的位置關系，判斷線、面有關命題的真假即可.

【詳解】

由，是兩條不同的直線，，是兩個不同平面，知：

在（1）中，若，，，則與平行或異面，錯誤；

在（2）中，若，，則與相交、平行或，錯誤；

在（3）中，若，，則由面面垂直的判定定理得，正確；

在（4）中，若，，，則與相交或平行，錯誤．

故答案為：（1）（2）（4）．

16．如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.

將所給論斷，分別作為條件、結論加以分析.

【詳解】

將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：

（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；

（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；

（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.

本題主要考查空間線面的位置關系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.

17．32

按照四個點的位置不同分類討論，即可求解

【詳解】

首先取3個點相等，不相等的那個點由4種取法；

然后分3分個點到平面的距離相等，有以下兩種可能性：

（1）全同側，這樣的平面有2個；

（2）不同側，必然2個點在一側，另一個點在一側，

1個點的取法有3種，并且平面過三角形兩個點邊上的中位線，

考慮不相等的點與單側點是否同側有兩種可能，每種情況下都唯一確定一個平面，

故共有6個，

所有這兩種情況共有8個，綜上滿足條件的這樣的平面共有個，

故答案為：32

18．（1）見解析；（2）見解析.

(1)由題意結合幾何體的空間結構特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結論；

(2)由題意首先證得線面垂直，然后結合線面垂直證明線線垂直即可.

【詳解】

（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，

所以A1B1∥ED.

又因為ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.

因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.

又因為BE平面ABC，所以CC1⊥BE.

因為C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以BE⊥平面A1ACC1.

因為C1E平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.

本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.

19．（1）見詳解；（2）18

（1）先由長方體得，平面，得到，再由，根據線面垂直的判定定理，即可證明結論成立；

（2）先設長方體側棱長為，根據題中條件求出；再取中點，連結，證明平面，根據四棱錐的體積公式，即可求出結果.

【詳解】

（1）因為在長方體中，平面；

平面，所以，

又，，且平面，平面，

所以平面；

（2）設長方體側棱長為，則，

由（1）可得；所以，即，

又，所以，即，解得；

取中點，連結，因為，則；

所以平面，

所以四棱錐的體積為.

本題主要考查線面垂直的判定，依據四棱錐的體積，熟記線面垂直的判定定理，以及四棱錐的體積公式即可，屬于基礎題型.

20．（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）見解析；

（Ⅲ）見解析.

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論；

(Ⅱ)由幾何體的空間結構特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；

(Ⅲ)由題意，利用平行四邊形的性質和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點.

【詳解】

（Ⅰ）證明：因為平面,所以；

因為底面是菱形，所以;

因為,平面,

所以平面.

（Ⅱ）證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,

因為,所以；

因為平面，平面,

所以；

因為

所以平面，

平面,所以平面平面.

（Ⅲ）存在點為中點時，滿足平面；理由如下:

分別取的中點，連接,

在三角形中，且；

在菱形中，為中點，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;

又平面，平面，所以平面.

本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

21．（1）證明見解析

（2）存在，理由見解析

【詳解】

分析：（1）先證,再證，進而完成證明．

（2）判斷出P為AM中點，，證明MC∥OP，然后進行證明即可．

詳解：（1）由題設知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．

因為BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故